Построение эпюр y (z), φ (z), m (z), q (z) и реактивных давлений r (z)

Изменение напряженно-деформированного состояния балки по ее длине характеризуется эпюрами y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z), то есть графиками изменения этих функций вдоль оси Z. После нахождения приведенных начальных параметров уравнения (8) дляy (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) полностью определены и можно строить эпюры.

При этом необходимо учитывать правила знаков: прогиб считается положительным, если он совпадает с положительным направлением оси у (вниз), угол поворота сечения φ (Z) считается положительным, если сечение поворачивается по часовой стрелке. Для знаков M (Z) и Q (Z) принимается правило: М>0 в данном сечении балки, если там растянуты нижние волокна и сжаты верхние, Q>0 в данном сечении, если вектор Q стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке – рис. 7.

Рис. 8

Эпюра реактивных давлений грунта R(Z) строится на основании формулы (1) после построения эпюры y (Z).

В качестве примера рассмотрим процесс построения эпюр для балки, изображенной на рис. 9. Сечение балки – прямоугольное b * h = 0.3 * 0.4 м², E = 2.1 * 10¹⁰ Па, K = 6 * 10⁷ Па, m = 10⁴ нм, Р = 10⁴ н, q = 10⁴ н/м.

Уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) будут следующими:

13

Коэффициент приведенные начальные параметры, найденные из условий закрепления балки по концам, будут:

Строим эпюры y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для последовательности сечений Z = 0, 0.5, 1.0, 1.5,…, 8, рис. 9.

Для проверки правильности построения эпюр можно использовать формулы [1]:

. (12)

Следует помнить, что первая производная функции в любой точке ее графика равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси Z. Таким образом, если при Z₂ > Z₁ M₂ > M₁, то на этом участке Q>0, если при Z₂ > Z₁ φ₂ > φ₁, то на этом участке M < 0, если при Z₂ > Z₁ y₂ > y₁, то на этом участке φ > 0.

Например, на рис. 9 при Z < 2 м М возрастает, поэтому Q > 0, при

Z > 6 м М убывает, поэтому Q < 0.

Отметим также, что если при Z = Z_i M = M_экстр, то в этой точке

Q = 0, если при Z = Z_i φ = φ_экстр, то в этой точке М=0, если при Z = Z_i

у = y_экстр, то в этой точке φ = 0.

Например, на рис. 9 при Z = 2,18 м, 5,37 м, 6,09 м функция прогиба у имеет экстремумы, поэтому в этих точках φ = y ^́_z = 0. Добавим, что если на балку действуют сосредоточенные силы Р_i, то на эпюре Q в этих сечениях должны быть скачки, равные по величине Р_i и направленные в сторону действия Р_i – сечение Z = 2 м на эпюре Q , рис. 9. Если на балку действуют сосредоточенные моменты m_i, то на эпюре М в этих сечениях должны быть скачки, величина которых совпадает с величиной приложенных моментов – например, сечение Z= 6 м эпюры М, рис. 9.

P=10⁴ H m=10⁴ Hм

Рис. 9

Лекция 18

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.

Внецентренное сжатие стержней.

Рассмотрим стержень, подвернутый внецентреному сжатию.

Через L обозначаем эксцентриситет приложения сжимающей силы Р.

Внецентренно приложенную силу заменяем центрально приложенной силой и изгибающим моментом.

Рассмотрим реальное поперечное сечение стержня:

Рис. 1

Преобразует схему нагружения рассмотренным выше способом.

1)Переносим силу Р на ось ОХ: (у=0) и получаем следующий набор силовых факторов:

Р(х_р,0), М_х=Ру_р

2) Переносим силу Р в центральную точку О (0;0) и получаем следующий набор силовых факторов:

Р(0;0)- центральная сжимающая сила:

М_х=Ру_р- момент, относительно оси ОХ

М_у=Рх_р- момент, относительно оси OY

Запишем формулу для напряжений от действия 3-х выявленных силовых факторов:

(1)

Данная формула используется в общем случае внецентренного растяжения и сжатия.

