Лекция 17 определение начальных параметров y0, φ0, m0, q0 из условий закрепления балки по концам

Для того, чтобы построить эпюры прогиба y (Z), углов поворота сечений φ (Z), изгибающих моментов M (Z), поперечных сил Q (Z) по формулам (8), необходимо знать величины начальных параметров y₀, φ₀, M₀, Q₀, входящих в (8).

Величины двух начальных параметров из четырех непосредственно находятся из условий опирания левого конца балки. Если опирание свободное – рис. 2 а, то M₀ = 0, Q₀ = 0, если шарнирное – рис. 2 в, то y₀ = 0, M₀ = 0, если левый конец защемлен – рис. 2 д, то y₀ = 0, φ₀ = 0.

Величины двух других начальных параметров определяются из условий опирания правого конца балки длиной ℓ. Если опирание свободное,

рис. 2 б, то для нахождения начальных параметров получаем уравнения

М (αℓ) = 0, Q (αℓ) = 0, если шарнирное, рис. 2 г, то уравнения у (αℓ) = 0,

М (αℓ) = 0, если правый конец защемлен, рис. 2 д, то уравнения у (αℓ) = 0, φ (αℓ) = 0.

Решая систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными, находим данные параметры.

В качестве примера рассмотрим процесс нахождения начальных параметров для балки, изображенной на рис. 6 – свободный от закреплений левый конец балки, шарнирно опертый правый конец балки.

Рис. 6

Балка имеет прямоугольное поперечное сечение b * h = 0,4 * 0,5 м², модуль упругости бетона берем равным Е = 2,1 * 10¹⁰ Па, коэффициент жесткости упругого основания К₀ = 2 * 10⁸ н/ м³. В процессе вычислений находим: К = К₀ b = 2 10⁸ 0,4 = 8 * 10⁷ н/ м², I_x = b h³/12 = 0,00416(6) м⁴,

E I_x = 8,76 * 10⁷ н/ м²,

Из условий на левом конце балки находим y₀ = 0, M₀ = 0. Уравнения для нахождения начальных параметров Q₀ и φ₀ будут следующими:

Решая полученную систему уравнений, находим:

= -2,68324731 * 10^-4 (м), φ₀ /α =1,30577156 * 10^-4 (м).

Отметим, что в уравнение (8) начальные параметры входят в приведенном виде φ₀/α, - M₀/(ЕIα²), - Q₀/( ЕIα³), поэтому их следует искать в этом же виде, в котором все они имеют размерность длины (м) и характеризуются сопоставимыми между собой значениями.

Рассмотрим также пример определения начальных параметров для балки, изображенной на рис. 7 со свободными от закреплений концами.

Рис. 7

Балка имеет прямоугольное поперечное сечение b * h = 0,3 * 0,4 м², модуль упругости бетона берем равным Е = 2,1 * 10¹⁰ Па, коэффициент жесткости упругого основания К₀ = 1 * 10⁸ н/ м³. В процессе вычислений находим: К = К₀ b = 1 10⁸ 0,4 = 4 * 10⁷ н/ м², I_x = b h³/12 = 0,0016 м⁴, E I_x = 3,36 * 10⁷ н/ м²,

Из условий на левом конце балки находим M₀ = 0, Q₀ = 0. Уравнения для нахождения начальных параметров y₀ и φ₀ будут следующими:

Решая полученную систему уравнений, находим:

= 2,56656393 * 10^-4 (м), φ₀ /α =-1,47779349 * 10^-6 (м).

Отметим, что начальные параметры надо определять с весьма высокой точностью, иначе на правом конце балки значения функций y(L), φ(L), M(L), Q (L) будут содержать заметные погрешности.