Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Как было сказано выше, помимо регулярных режимов движения в нелинейных системах могут наблюдаться нерегулярные режимы. Такие режимы характеризуются хаотическим изменением динамических переменных во времени. В фазовом пространстве диссипативных систем им отвечают странные аттракторы – сложно устроенные фрактальные множества, притягивающие к себе все траектории из некоторой прилегающей области (бассейна аттрактора).
Рис. 7. Странный аттрактор Лоренца.
Рис. 8. Странный аттрактор.
Одномерные отображения
В этом разделе мы рассмотрим модельные системы, состояние которых характеризуется одной-единственной переменной x . Такая система обладает одномерным фазовым пространством, а оператор эволюции может быть задан в виде рекуррентного отображения вида
xn 1 f (xn ) ,
где n – дискретное время. Анализ таких простых систем оказывается полезным и важным при исследовании поведения более сложных систем.
Отображение «зуб пилы» (сдвиг Бернулли)
Рассмотрим систему, оператор эволюции которой задан следующим правилом определения нового состояния по предыдущему:
xn 1 {2xn} , |
(1) |
где фигурные скобки обозначают дробную часть числа.
Рассматриваемая система, несомненно, является динамической, т.к., используя (1), мы, в принципе, можем определить состояние системы в любой последующий момент времени по известному начальному состоянию x0 .
Рис. 9. Отображение «зуб пилы».
Дадим более наглядную интерпретацию данному отображению. Выберем в качестве начального состояния некоторое число x0 , принадлежащее интервалу от 0 до 1. Запишем это число в двоичной системе счисления:
x0 0,01011010001010011001010
Теперь, если сделать несколько итераций, получим значения:
x1 0,1011010001010011001010 x2 0,011010001010011001010 x3 0,11010001010011001010 x4 0,1010001010011001010
и т.д..
Нетрудно заметить, что при каждой итерации последовательность нулей и единиц сдвигается влево на одну позицию, и цифра, оказавшаяся по левую сторону от запятой, отбрасывается. По этой причине отображение «зуб пилы» иногда называют «сдвигом Бернулли». Кроме того, цифры 0 или 1, стоящие на первой позиции после запятой, показывают в какой половине единичного интервала – левой или правой находится динамическая переменная xn в данный момент.
Какие следствия можно сделать из такой динамики системы?
1) Возьмём сначала в качестве начальной точки x0 некоторое рациональное число. В двоичной записи любое рациональное число представляется периодической дробью, например, значению x0 2
3 соответствует
x0 0,10101010101010101010
Это означает, что при итерации состояние системы будет периодически повторять исходное состояние через число итераций, равное периоду двоичного кода x0 (в нашем случае через 2 итерации). Такой характер движения будет соответствовать любому рациональному числу x0 , а эти числа, как известно, образуют на единичном интервале бесконечное счётное множество. Следовательно, наша система обладать бесконечным счётным множеством периодических орбит (циклов).
2) Если же в качестве начальной точки x0 взять иррациональное число, то в двоичной записи оно представится непериодической дробью. Например, значению x0 1
соответствует в двоичной записи
x0 0,01010001011111001100000110
Теперь при итерациях состояния системы не будут периодически повторяться, т.е. наша система также обладает бесконечным числом непериодических траекторий.