Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции по сопромату.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
5.68 Mб
Скачать

Лекция 14

Определение перемещений при изгибе балки

В сопротивлении материалов перемещение определяется по формуле О. Мора:

(1)

Формула Отто Мора

М(z)i- аналитическое выражение для изгибающего момента на этом участке балки

- аналитическое выражение для единичного изгибающего момента на этом участке балки:

а) если требуется определить прогиб в конкретном сечении балки:

прикладываем единичную силу Р=1 в данном сечении и строим эпюру единичных моментов

б) в случае определения угла поворот в сечении прикладывается в данном сечении единичный момент m=1 и строится эпюра единичных моментов

После этого необходимо вычислить величину определенного интеграла по формуле (1).

Рассмотрим конкретный пример определения прогиба.

Если у балки много участков с различной нагрузкой, то вычисления по формуле (1) затруднительны.

Формула Симпсона для определения перемещений:

(2)

Формула Симпсона дает точные величины перемещений, если эпюра М является параболой второй степени (всегда реализуется при действии равномерно распределенных нагрузок), а эпюра единичных моментов – ломаной прямой (реализуется всегда).

Среднее значение моментов определяется элементарно по формуле (3)

(3)

Рассмотрим тот же пример, который решаем с использованием формулы Симпсона:

- совпадает с результатом по интегралу Мора.

Рассмотрим пример определения перемещений в балке.

При построении эпюры изгибающих моментов используем принцип суперпозиции (эффект независимости действия си)

Эпюра единичных моментов, построенная для определения прогиба в середине балки, имеет следующий вид:

Определяем прогиб в середине балки по формуле Симпсона:

2) Рассмотрим пример определения угла поворота сечения балки

Определяем угол поворота на правой опоре балки

Угол поворота

Во всех вышеприведенных вычислениях моменты записывались в (кН/м). На самом деле нужно писать в базовых единицах (Н*м), поэтому во всех вышеприведенных вычислениях умножаем полученные величины перемещений на 103.

Рассмотрим расчет балки на жесткость (по второму предельному состоянию). Считаем, что прогиб мостовой балки не может превышать 1/450 от ее пролета. Берем конкретный пример расчета.

Берем I №30:

Поверим данный двутавр на прочность:

Что соответствует двутавру I №18а.

Таким образом, двутавр № 30, подобранный из условия требуемой жесткости балки, удовлетворяет и условиям прочности балки.

Лекция 15

Кручение валов круглого и кольцевого поперечного сечения

Закручивание валов вызывается моментами, действующими в плоскостях, перепендикулярных оси валов.

Проведем опыт над валом из резиноподобного материала

- закручивающий момент

φ- угол закручивания

В результате анализа данных опытов устанавливается:

  1. Длина вала при кручении остается постоянной l=const

∆l(z)=0 –приращение

(1)

- нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных оси вала, отсутствуют.

2) В поперечном сечении вала d=const

d=0

(2) на любой площадке, параллельной оси вала, нормальные напряжения равны нулю.

3)Все диаметральные линии в поперечных сечениях остаются прямыми, повернувшись на некоторый угол.

τ- касательные напряжения в поперечном сечении вала

ρ- полярный радиус конкретной точки поперечного сечения

(3)- касательные напряжения изменяется линейно с ростом расстояния от центра круга.

Записываем формулу для крутящего момента. Выделяем элементарную площадку dA, по которой действует напряжение τ.

(4)

Определение: крутящим моментом M (кН*м) в данном сечении вала называется внутренней силовой фактор (формула (4)), численно равный алгебраической сумме закручивающих моментов по одну сторону от данного сечения вала.

Эпюра Мкр при действии сосредоточенных закручивающих моментов имеет постоянные ординаты на каждом участке вала, и под каждым внешним моментом происходит скачок на величину данного момента.

Используя эпюру Мкр , можно подобрать поперечное сечение вала. С использованием формул (3), (4) выводим формулу для касательных напряжений вала.

(5)

По аналогии с изгибом вводим величину Wρ – полярного момента сопротивления сечения.

(6)

Для круглого поперечного сечения:

,

Тогда:

По ГОСТу диаметры валов идут с определенными шагами:

d= 30мм, 35,40,45,50,55,60,65,70.75.80,85,90,95,100мм,…

d= 79.8мм

Принимаем из условия прочности диаметр вала d= 80мм

Докажем, что вал кольцевого поперечного сечения экономичнее по расходу материала вала кругового поперечного сечения.

D=90мм

d= 0.7*90=63мм

Возьмем d=65мм

  • Площадь кольцевого поперечного сечения:

Расход металла пропорционален площади, для вала кольцевого поперечного сечения экономия металла составляет

Кроме того, при использовании кольцевого поперечного сечения металл удаляется из той части вала, где напряжение τ мало, т.е. металл используется в этой зоне неэффективно.

Расчет валов на жесткость

В зависимости от скорости вращения вала нормируется угол закручивания вала в градусах на один погонный метр вала, что соответствует расчету вала на жесткость.

По аналогии с формулой для удлинений бруса при изгибе (м)

может быть записана формула для угла закручивания вала .

В данную формулу входит величина модуля сдвига, для которого теоретическое значение подсчитывается по формуле

(для стали),

где μ- коэффициент Пуассона, Е – модуль Юнга.

В градусной мере угол закручивания равен

Предположим, что

Отсюда можно получить величину Iρ:

Опыт по определению модуля сдвига может быть проведен следующим образом:

=>

  • .

В опыте замеряется угол закручивания при различных значениях нагрузки Р. Так как величиныиd известны, то можно подсчитать ряд значений модуля сдвига G и далее, вычислив среднее арифметическое данных значений, определить достоверную величину модуля сдвига для исследуемого материала.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.