Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Рис. 25. Зависимость результата итерации xn от начального значения x0 для n 1 5 в хаотическом режиме при 1,5.
Рис. 26. Зависимость результата итерации xn от начального значения x0 для n 1 5 в хаотическом режиме при 2 .
Аналогичные выводы касательно характера движения системы справедливы и в случае логистического отображения, задаваемого формулой (3), а именно
xn 1 r xn (1 xn ) ,
где r – управляющий параметр. В этом случае 0 r 4.
На рис. 27-28 приведены графики, характеризующие динамику системы при такой форме логистического отображения.
Рис. 27. Динамика логистического отображения
xn 1 r xn (1 xn ) при 3,79 .
Рис. 28. Бифуркационная диаграмма логистического отображения xn 1 r xn (1 xn ).
Следует отметить, что хаотическое поведение системы, подчиняющейся логистическому отображению, никоим образом не связано с уникальностью этого отображения. Действительно, в последствии Фейгенбаум показал, что при некоторых ограничениях переход к хаосу, найденный в логистическом отображении, встречается и во всех других отображениях, задаваемых разностными уравнениями первого порядка, т.е. уравнениями вида
xn 1 f ( xn ) ,
в которых после соответствующего изменения масштаба функция f ( xn ) имеет единственный максимум в интервале
0 xn 1 .
Фейгенбаум установил также, что качественное поведение при переходе к хаосу описывается универсальными константами (константами Фейгенбаума и ), величина которых зависит лишь от характера максимума.
Отображение «тент»
Отображение «тент» задаётся формулой
|
|
xn , |
|
0 x |
|
|
x |
|
|
|
n |
|
|
|
xn |
|
|
, |
(24) |
|
n 1 |
1 |
, |
xn 1 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
где – положительный параметр, меньший 1. График этого отображения приведён на рис. 29.
Рис. 29. |
Отображение «тент» и его динамика при |
0,5 |
(а) и 0,7 (б). |
|
|
Рассмотрим частный случай 0,5. При таком выборе параметра отображение примет вид
x |
|
2xn , |
0 xn |
0,5 |
|
|
|
|
|
xn 1 |
. |
(25) |
|
n 1 |
2(1 xn ), 0,5 |
|
|
|||
Рассмотрим динамику такого отображения. Из формулы (25) видно, что наше отображение содержит операцию растяжения – умножение xn или 1 xn на 2. Изучая отображение «зуб пилы», мы выяснили, что умножение некоторого числа на 2 соответствует сдвигу двоичной записи этого числа на один разряд влево.
Запишем xn в двоичной форме:
xn 0,b1b2b3 ,
где b1,b2 , – биты, которые могут принимать значения bi 0,1. Значение xn 1 после следующей итерации будет
зависеть от того, какой из двух сценариев реализуется:
xn 0,5 или xn 0,5 .