3832

чайной величиной (или функцией), имеющей одну-единственную возмож-

ную реализацию, вероятность которой равна единице).

Строго говоря, все системы, с которыми мы встречаемся на практике,

являются стохастическими, так как параметры любой системы вследствие влияния бесчисленного множества причин подвержены непрерывным слу-

чайным изменениям - флуктуациям. Однако у большей части технических систем разброс выходных сигналов под действием случайных изменений па-

раметров пренебрежимо мал. Это и дает возможность считать такие системы детерминированными. Так, например, токи и напряжения в элементах любой электрической цепи (если только число элементов не чрезмерно велико) при данном законе изменения входного напряжения изменяются практически всегда одинаково. Разбросом законов изменения токов и напряжений в эле-

ментах такой цепи можно пренебрегать. Поэтому электрическую цепь с не очень большим числом элементов можно считать детерминированной систе-

мой. Однако при очень большом числе элементов, измеряемом тысячами,

разброс токов и напряжений в элементах электрической цепи вследствие флуктуации их параметров может стать ощутимым, и тогда придется считать цепь стохастической системой.

В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно детермини-

рованные системы.

1.4.2. Линейные и нелинейные системы. Оператор системы

Выходной сигнал любой детерминированной системы зависит от входного сигнала, данному входному сигналу соответствует вполне опреде-

ленный выходной сигнал. Иными словами, выходной сигнал детерминиро-

ванной системы является вполне определенной функцией ее входного сигна-

ла /4/. Однако функцию в данном случае надо понимать не в том смысле, как она понимается в элементарном математическом анализе, а в обобщенном смысле, так как аргументом функции в данном случае служит некоторая

41

функция времени – входной сигнал системы, а значением функции при дан-

ном значении аргумента (входном сигнале) тоже служит некоторая функция времени – выходной сигнал системы. В современной математике функцией называется в общем случае однозначное соответствие между любыми объек-

тами – элементами некоторых множеств. А именно функцией называется та-

кое соответствие между элементами двух множеств X и Y, когда каждому элементу x множества Х соответствует один вполне определенный элемент y

множества Y. При этом элементами множеств Х и Y могут быть любые объ-

екты. В частности, ими могут быть скалярные или векторные функции лю-

бых переменных.

Функция, которая любому значению аргумента х ставит в соответствие некоторое вполне определенное число y называется функционалом. Приме-

ром функционала может служить площадь, ограниченная замкнутой кривой.

Каждому значению аргумента (данной замкнутой кривой) соответствует од-

но вполне определенное число – ограниченная кривой площадь.

Функция, которая любому значению аргумента x ставит в соответствие некоторый элемент y множества Y, не являющегося множеством чисел, назы-

вается оператором. Примером оператора А может служить соответствие ме-

жду функцией x(t) скалярной переменной t и интегралом от нее с перемен-

t

ным верхним пределом A x(t )dt (интеграл представляет собой опреде-

0

ленную функцию верхнего предела). В данном случае аргументом и значени-

ем оператора служит функция одной и той же переменной.

Так как любая система осуществляет преобразование функций – каж-

дой данной функции на входе ставит в соответствие определенную функцию на выходе, - то каждой детерминированной системе соответствует вполне определенный оператор (оператор системы). Оператор системы обычно обо-

значается одной буквой. Тогда соответствие между входной функцией сис-

темы x(t) и ее выходной функцией y(t) можно коротко записать в виде

42

где А – оператор системы. Буквой А в (1.1) обозначена вся совокупность ма-

тематических действий, которые нужно произвести, чтобы по данной вход-

ной функции x(t) найти соответствующую выходную функцию системы y(t).

Оператор системы является полной, исчерпывающей ее характеристи-

кой. При этом понятием оператора объединяются любые математические действия: все алгебраические действия, дифференцирование, интегрирова-

ние, сдвиг во времени, решение дифференциальных, интегральных, алгеб-

раических и любых других функциональных уравнений, а также любые ло-

гические действия. Задать оператор системы – это означает задать совокуп-

ность (программу) действий, которые надо осуществить над входной функ-

цией, чтобы получить выходную функцию.

Оператор системы может быть задан в различных формах. В частности,

оператор системы полностью определяется системой уравнений, описываю-

щих работу всех элементов, из которых состоит данная система. Так, напри-

мер, оператор системы управления движением мобильного объекта (судна,

самолета, ракеты) можно задать в форме дифференциальных уравнений его движения и уравнений, описывающих все механические, электрические,

электромагнитные и другие процессы в элементах системы управления. Со-

вокупность всех этих уравнений полностью определяет закон, по которому для любого данного входного возмущения можно найти соответствующую выходную переменную системы.