Из знаков в формуле (1) в соответствии с конкретикой рис. 1 выбираем знаки “+” или “-“ перед каждым конкретным слагаемым:

(2)

Введем понятие о ГОСТотвских величинах радиусов инерции сечения: i_x, i_y (м)

- радиус инерции сечения относительно оси ОХ (м) (2,1)

- то же относительно оси OY (2,2)

Возведем формулу (2.1) в квадрат: ,

(2,3)

Аналогично получаем выражение (2,4)

Перепишем (2) в виде:

(3)

Уравнения (2) и (3) представляют собой уравнения плоскости, не проходящей через начало координат, то есть при х=0, у=0 .

В некоторых случаях данная плоскость делит поперечное сечение на 2 части с разными знаками напряжения:

: хорошо работают практически все материалы.

: плохо работает кирпичная кладка и бетон. Например, для бетона класса 30

R_{бет сж} =30МПа

R_{бет раст} = 0.75МПа

Выводим формулу для нулевой линии, на которой напряжения равны нулю, т.е.

Из уравнения (3): ,(4)

В общем виде поиск нулевой линии по уравнению (4) сложен.

Найдем точку пересечения нулевой линии с осью Х, на которой Y=0:

, (5,1)

- найден отрезок, отсекаемый нулевой линией на оси ОХ.

Найдем точку пересечения нулевой линии с осью Y, на которой X=0:

, (5,2)

- найден отрезок, отсекаемый нулевой линией на оси ОY.

Пример: возьмем прямоугольное поперечное сечение

Определяем отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях X и Y:

- на оси OX

- на оси OY

Если сила Р сменит свое положение, передвигаясь к центру тяжести сечения, то зона σ>0 будет прогрессивно убывать.

Классифицируем данные случаи:

_{1. нулевая линия пересекает контур сечения}

_{Рис. 2}

_{В результате в сечении возникают как растягивающие, так и сжимающие напряжения.}

_{2. нулевая линия касается контура сечения, при этом во всем сечении, кроме точки( точек) контура возникают напряжения одного знака.}

_Рис.3

_{3. нулевая линия проходит вне контура сечения – во всех точках сечения, включая точки его контура, возникают напряжения одного знака.}

Рис. 4

Самым важным является случай 2, т.к. он является предельным для бетона, каменной складки и других материалов, плохо работающих на растяжение.

Вводим понятие об ядре сечения (специальной области вокруг центра тяжести сечения)

а) если сила Р расположена вне ядра сечения – нулевая линия (н.л.) пересекает контур сечения (рис.2)

б) если сила Р расположена на границе ядра сечения- нулевая линия касается контура сечения (рис.3)

Т.е. если привести нулевые линии, касающиеся контура сечения, то в этом случае мы найдем точки на границе ядра сечения.

Решим задачу:

Рис. 5

І. Н.л. параллельна ОХ:

,

Перепишем формулы (5) в следующем виде:

,

: точка на границе ядра сечения имеет координату 0 на OY.

ІІ. Н.л. параллельна OY:

,

- на OX

Справедлива следующая

Теорема: при вращении нулевой линии вокруг некоторой точки соответствующий ей центр давления перемещается по прямой.

Рассмотрим вопросы расчетов на прочность. Формула для напряжений при внецентренном сжатии имеет известный вид:

При знании положения н.л. можно выделить две характерные точки поперечного сечения – А и Р.

По закону плоскости максимальное напряжение будет в точке, наиболее удаленной от н.л.

Проводим расчет на прочность при сжатии:

Проводим расчет на прочность при растяжении:

Из 2-х значений Р необходимо взять наименьшее, т.к. одновременно должны выполняться оба условия прочности (и на растяжение, и на сжатие).

Для построения эпюры нормальных напряжений на контуре поперечного сечения достаточно определить напряжения в точках излома контура и соединить их прямыми линиями, например: