Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Можно заметить, что поле направлений, возникающее после действия отображения, совпадает с исходным, причём вдоль линий поля осуществляется сжатие, а против линий поля – растяжение.

На рис. 47 показано, что получается при многократном действии отображения Плыкина. Точки, заполнявшие в начальный момент область R , теперь сконцентрировались на аттракторе, который представляет собой некоторое сложно и тонко устроенное фрактальное множество.

Рис. 47. Странный аттрактор Плыкина.

Странный аттрактор Смейла-Вильямса

Помимо двумерных отображений хаотические аттракторы могут наблюдаться и у трёхмерных отображений. Так, рассмотрим трёхмерную область в форме тора (см. рис. 48). Для наглядности его можно представить как резиновый бублик. Выполним с ним некоторые преобразования, а именно – растянем его в длину, сложим вдвое и вложим в исходный тор. Чтобы он там поместился, по ходу преобразования будем уменьшать общий объём бублика, в результате будет уменьшаться и площадь его поперечного сечения. Для того чтобы мы смогли вложить скрученный бублик в исходный тор площадь его поперечного сечения необходимо уменьшить более чем в 2 раза.

Рис. 48. Несколько первых шагов построения аттрактора Смейла-Вильямса.

При каждой итерации количество витков будет удваиваться и в результате многочисленного повторения описанного выше преобразования наш начальный тор превратится в объект, называемый соленоидом (аттрактором) СмейлаВильямса.

На рис. 49 показано, как выглядит поперечное сечение исходного тора после однократного и двукратного применения рассматриваемого отображения.

Рис. 49. Вид сечения аттрактора СмейлаВильямса на первых шагах его построения.

Из рис. 49 видно, что поперечная структура аттрактора Смейла-Вильямса имеет вид канторова множества. Действительно, на каждом шаге в сечении имеется некоторое число дисков. Очередной шаг построения состоит в том, что внутри каждого диска выделяются две ещё меньшие области тоже в форме дисков, которые оставляются до следующего шага, а всё остальное множество исключается. То, что останется в итоге и есть сечение аттрактора Смейла-Вильямса.

Рассмотренное выше преобразование тора можно записать и в аналитическом виде. Её удобно представить в цилиндрических координатах (r, , ), которые связаны с обычными декартовыми координатами (x, y, z) соотношениями

В таком случае поверхность исходного тора можно задать в параметрической форме

где

Тогда само отображение можно представить в виде

r 1 (r 1) cos ,

z z sin ,

где и – параметры отображения. Например, можно взять 0,2 и 0,3 .

Аттрактор Смейла-Вильямса, также как и аттрактор Плыкина, обладает свойством гиперболичности, которое по сути определяет его хаотическую природу.

Система Лоренца

До настоящего времени мы рассматривали примеры динамических систем с хаотическим поведением, которые были сконструированы искусственно и динамика которых задавалась дискретными отображениями. Теперь выясним, а может ли возникать хаос в физических системах или их реалистичных моделях, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями, т.е. более привычным для физиков способом.