Лекция 3 Расчет ступенчатого бруса

1)V_A-?

ΣF_y=0

+V_A-5*3-10*3-15+30=0(кН)

V_A=15+30+15-30=30(кН)

2)N=?

Уч.2-3, 0<=y<=3

РОЗУ

Уч.0-1, 0<=y₁<=3

РОЗУ

3)уч.1-2, 3<y₁<6

РОЗУ

1. q_i=0 N_i=const

2. На участках бруса, где q_i= const(i) N_i(y)=a_i- q_i y - прямая

3. Под каждой сосредоточенной силой (P_i, V_i) реализуется скачок на величину данной силы.

4. Подсчитаем требуемые площади поперечных сечений ступенчатого бруса из условия их прочности σ =N/A

|σ _i|_max=|N _i|_max/A _i<=R=200(МПа) - расчетное сопротивление для стали

A_{i треб}>=|N _i|_max/R

A_{тр 0-1}>= (30*10³(Н))/(200*10⁶(Н/м²))=150*10^-6=150/1000000=1,5*10^-4=1,5 (см²)

A_{тр 1-2}>=15*10³/200*10⁶=0,75*10^-4 м²=0,75 см²

A_{тр 2-3}>=30*10³/200*10⁶=1,5 (см²)

Строим эпюру нормальных напряжений по длине бруса

σ_i =N_i/A_i

На каждом участке стержня необходимо вычислить:

σ₀=30*10³/1,5*10^-4=20*10⁷=200*10⁶ Па=200 МПа

σ₁=15*10³/1,5*10^-4=100 (МПа)

σ_1(низ)=15*10³/0,75*10^-4=200 МПа

σ_2(верх)= -15*10³/0,75*10^-4=-200 МПа

σ_2(низ)= -30*10³/1,5*10^-4=-200 МПа

σ_1(верх)= -30*10³/1,5*10^-4=-200 МПа

Итак, на каждом участке бруса эпюра σ подобна эпюре N

Строим эпюру продольных перемещений сечений бруса δ (дельта) δ=?

Е- модуль юнга

δ ₀=0_А=0 (заделка в т. А)

δ ₁= δ ₀+ Δl₀₁= δ0+((N0+N1)/2)l01/EA01=0+((30+15)/2)10³*3/(2*10¹¹)*1.5*10^-4 = =0+22.5*10^-4=2.25*10^-3 (м)

δ ₂= δ ₁+ Δl₁₂=22,5*10⁴+(15-15)*10^3*3/(2*10¹¹)*0,75*10^-4=22,5*10^-4=2,25*10^-3 (м)

δ ₃= δ ₂+ Δl₂₃=22,5*10^-4+(-30-30)*10³*3/(2*10¹¹)*1,5*10^-4=22,5*10^-4-30*10^-4=-7,5 *10^-4=-0,7510^-3

Определяем δ _max в сечении, где N=0

δ _max= δ _max+ Δl _max= 2,25*10^-4+((15+0)/2)*10³*1.5/2*10¹¹0.75*10^-4=22.5*10^-4+ +7.5*10^-4=30*10^-4=3*10^-3 (м)

Итак, на эпюре δ:

1. На участках, где q_i=0, δ _i(y)=a_i+b_iy -прямая

2. На участках, где q_i=const, δ _i(y)=a_i+b_iy+c_iy² – парабола второй степени

3. δ _i=0 -в заделанном (защемленном) сечении бруса

4. Эпюра δ(y) не имеет разрывов 1 рода (нет скачков на данной эпюре)

Выше было рассмотрена статическая сторона задачи:

1. Уравнения равновесия (ΣF_y=0)

2. Внутренняя продольная сила (N(y))

3. Нормальное напряжение σ=N/A=(Н/м²=Па)

Геометрическая сторона задачи

Растяжение и сжатие

Абсолютная величина Δl не характеризует состояние стержня. Вводим понятие о продольной деформации стержня ε (относительной величине)

ε= Δl(м)/l(м)= безразмерная величина, которая характеризует состояние стержня в данной его точке

Например, для стали ε<=0.0012

Рассмотрим аналогичную задачу для поперечного направления, перпендикулярного действующим продольным силам и получаем абсолютное изменение поперечного габарита стержня

Δb=b₁-b (1)

ε ₁= (b₁-b)/b= Δb/b (2)

- поперечная деформация стержня.

Пуассон в 19в. установил: следующий закон связи продольной и поперечной деформаций при растяжении-сжатии стержня

ε ₁=-µε (3)

который гласит: Продольная деформация противоположна по знаку и пропорциональна поперечной деформации.

µ (мю)- коэффициент Пуассона, характеризующий свойства материала

µ_сталь=0,3; µ_бетона=0,1; µ_{железобетона}=0,15; µ=0,2 (сильно армированный ж/б)

Физическая сторона задачи:

Ставим в качестве основной задачи нахождение уравнения связи между напряжениями и деформациями. Рассматриваем опытные испытания круглого стального образца из малоуглеродистой стали с площадью поперечного сечения

На участке 0<= σ <= σ _n (до предела пропорциональности) напряжения прямо пропорциональны деформациям

σ _у –предел упругости

σ_y =tg * ε_y (4)

если σ <= σ _y, то образец при его разгрузке полностью восстанавливает свои первоначальные форму и объем

σ _Т –предел текучести материала, при котором происходит перестройка кристаллической структуры материала с образованием неустранимых пластических деформаций.

За площадкой текучести условные напряжения в образце , гдеA - первоначальная площадь поперечного сечения образца, вновь возрастают до величины σ _в – временного сопротивления. Если разгрузить образец в этой зоне, то имевшаяся у него продольная деформация разделится на две части, а именно:

ε _упр - исчезающую упругую деформацию

ε _пласт – необратимую пластичную деформацию

При повторном нагружении образца будет наблюдаться пропорциональная связь между напряжением и деформацией. Т.е. формула (4) справедлива и при разгрузке, и при повторном нагружении за пределами площадки текучести

σ _упр=tg α * ε _упр , где размерности следующие: Н/м²= (Н/м²)*безр, поэтому в правой части формулы в Н/м² измеряется важнейшая физическая const материала: МОДУЛЬ ЮНГА:

tg α=Е (Па) – модуль Юнга

Поэтому в современной редакции закон Гука при растяжении-сжатии имеет вид:

σ =Е * ε (5)

Приводим сводку значений модуля Юнга для конструкционных материалов:

Е=2,2*10¹¹Па - модуль для стали (1905г)

Е=2,1*10¹¹Па - модуль для стали 1935г - (Германия, оболочки покрытия из ж/б)

Е=2,06*10¹¹Па - модуль для стали по современному СНиП

Е=1,85*10¹¹Па - очень хорошая сталь (мост в Стамбуле через Босфор)

Е=2,1*10¹⁰Па - 4*10¹⁰Па - бетоны различного класса

Е=1*10¹⁰Па - модуль Юнга для сосны

Всегда следует помнить, что Е и µ- 2 основные физические const изотропного материала

Задача:

Вывести формулу для удлинения стержня при растяжении-сжатии: Δl=?

(6)

А- площадь поперечного сечения.