Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
1) Пусть xn 0,5 .
Это значит, что первый бит b1 0 , т.е. значение xn находится в левой половине единичного интервала. Тогда после итерации xn 1 2xn , т.е.
xn 0,0b2b3b4 ,
xn 1 0,b2b3b4b5 .
Видим, что в этом случае преобразование «тент» совпадает с отображением «зуб пилы» и просто сдвигает все биты на один разряд влево.
2) Пусть xn 0,5 .
В этом случае первый бит b1 1 , что соответствует тому, что значение xn находится в правой половине единичного интервала. Тогда после итерации xn 1 2(1 xn ) , т.е.
xn 0,1b2b3b4 ,
1 xn 0,0u 2u3u4 ,
xn 1 0,u 2u3u4u5 ,
где u j 1 bj – инвертированный бит. Видим, что в этом случае преобразование «тент» состоит из последовательных операций инвертирования битов и их сдвига на один разряд влево.
Нетрудно показать, что динамика, задаваемая отображением «тент» носит хаотический характер. Для этого попробуем итерировать отображение (25) назад во времени, т.е. построим последовательность
xn , xn 1, xn 2 , , x1, x0 .
Для этого необходимо выразить xn 1 через xn . Как сле- |
|||||
дует из рис. 30, это однозначно сделать нельзя, т.к. одному |
|||||
значению |
x |
соответствует два разных значения |
xn 1 – |
||
левое xnL 1 |
иn |
правое xnR 1 : |
|
|
|
|
xnL 1 xn |
, |
xnR 1 1 xn . |
(26) |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
Рис. 30. Отображение «тент» в обратном |
|||
времени, xL |
и |
xR – прообразы значения |
xn . |
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
Обеспечить однозначность при итерациях в обратном времени можно только указав на каждом шаге, какое из двух значений – левое или правое выбирать. Зададим произвольную бесконечную последовательность из двух символов R и L , например,
RLLRRLRLLRRR . (27)
Такая случайная последовательность, например, может быть получена при подбрасывании монеты: орёл – символ
R , решка – L . Тогда на каждом шаге итерации в об- |
||||||
ратном времени из двух значений (26) будем выбирать |
||||||
значение |
xnL 1 , если |
|
текущий |
символ |
в нашей |
|
последовательности |
– |
символ L |
и, наоборот, будем |
|||
выбирать |
значение |
xR |
|
, если |
текущий |
символ в |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
последовательности – |
R . |
|
|
|
||
Например, нашей последовательности (27) будет соответствовать последовательность
xR , xL , xL , xR , .
n 1 n 2 n 3 n 4
В результате таких итераций в обратном времени мы найдём начальное значение x0 . Теперь взяв полученное значение x0 в качестве начальной точки для отображения (25), мы получим систему, динамика которой будет хаотической, т.к. эта система будет посещать левую и правую часть единичного отрезка случайным образом, а именно – в точном соответствии с символами L и R нашей случайной последовательности, читаемой в обратном порядке.
Характер динамики отображения «тент» можно пронаблюдать
и из рис. 31, из которогоx видно, что чувствительность системы
n
к изменению начальных условий с каждой итерацией увеличивается.
Рис. 31. Зависимость результата итерации xn от начального значения x0 ( n 1 4) для отображения «тент» при 0,5.
Аналогичные выводы справедливы и при произвольных значениях параметра .
Отображение «тент» может быть представлено и в другой форме:
x |
|
2 r xn , 0 xn |
0,5 |
, |
(28) |
|
|
xn 1 |
|
|
|
n 1 |
2 r (1 xn ), 0,5 |
|
|
||
где r – параметр, характеризующий высоту «тента». График отображения (28) представлен на рис. 32.
Рис. 32. Отображение «тент», задаваемое формулой (28).
При r 0,5 отображение (28) имеет одну единственную
устойчивую неподвижную точку – |
аттрактор x 0. При |
||
r 0,5 существуют уже две неподвижные точки, |
однако, |
||
они являются неустойчивыми – |
репеллеры |
|
и |
x2 2r (2r 1) . Эти точки показаны на рис. 33.x1 |
0 |
|
|