Составление уравнения прогибов y (z), углов поворота φ (z), изгибающих моментов м(z) и поперечных сил q(z)

В соответствии с гипотезой проф. Винклера считаем деформацию упругого основания в каждой точке пропорциональной давлению в данной точке, поэтому реакция основания R (Z) получается пропорциональной прогибу балки y (Z) [1]:

R (Z) = K y(Z), (1)

где коэффициент пропорциональности К называется коэффициентом погонной жесткости упругого основания (“коэффициентом постели”) и измеряется в Паскалях (1 ПА = 1 н/м²); y (Z) – прогиб балки (м), R (Z) – реактивное погонное давление упругого основания (н/м). Коэффициент погонной жесткости упругого основания подсчитывается по формуле [3]:

K = K₀ b, (2)

где К₀ - коэффициент жесткости упругого основания, измеряемый в н/м³, b - ширина балки (м) в нижней ее части.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании имеет вид [4]:

y^(IV) + 4 α⁴ y = q (Z) / EI, (3)

где коэффициент α = (м^-1), E - модуль упругости материала балки (Па), I - момент инерции сечения балки (м⁴), q (Z) – интенсивность поперечной нагрузки (н/м).

В соответствии с методом акад. А. Н. Крылова решение уравнения (3) записываем в виде [1]:

y (Z) = C₁ y₁ (αZ) + C₂ y₂ (αZ) + C₃ y₃ (αZ) + C₄ y₄ (αZ) + . (4)

Здесь постоянные С₁, С₂, С₃, С₄ определяются из условий закрепления балки по концам. Они связаны с начальными параметрами y₀, φ₀, M₀, Q₀, представляющими собой соответственно прогиб, угол поворота сечения, изгибающий момент, поперечную силу в сечении Z = 0 на левом конце балки, формулами [4]:

C₁ = y₀, C₂ = φ₀ / α, C₃ = - M₀ / (E I α²), C₄ = - Q₀ / (E I α³ ). (5)

В (4) функции y₁, y₂, y₃, y₄ имеют вид [4]:

y₁ (αZ) = chαZ cosαZ, y₂ (αZ) = (chαZ sinαZ + shαZ cosαZ), (6)

y₃ (αZ) = shαZ sinαZ, y₄ (αZ) = (chα sinαZ – shαZ cosαZ).

Производные от функций y₁, y₂, y₃, y₄ вычисляются по формулам:

(y₁)́_Z = -4α y₄; (y₂)́_Z = α y₁; (y₃)́_Z = α y₂; (y₄)́_Z = α y_3. (7)

Прогиб y (Z), угол поворота сечения φ (Z), изгибающий момент M (Z) и поперечная сила Q (Z) вычисляются по формулам:

(8)

Частное решение в (8) имеет вид - рис. 3.

Рис. 3

, (9)

,

.

Если приложенная к балке распределенная нагрузка q_i не доходит до правого края балки, то ее условно продлевают до конца балки, а влияние этой добавки компенсируют той же нагрузкой с обратным знаком, рис. 4.

y

Рис. 4

При этом частное решение будет следующим:

. (10)

Отметим, что частное решение может содержать несколько слагаемых, определяемых по формулам (9) и (10).

При составлении уравнений (8) используется следующее правило знаков для : если внешний силовой фактор дает относительно данного сечения момент по часовой стрелке, то в уравнения (8) соответствующее слагаемое вводят со знаком минус.

Необходимо помнить, что при определении функций y (Z), φ (Z),

M (Z), Q (Z) в сечении Z = Z_i учитываются лишь силы, расположенные слева от данного сечения.

Рассмотрим пример составления уравнений y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для балки, изображенной на рис. 5.

На балку, защемленную на левом конце и шарнирно опертую на правом, действует сосредоточенная сила Р в сечении “1” Z = 2 м, сосредоточенные моменты m₁ в сечении “2” Z = 4 м и m₂ в сечении “3” Z = 6 м, а также распределенная нагрузка q на участке от сечения “1” Z = 2 м до сечения “2” Z = 4 м.

Рис. 5

Возможно записать уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для каждого характерного участка балки, то есть для участков 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, рис. 5, но такая запись затруднительна при большом количестве характерных участков.

В этой связи записываем универсальные уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для всей балки, включая в них индексы характерных сечений “1”, “2”, “3”, положение которых определяется приложенными силовыми факторами:

9

Индексы характерных сечений “1”, “2”, “3” в уравнениях ставятся непосредственно перед слагаемым, включающим силовой фактор, приложенный в конкретном характерном сечении балки. Данные индексы указывают, что стоящие за ними слагаемые учитываются, лишь начиная с данного характерного сечения.

В этой связи слагаемое, включающее момент m₂, учитывается лишь для сечений с Z ≥ Z₃ = 6 м, слагаемое, включающее силу Р, учитывается лишь для сечений с Z ≥ Z₂ = 2 м, а слагаемое, учитывающее окончание участка с равномерно распределенной нагрузкой q, учитываются лишь для сечений с Z ≥ Z₂ = 4 м. Очевидно, что слагаемое, учитывающее момент m₁ , учитывается лишь для сечений с Z ≥ Z₁ = 4 м, а слагаемое, учитывающее нагрузку q, учитываются лишь для сечений с Z ≥ Z₁ = 2 м.

Например, в сечениях Z = 8 м, Z = 7 м учитываются все слагаемые в уравнениях, в сечении Z = 5 м не учитывается по одному последнему слагаемому, в сечении Z = 3 м – по три последних слагаемых в уравнениях. Очевидно, что в сечении Z = 1 учитываются лишь первые четыре слагаемых в уравнениях для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z).