3832

Сходным образом можно построить описание в пространстве, состоя-

ний и для случая кратных корней. Конечно, подобные описания базируются на знании корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции), что на практике является существенным ограничением (недостат-

ком). Естественно, что, вводя те или иные пространства состояний, одной и той же передаточной функции можно сопоставить неограниченное число описаний в этих пространствах состоянии (но, желательно единственное описание в каждом заданном пространстве).

2.3.Временные характеристики непрерывных систем

впространствах сигналов и состояний

2.3.1.Основные понятия и определения

Вобщем случае временная характеристика непрерывной системы ав-

томатического управления представляет собой зависимость (отклик) измене-

ния выходной переменной от входной переменной во времени. Наиболее часто определяются отклики на типовые входные воздействия, часть из кото-

рых получили специальные наименования. Так, переходной характеристи-

кой (функцией) h(t) элемента или системы называют отклик (реакцию) на вы-

ходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздей-

ствия (рис.1.13, а).

Наряду с переходной характеристикой применяется импульсная пере-

ходная (временная) характеристика или функция (t), называемая еще весо-

вой функцией (функцией веса). Эта характеристика представляет собой реак-

цию звена на единичный импульс ((1.27), рис. 1.14).

121

Дельта-функция связана с единичной ступенчатой функцией зависимо-

стью (1.30), откуда следует аналогичная связь между переходной и весовой

t

функциями линейных звеньев: (t)= h(t) и наоборот h(t ) (t )dt.

0

2.3.2. Определение временных характеристик непрерывных систем в пространстве сигналов

Зная переходную или весовую функцию, можно определить реакцию звена на произвольное входное воздействие /6/ при нулевых начальных усло-

виях с помощью следующих формул:

Выражения (2.136) и (2.137) будет часто использоваться в дальнейшем.

Поэтому остановимся более подробно на его геометрической интерпретации,

воспользовавшись представлением -функции импульсом (рис. 1.14).

Разобьем ось времени на равные интервалы длительности и обозна-

чим середину k-го интервала через k (k= 0, ± 1, ± 2, . . .). Значение произ-

вольной функции x(t) в точке k, равно х( k) /4/.

Построим прямоугольный импульс длительности , имеющий высоту

х( k), действующий в промежутке времени k , k Очевидно, что еди-

2 2

ничный прямоугольный импульс, действующий в этом промежутке времени,

выражается функцией (t- k).

122

Высота этого импульса равна 1 . Чтобы получить импульс высоты

k) . Сумма таких импульсов, соответствующих интервалам, на которые мы разбили ось t, представляет ступенчатую функцию x (t), имеющую в каждом интервале постоянное значение, равное значению функции х(t) в середине этого интервала (рис. 2.16) /4/:

k

При малой длине интервалов эта функция может быть принята при-

ближенно совпадающей с данной функцией х(t). Чем меньше , тем точнее будет совпадение. В пределе при 0 ступенчатая функция x (t) стремится к

х(t). При этом функция (t- ) стремится к -функции (t- ), а сумма стремит-

ся к соответствующему интегралу. В результате переход к пределу при 0

в (2.138) дает формулу

Формула (2.138) при любом дает разложение соответствующей ступенчатой функции x (t) на прямо-

угольные импульсы длительности .

Следовательно, формула (2.136), яв-

Рис. 2.16. Представление непрерывной ляющаяся пределом формулы (2.138) функции через x (t)

123

при 0, дает разложение функции х(t) на мгновенные импульсы.

Выражения (2.136) и (2.137) легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля или интеграла свертки. Заметим, что первое слагаемое в выражениях (2.136) и (2.137) у реальных инерционных звеньев равно нулю, т. к. реакция на их выходе всегда отстает от входного воздейст-

вия, поэтому в дальнейшем эти выражения используются при h(0)=0, свойст-

во равенства нулю весовой функции при >t будем называть условием физи-

ческой реализуемости системы /4/.

Переходные характеристики могут быть выражены непосредственно через передаточную функцию (2.30) с помощью (2.32). В соответствии с

(2.30)

что на основании (2.32) позволяет записать

Из (2.141) следует, что выходная реакция звена или системы может быть определена при любом входном воздействии, изображение X(s) которо-

го известно.

интеграла вдоль отрезка (c-j , c+j ) при .

При практическом применении обратного преобразования Лапласа путь интегрирования вдоль прямой, параллельной оси мнимых величин, за-

124

меняется замкнутым контуром, что дает возможность применить теорему о вычетах, согласно которой оригиналом F(s) служит функция

где сумма вычетов берется по всем особым точкам k функции F(s).

Формула (2.142) обусловливает нижеследующую теорему разложения применительно к мероморфной функции F(s), т.е. когда особенности инте-

гральной функции в конечной области – только полюсы.

Представим изображение F(s) в виде правильной дроби F1(s)/F2(s),

причем числитель и знаменатель не имеет общих корней. Положение полю-

сов функции F(s) определяются корнями уравнения F2 (s) 0.

Обозначим n корней этого уравнения через 1, 2,…, n. Если все корни

простые, то вычет функции (s)/ (s) по полюсу первого порядка s= k равен:

(2.141)), то на основании (2.142) и (2.143) при простых (первого порядка) по-

люсах /7/

В результате получена общая форма теоремы разложения для случая простых корней. Выражение в квадратных скобках в знаменателе (2.144)

сначала надо сократить на множитель (s- k), после чего произвести подста-

новку s= k. В (2.143) и (2.144) штрихом обозначена производная по ком-

плексной переменной s.

В случае комплексных корней получаются два сопряженных слагае125

(2.144) и (2.145) применяются раздельно соответственно для простых и крат-

ных корней; затем производится суммирование.

