Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Рис. 33. Устойчивая (а) и неустойчивые (б) неподвижные точки отображения (28) при r 0,5 и r 0,5 , соответственно.
Характер динамики отображения (28) можно пронаблюдать
также и из рис. |
34-35, из которых видно, что при |
|
r 0,5 система |
слабочувствительна к |
изменению |
начальных условий, что соответствует регулярному характеру движения, а при r 0,5 чувствительность системы к изменению начальных условий с каждой итерацией
увеличивается, что говорит о хаотической динамике при
r 0,5 .
Рис. 34. Зависимость результата итерации xn |
от начального |
значения x0 ( n 1 4 ) для отображения (28) |
при r 0,5 . |
|
|
Рис. 35. Зависимость результата итерации xn |
от начального |
значения x0 ( n 1 4 ) для отображения (28) |
при r 0,5. |
|
|
«Период три» и теорема Шарковского
В 1975 году американские математики Ли и Йорк опубликовали статью «Period three implies chaos» («Период три означает хаос»). Они показали, что если у одномерного отображения
xn 1 f (xn )
есть цикл периода три, то оно имеет континуум непериодических траекторий. При этом единственное требование, которое накладывается на функцию , – это непрерывность этой функции.
Рассмотрим цикл периода три. Пусть a , b и c – три элемента этого цикла:
b f (a) |
, c f (b) , |
a f (c) , (29) |
и пусть a – минимальное из этих трёх элементов. При этом никакие два элемента не могут совпадать, т.к. в этом случае цикл выродился бы в неподвижную точку.
Возможны два случая: b c и b c . Рассмотрим первый из них (второй случай анализируется аналогично). Пусть функция f (x) , реализующая цикл (29) периода три является кусочно-линейной (см. рис. 36).
Рис. 36. Кусочно-линейное отображение x f (x) , имеющее цикл (29) периода три.
Рассмотрим динамику такого кусочно-линейного отображения в обратном времени, которую можно сформулировать так:
1) если a x b , то
x b |
|
c)(c b) ; |
(x |
||
|
|
a c |
2) если a x b , то нужно выбрать один из двух вариантов:
а)
или
x b (x c)(c b) a c
б) x a |
|
b)(b c) . |
(x |
||
|
|
c b |
Будем строить траекторию в обратном времени по этим правилам. Заметим, что если на некотором шаге возникла ситуация 1, то на следующем шаге обязательно реализуется ситуация 2. Каждый раз, встретившись с ситуацией 2, будем делать выбор между (а) и (б) с помощью случайных испытаний (например, с помощью бросания монеты: орёл – (а), решка – (б)). В итоге получится хаотическая траектория, которую можно будет пронаблюдать и в прямом времени при задании некоторого определённого начального условия.
Таким образом, если кусочно-линейное отображение x f (x) имеет цикл периода три, то оно обладает и хаотическими траекториями.