Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

3) У последовательности итераций x0 , x1, , xn , такие же статистические свойства, что и у последовательных подбрасываний монеты. Действительно, мы вправе задать начальное условие числом x0 , имеющим произвольную последовательность нулей и единиц в своей двоичной записи. Построим такую случайную последовательность с помощью бросания монеты по следующему правилу: орёл – 0, решка – 1. В итоге можем получить, например, последовательность 1001 Тогда при задании начального состояния

динамическая система в процессе своей эволюции будет посещать левую и правую половину единичного интервала случайно (следуя нашей случайной последовательности). Т.е. другими словами, наша система будет вести себя хаотически, несмотря на то, что она описывается детерминированным уравнением (1).

4) Наша динамическая система очень чувствительна к изменению начальных условий. Действительно, возьмём два

Если n велико, то кажется, что различие в поведении системы будет незначительным. Однако это не совсем так! Сначала, действительно, система будет вести себя одинаково, однако после n итераций (сдвигов Бернулли) начало хвоста как раз придвинется к разделительной запятой

Дальнейшая динамика системы, т.е. посещение левой и правой половины единичного интервала, будет определяться уже структурой «хвоста» и, следовательно, после n -й итерации поведение системы будет различаться.

Таким образом, имея возможность контролировать точность задания начального условия до n -го двоичного знака, мы можем правильно предсказывать попадание xn в левую или правую половину единичного интервала лишь на протяжении первых n итераций. После этого поведение системы становится непредсказуемым, т.е. возникает хаос!

Если рассмотренную модель «зуб пилы» окажется возможным применить для описания поведения реальной физической системы, то в этом случае предсказание поведения такой системы в будущем с большой точностью (через n итераций, n ) становится невозможным в силу необходимости такого же столь точного задания начальных условий, что принципиально невозможно (всегда есть погрешность измерения x0 ). И, следовательно, такая физическая система будет вести себя хаотически.

На первый взгляд, кажется, да.

Для этого он должен повторить все действия в обратном порядке:

1)измерить координату риски;

2)записать полученное при измерении число в двоичном коде;

3)восстановить содержание всех книг на Земле.

Однако физически реализовать данный алгоритм невозможно, т.к. для точного восстановления всей информации необходимо будет определить координату метки на стержне с беспрецедентной точностью, что фактически невозможно, т.к. точность измерения координаты в этом случае должна быть существенно меньше атомных размеров.

Чрезмерную чувствительность отображения «зуб пилы» к изменению начальных условий можно наглядно проиллюстрировать на рис. 10. На нём изображена зависимость n -го результата итерации xn от начального значения x0 (см. формулу (2)). Эту зависимость, согласно уравнению (1), можно представить следующим образом

xn {2xn 1} xn 1 {2xn 2}

.......................................

x1 {2x0}

Рис. 10 а. Результат одной итерации при отображении «зуб пилы» для случая x0 0, 469, x0 0, 499 и x0 0,03.

Рис. 10 б. Результат пяти итераций при отображении «зуб пилы» для случая x0 0, 469 , x0 0, 499 и x0 0,03.