Итак, если оператор преобразования входного воздействия объекта или системы управления x(t) в выходную переменную y(t) представлен в форме передаточной функции (2.30), кратные корни отсутствуют и

L{ x(t )} Bx ( s ) X( s ), то в общем случае переменная выхода с учетом

Ax ( s )

ранее принятых обозначений и (2.144) запишется в виде /7/

где A0(s) – полином, определяемый начальными условиями; i, i=1,...,n – по-

люсы передаточной функции W(s); k, k=1,...,nx – полюсы изображения воз-

действия X(s). Принято, что k, i, т. е. полюсы воздействия не равны полю-

сам передаточной функции (нет обобщенного резонанса).

В выражении (2.146) реакция выхода содержит: переходную состав-

ляющую вынужденного движения yпер(t) (первая группа слагаемых); устано-

вившуюся составляющую вынужденного движения yуст(t) (вторая группа слагаемых); составляющую свободного движения yс(t) (третья группа слагае-

мых).

Установившееся вынужденное движение yуст(t) обусловлено полюсами изображения воздействия sk; переходная составляющая вынужденного дви-

жения yпер(t) образуется из-за ненулевых посленачальных условий (измене-

ние начальных условий приложением в момент времени t = 0 конкретного воздействия) и определяется полюсами передаточной функции; свободные движения yс(t) имеют место при ненулевых начальных условиях и также оп-

ределяются полюсами передаточной функции.

Если анализируется автономная система автоматического управления,

представленная при нулевых начальных условиях в форме однородного

127

дифференциального уравнения A(s)y(t)=0, его решение имеет вид

В ряде случаев определение изображения X(s) при известном оригина-

ле x(t) представляет некоторые трудности. В этом случае определение вы-

ходных реакций возможно непосредственным решением дифференциального уравнения (2.22) с начальными условиями

(задача Коши).

Поскольку для линейных систем справедлив принцип суперпозиции,

т.е. эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эф-

фектов каждого из воздействий в отдельности, то выходной сигнал линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движе-

ний /9/:

Свободное движение yс(t) происходит при отсутствии внешнего воз-

действия вследствие ненулевых начальных условий. Оно является решением однородного дифференциального уравнения, соответствующего исходному уравнению системы при x(t)=0 с начальными условиями (2.149). В случае,

когда начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутству-

ет yc(t)=0. В рассматриваемом случае отсутствия взаимодействия системы со средой говорят, что система автономна.

Вынужденное движение yвын(t) происходит вследствие внешнего воз-

действия x(t) при нулевых начальных условиях, т.е. происходит взаимодей-

ствие со средой и система неавтономна. Вынужденное движение является решением неоднородного уравнения (2.22) при нулевых начальных условиях.

Вынужденное движение yвын(t) отлично от нуля только после приложения внешнего воздействия. При необходимости подчеркнуть эту причинно-

следственную связь, вынужденное движение системы при внешнем воздей128

ствии, отличном от нуля. будем обозначать yвын(t)1[t-tо] где 1[t-tо] единичная ступенчатая функция при t>tо.

Общее решение однородного (x(t)=0) уравнения (2.22) находится по формуле

где с1,…, сn – произвольные постоянные; 1,…, n – фундаментальная систе-

ма решений уравнения (2.22).

Если система (2.22) стационарная, т.е. описывается уравнением с по-

стоянными коэффициентами, то определяются корни 1,…, n характеристи-

где c1,..., сn; d1,..., dn – произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения (2.22) находится методом вариации произвольных постоянных или методом подбора /33/.

В заключение обзора методов определения временных характеристик непрерывных систем рассмотрим формулу (2.146) для реакции системы на воздействие x(t) при нулевых начальных условиях. Если имеет место условие

B( i)=0, где i – корень характеристического полинома, т. е. A( i) = 0, то в

129

(2.152) коэффициент ci при экспоненте ехр( it) равняется нулю при любом воздействии. По реакциям такой системы нельзя полностью выявить ее соб-

ственные свойства – в реакциях будет отсутствовать составляющая (мода),

соответствующая корню i.

Говорят, что по рассматриваемой паре вход-выход система оказывается неполной. Временные характеристики – реакции на типовые воздействия при нулевых начальных условиях не отражают полностью собственных свойств системы по неполной паре вход-выход.

Операторные полиномы А и В дифференциального уравнения (2.140)

неполной системы имеют нетривиальный общий делитель (s- i), а переда-

точная функция (2.30) имеет диполь si= i. Если полиномы А и В не являются взаимно простыми, то передаточную функцию называют вырожденной.

Годографы вырожденных передаточных функций W(s); s С, построен-

ные при изменении аргумента s вдоль некоторого контура С на комплексной плоскости, в частности вдоль мнимой оси s = j , т. е. частотные характери-

стики также отражают только полную часть системы.

Потеря части собственных свойств систем особенно существенна, если

i – правый (положительный) корень. Сокращение вырожденной передаточ-

ной функции не рекомендуется. В случае правого полюса сокращение просто недопустимо. При ненулевых начальных условиях, например, вызванных воздействиями, приложенными к другим входам системы, появляются сво-

бодные движения. Если эти начальные условия таковы, что A0( i) 0, то, как следует из (2.148), свободные движения содержат моду ехр( i t).

Если даны полиномы знаменателя A(s) и числителя B(s) передаточной функции объекта или системы управления по выбранной паре вход-выход,

наличие общих делителей или диполей можно выявить несколькими спосо-

бами. Во-первых, можно непосредственно сопоставить корни полиномов А и В. Это наилучший способ, здесь выявляются и приближенные диполи пере-

130