В задачах практики поведение автоматической системы часто можно описать конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. В

таких случаях оператор системы сводится к операции решения дифференци-

альных уравнений. Это дает возможность применить для исследования сис-

темы методы теории дифференциальных уравнений. Однако на практике встречаются и такие системы, поведение которых описывается уравнениями в частных производных или даже более сложными видами уравнений. По-

43

этому аппарат теории дифференциальных уравнений недостаточен для по-

строения общей теории автоматических систем.

Именно поэтому приходится в общем случае характеризовать автома-

тическую систему ее оператором и пользоваться различными способами за-

дания этого оператора. Задание оператора системы в форме дифференциаль-

ных уравнений, обыкновенных или в частных производных, возможно только

вчастных случаях.

Вслучае, когда поведение системы описывается конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих входную и вы-

ходную функции, задания входной функции недостаточно для полного и од-

нозначного определения выходной функции. Необходимо задать еще началь-

ные условия. Совокупность входной функции и начальных условии полно-

стью и однозначно определяет выходную функцию системы. Таким образом,

подобная система устанавливает однозначное соответствие между входной переменной и начальными условиями, с одной стороны, и выходной пере-

менной, с другой стороны. Поэтому для справедливости всего сказанного выше, в данном случае достаточно включить начальные условия в состав входного сигнала системы. В дальнейшем мы увидим, что для систем, опи-

сываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, начальные условия всегда могут быть учтены путем добавления к входной функции x(t)

некоторых слагаемых. В более общем случае в состав входного сигнала сис-

темы нужно включить все величины, задание которых необходимо для одно-

значного определения выходного сигнала.

Вместо того чтобы вводить начальные условия в состав входного сиг-

нала системы, иногда вводят понятие текущего состояния системы, опреде-

ляя его так, чтобы задание входной функции и начального состояния одно-

значно определяло выходную функцию и текущее состояние системы в лю-

бой момент времени /19/.

Оператор А называется линейным, если при любых числах n, c1,……сn

44

и при любых функциях x1(t)…….xn(t)

т е результат действия этого оператора на любую линейную комбинацию данных функций является линейной комбинацией результатов его действия на каждую функцию в отдельности с теми же коэффициентами.

Динамическая система называется линейной, если ее оператор линеен.

Иными словами, динамическая система линейна тогда и только тогда, когда линейной комбинации любых входных возмущений соответствует та же ли-

нейная комбинация соответствующих выходных функций. Это свойство ли-

нейных систем, выраженное формулой (1.2), обычно называется принципом суперпозиции. Поэтому линейные системы можно определить как такие сис-

темы, для которых справедлив принцип суперпозиции.

Для того чтобы система была линейной, необходимо и достаточно вы-

полнение следующих двух условий:

1) сумме любых двух входных возмущений соответствует сумма соот-

ветствующих двух выходных переменных; 2) при любом усилении входного возмущения без изменения его фор-

мы выходная переменная претерпевает точно такое же усиление, также не изменяя своей формы.

Необходимость этих условий очевидна. Так как формула (1.2) справед-

лива для любого п и любых чисел с1, . . ., сn, то, полагая n = 2, с1 = c2 = 1, по-

лучаем

Для линейности системы необходимо, чтобы принцип суперпозиции

соблюдался при любом числе слагаемых, при любом выборе постоянных с и

45

оператор преобразования А входного сигнала в выходной (рис. 1.3). Звеном направленного действия называется звено (элемент системы), передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, так, что изме-

нение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего зве-

на, работающего на его вход. Для такого звена справедливо уравнение (1.1).

Принцип суперпозиции значительно облегчает исследование линейных систем по сравнению с нелинейными. Благодаря принципу суперпозиции теория линейных дифференциальных уравнений разработана в самом общем виде для уравнений любого порядка, в то время как теория нелинейных диф-

ференциальных уравнений по существу отсутствует, и мы можем решать в аналитической форме только нелинейные дифференциальные уравнения ча-

стных видов невысокого порядка. Вот почему для решения всех математиче-

ских вопросов, возникающих в приложениях, обращаются в первую очередь к линейным методам. При этом даже нелинейные системы стараются при-

ближенно рассматривать как линейные. В результате появились различные методы линеаризации нелинейных систем, т. е. приближенной замены нели-

нейных систем практически равноценными линейными.

