Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Теперь |
заметим, |
что |
конкретный |
вид |
функции |
f (x) |
непринципиален. Действительно, пусть теперь |
f (x) не |
|||
xn
является кусочно-линейной. Например, она может иметь вид, изображённый на рис. 37.
Рис. 37. Нелинейное отображение x f (x) , имеющее цикл (29) периода три.
В этом случае всё равно точки интервала A [a, b] будут иметь прообразы в интервале B [b, c] , а точки интервала B будут иметь прообразы и в A , и в B , т.е. также, как это было в случае кусочно-линейной функции f (x). Значит, динамика такого произвольного отображения в обратном времени будет реализовываться точно также, как для кусочно-линейного отображения. Это в свою очередь означает, что и у произвольного отображения, имеющего цикл периода три, будут наблюдаться хаотические траектории.
Наряду с континуумом хаотических траекторий непрерывное одномерное отображение, у которого есть цикл периода три, имеет также циклы всевозможных периодов. Это частный случай теоремы Шарковского (Шарковский, 1964), содержание которой заключается в следующем:
Если непрерывное отображение одномерного интервала в себя имеет цикл периода m , то оно имеет также и циклы со всевозможными периодами m , предшествующими числу m в перечне всех целых чисел, выписанных в так называемом порядке Шарковского:
Двумерные отображения
Отображение пекаря
Рассмотрим бесконечную в обе стороны последовательность чисел
,b 3 ,b 2 ,b 1,b0 ;b1,b2 ,b3 , , (30)
где биты bi принимают значения 0 либо 1. Например, это может быть последовательность
1001;1100 .
Любая из таких последовательностей может быть отождествленена с двумя числами
0,b0 b 1b 2b 3 , 0,b1b2 b3 . (31)
Например, последовательность 1,0;1,1 задаёт в двоичной форме два числа: 0,01 и 0,11 , которые соответствуют числам 0,25 и 0,75 в десятичной форме. Действительно,
0,25 0 20 0 2 1 1 2 2
,
дробная часть
0,75 0 20 1 2 1 1 2 2
.
дробная часть
Введём теперь две динамические переменные – x и y , определив их через биты bi следующим образом
x |
b0 |
b 1 |
b 2 |
, |
(32 а) |
|
2 |
4 |
8 |
||||
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
y 2 |
4 |
8 |
. |
(32 б) |
|
|
|
|
|
||
Введённые таким образом переменные x и y |
в точности |
||||
соответствуют числам (31), а именно |
|
|
|
||
x 0,b0 b 1b 2b 3 , |
y 0,b1b2 b3 . |
||||
В случае последовательности 1,0;1,1 : x 0,25 , y 0,75 .
Нетрудно заметить, что определённые таким образом переменные x и y принадлежат единичному интервалу [0, 1] . Действительно, их минимальные значения равны 0 – когда все биты равны 0. Максимальные же значения получаются, когда все биты равны 1. В этом случае имеем сумму убывающей геометрической прогрессии
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 n 1 . |
|||
2 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
Теперь выполним преобразование нашей начальной последовательности битов (30) – сдвинем все символы на одну позицию вправо. В результате получим
,b 3 ,b 2 ,b 1;b0 ,b1,b2 ,b3 , . (33)
При таком преобразовании переменные x и |
y изменятся |
|||
и их новые значения будут равны |
|
|
||
b 1 |
b 2 |
b 3 |
|
|
x 2 |
4 |
8 |
, |
(34 а) |
y |
b0 |
|
b1 |
|
b2 |
, |
(34 б) |
2 |
4 |
8 |
|||||
Их можно выразить через старые значения x и |
y сле- |
||||||
дующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
x |
b0 |
|
b 1 |
|
b 2 |
|
||||
2 |
4 |
|
8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
2x b0 |
|
b 1 |
|
b 2 |
|
b 3 |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
8 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x b0 x .
Другими словами мы разложили число 2x на целую и дробную части
2x [2x] {2x} ,
где
b0 [2x] , |
x {2x} . |
(35) |
Теперь выразим из (34 б) переменную y
y |
b |
|
b |
|
b |
|
1 |
|
|
b |
|
b |
|
|
0 |
1 |
2 |
2 |
b0 |
1 |
2 |
|
|||||||
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|