Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Распишем теперь векторные уравнения системы (73) по компонентам, представив v u i w j и обозначив T .
v u x w y ,
wt
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 x2 y2 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u uu |
x |
wu |
y |
|
1 |
p |
x |
(u |
x x |
u |
yy |
) |
|
||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u w |
ww |
y |
1 |
p |
y |
(w |
w |
yy |
) g |
(76) |
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux wy 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t u x |
w y T w |
( x x yy ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключим из этой системы давление |
p . Для этого |
первое |
|||||||||||||||||||||||||||||
уравнение продифференцируем по |
|
y , а второе – по x и выч- |
|||||||||||||||||||||||||||||
тем друг из друга. В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
u u |
u |
x |
uu |
x y |
w |
u |
y |
wu |
yy |
|
1 |
p |
xy |
(u |
x x y |
u |
yyy |
) |
, |
|
|
||||||||||
ty y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w u w u w |
w w |
y |
ww |
y x |
|
1 |
p |
y x |
(w |
w |
yy x |
) |
g |
x |
, |
||||||||||||||||
tx x x |
|
|
x x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x x x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(uty wtx ) uux y wuyy u wx x wwy x uy (ux wy ) wx (ux wy )
(uxx y uyyy ) (wx x x wyy x ) g x ,
(uy wx )t uux y wuyy u wx x wwy x (ux x y uyyy wx x x wyy x ) g x .
Следовательно, система (76) примет вид
(u |
|
w ) |
|
uu |
|
wu |
|
u w |
ww |
|
|
|
||||
|
y |
x |
t |
|
x y |
|
|
|
yy |
|
|
x x |
|
y x |
|
|
|
|
|
|
(uxx y |
uyyy wx x x |
wyy x ) g x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t u x w y |
|
w |
( xx yy ) |
(77) |
||||||||||
|
|
|
h |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
wy |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y 0 |
0 , |
|
y h |
0 , |
w |
y 0 |
0 , w |
y h |
0 |
. (78) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из равенства |
w |
ux wy 0 следует, что компоненты ско- |
рости u и |
могут быть выражены через одну и ту же |
|
функцию. Действительно, |
||
u |
|
, |
w |
|
, |
(79) |
y |
x |
где (x, y,t) – функция тока. Это позволяет записать систему (77) в более компактной форме
uy wx yy x x ,
uux y wuyy u wx x wwy x
y y x y x yyy y x x x x x y x
x ( )y y ( )x ,
ux x y uyyy wx x x wyy x
x x y y |
y y y y |
x x x x |
y y x x |
|
( x x x x 2 x x yy yyyy )
x22 y22 2 2 .
u x w y y x x y ,
xx yy ,
( )t y ( )x x ( )y 2 g x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(80) |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
t |
|
|
x |
|
||
|
|
y x |
x y |
h |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Или в ещё более краткой форме (Зальцман, 1981)
|
|
|
( , ) |
2 g x |
||
( )t |
(x, y) |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
t ( , ) |
T |
, (81) |
|||
|
x |
|||||
|
|
(x, y) |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|||
где
(a,b) |
|
a |
|
b |
|
a |
|
b |
(x, y) |
x |
y |
y |
x . |
Будем искать решение системы (77) методом Галеркина, т.е. решения для функций u , w и будем искать в виде разложений в ряд по некоторой полной системе базисных функций. Из эксперимента Бенара известно, что жидкость, подогреваемая снизу, может совершать конвективное движение в виде валов, причём это движение в пространстве носит периодический характер. Т.е. взяв
одну ячейку, |
расположенную |
в области 0 x l , |
||
0 y h , |
можно |
считать |
течение |
периодически |
продолженным |
в |
остальной |
части |
пространства |
(см. рис. 56).
Рис. 56. Симметрия конвекционных валов.
Поэтому в качестве базисных функций можно выбрать следующие периодические функции:
sin(m x) sin(n y)
sin(m x)cos(n y)
cos(m x) sin(n y)
cos(m x) cos(n y)
,
,
(82)
,
,