Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Динамический хаосаос

Литература

С.П. Кузнецов. Динамическийий хаосхаос..

Г. Шустер. Детерминированныйный хаосхаос..

Р.М. Кроновер. Фракталы и хаосхаос вв динамических системах.

М. Шредер. Фракталы, хаос,, степенные законы.

Детерминированныйй хаосхаос

Введение

Как показывает повседневный опыт, для многих физических систем малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям результата. Так, например, траектория тела, брошенного под углом к горизонту, мало изменится при малом изменении начальной высоты, начальной скорости или угла, под которым было брошено тело.

Рис. 1. Траектории тела в поле тяжести Земли, отличающиеся начальной высотой.

Но встречаются ситуации, для которых справедливо противоположное утверждение: малое изменение начальных условий может приводить к заметному изменению в поведении рассматриваемой системы. Например, при игре в бильярд, небольшое отклонение кия от первоначального положения может привести к существенному изменению траектории движения шара после многократных отражений от бортов стола. Другими словами траектория шара за счёт его многократных отражений от бортов приобретает непредсказуемый (хаотический) характер.

Рис. 2. Изменение траектории шара при незначительном отклонении кия.

Многочисленные исследования, в том числе проведённые в последнее время с применением современных быстродействующих компьютеров, показывают, что высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени, – это типичное свойство многих систем.

1)Механические системы (маятники, ротаторы и т.д.)

2)Электрические цепи (колебательные контуры, усилители, генераторы и т.д.)

3)Химические реакции (реакция Белоусова-Жаботинского)

4)Биологические системы (в популяциях организмов, в периодически стимулируемых клетках сердца и т.д.)

5)Гидро- и газодинамика (возникновение турбулентности в газах и жидкостях)

6)Квантовые системы (лазеры)

7)Метеорологические, экономические модели и т.д..

Само слово «хаос» происходит от греческого слова « ». Первоначально оно означало бесконечное пространство, существовавшее до появления всего остального. Позднее

римляне интерпретировали хаос как изначальную сырую

бесформенную массу, в которую Создатель привнёс порядок и гармонию. В современном понимании хаос означает состояние беспорядка и нерегулярности.

Ранее рассмотренные системы – тело, движущееся в поле тяжести Земли; шар в бильярде и другие механические, электрические, биологические и т.п. системы обладают некоторыми общими для них свойствами. Общим для них является то, что всё эти объекты могут рассматриваться как динамические системы.

Динамической называют такую систему, для которой можно указать такой набор величин – динамических переменных, – характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени получаются из начального набора по определённому правилу. Это правило задаёт, как говорят, оператор эволюции системы. Такие правила, обычно, задаются в виде дифференциальных или разностных уравнений, а также в виде рекуррентных отображений. Про такие системы ещё говорят, что их поведение детерминировано по времени, а хаос в таких системах называют детерминированным хаосом.

В дальнейшем под детерминированным хаосом мы будем подразумевать нерегулярное, или хаотическое, движение, порождённое нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы из известного начального состояния.

Примеры:

1) Механическая система – шар в бильярде.

Пусть x, y – координаты шара на бильярдном столе, а vx , vy – проекции его скорости, тогда:

t : x (x, y, vx , vy ) , t t t : x (x , y , vx , vy ) ,

ˆ .

xF x

2)Биологическая система – популяции особей.

Пусть N1, N2 , – число особей в различных популяциях, тогда:

t : x (N1, N2 , ),