Из справедливости принципа суперпозиции для линейных систем при любом числе слагаемых и любом выборе функций х (t) и чисел c следует,

что он применим не только к суммам, но и к интегралам. Другими словами,

если входное возмущение системы представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных возмущений, то выходная переменная линейной системы представляет собой сумму соответствующих бесконечно малых реакций на эти элементарные возмущения. Математиче-

ски это выражается формулой

47

где индекс t у оператора А показывает, что этот оператор действует над функцией аргумента t, а при этом рассматривается как фиксированный па-

раметр. Эта формула выражает принцип суперпозиции в интегральной фор-

ме. Для доказательства достаточно представить интеграл в виде предела по-

следовательности сумм. Для каждой суммы принцип суперпозиции справед-

лив. Таким образом, для любого члена этой последовательности справедлива формула (1.1). Следовательно, при переходе к пределу получится формула

(1.9), если интеграл в правой части существует.

Принцип суперпозиции дает возможность выразить реакцию линейной системы на любое возмущение через ее реакцию на определенный вид эле-

ментарных, возмущений. Для этого достаточно разложить произвольное возмущение х(t) на элементарные возмущения выбранного типа. Тогда, зная реакцию линейной системы на элементарные возмущения этого типа, мы можем при помощи принципа суперпозиции определить ее реакцию на про-

извольное возмущение x(t). Таким образом, для определения реакции линей-

ной системы на произвольное возмущение достаточно знать ее реакцию на выбранный стандартный тип элементарных возмущений. Иными словами,

любая линейная система полностью характеризуется ее реакцией на какой-

нибудь стандартный тип возмущений. В зависимости от выбора стандартного типа возмущений мы получим разные характеристики линейной системы.

Каждая такая характеристика будет исчерпывающей, так как знания ее дос-

таточно для нахождения реакции линейной системы на любое возмущение.

1.4.3. Стационарные и нестационарные системы

Система называется стационарной, если ее реакция на любое возмуще-

ние зависит только от интервала времени между данным моментом и момен-

том начала действия возмущения. Пусть x(t) – произвольная функция, равная

48

нулю при t<t0. Тогда, согласно данному определению, реакция y(t) стацио-

нарной сиcтемы на возмущение x(t) зависит только от интервала времени t-t0, y(t)=f(t-t0). Если то же самое возмущение будет действовать на стационарную систему начиная с момента t1 = tо + а, то оно будет описываться функцией x(t-a), а реакция системы будет представлять собой функцию f(t-t1) = f(t-t0-a) = y(t-a).

Таким образом, стационарную систему можно определить как такую систему, у которой при любом сдвиге во времени входного возмущения без изменения его формы выходная переменная претерпевает такой же сдвиг во времени без изменения своей формы /4/ (рис. 1.4, а и б). Нестационарные системы характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без изменения формы их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и изменяют форму (рис. 1.4, в).

ся в покое, начнет действовать возмущение (сила) заданной формы, напри-

мер синусоидальное возмущение заданной амплитуды и частоты, маятник будет совершать одни и те же колебания.

Примером нестационарной системы может служить математический маятник, длина которого изменяется в зависимости от времени по заданному

49

закону. Такой маятник можно представить как материальную точку, подве-

шенную на нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через ось и наматы-

ваемой на барабан часовым механизмом (рис. 1.5).

Длина такого маятника в момент начала дейст-

вия на него возмущения будет зависеть от момента на-

чала действия возмущения. Следовательно, и характер колебаний (в частности, частота) такого маятника под

Рис. 1.5. Пример неста- действием возмущения заданной формы будет зави- ционарной системы сеть от момента начала действия возмущения.

Из теоретической механики известно, что колебания маятника точно описываются нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Малые колебания, т. е. колебания, при которых линейные перемещения кон-

ца маятника малы по сравнению с его длиной, можно приближенно описать линейным дифференциальным уравнением второго порядка вида /4/:

Следовательно, математический маятник постоянной длины в общем случае колебаний является стационарной нелинейной системой, а при малых колебаниях - стационарной линейной системой. Если длина маятника пере-

менна, то при любых колебаниях математический маятник является неста-

ционарной нелинейной системой. Нестационарные системы описываются уравнениями с переменными коэффициентами, стационарные - уравнениями

спостоянными коэффициентами.

1.4.4.Непрерывные и дискретные (импульсные) системы

Входные сигналы в автоматических системах могут действовать непре-

рывно в течение всего времени работы системы или только в определенные моменты времени (точнее, в течение коротких интервалов времени), разде-

ленные промежутками времени, в течение которых они не действуют на сис-

тему. Системы первого типа называются непрерывными, а системы второго

50