3832

Сравнивая формулу (3.90) с выражением (3.67), можно установить, что

ЛАЧХ рассматриваемого дифференцирующего звена второго порядка пред-

ставляет зеркальное отображение относительно оси частот логарифмических амплитудных характеристик колебательного звена при k=1. Это же можно сказать и относительно ЛФЧХ этих звеньев (см. второе уравнение (3.89) и (3.66)).

По аналогии с дифференциальным звеном первого порядка к числу ти-

повых относят дифференциальные звенья второго порядка с правыми полю-

сами

а также вырожденные дифференциальные звенья второго порядка с переда-

точными функциями

3.1.11.Звено чистого (транспортного) запаздывания

Передаточная функция звена чистого (транспортного) запаздывания

где время запаздывания.

Связь между входной и выходной величиной звена запаздывания мож-

но представить в виде /24/:

211

т, е. выходная величина звена запаздывания отстает от входной величины на

время .

Если на входе звена запаздывания произведено мгновенное возму-

щающее воздействие, то на его выходе будет «копия» входной величины,

сдвинутая по оси абсцисс на время запаздывания.

Пусть на вход звена запаздывания поступают гармонические колебания

x(t ) x0ej t .

Тогда на выходе звена, как это ясно из предыдущего изложения, воз-

никнут колебания такой же амплитуды, но сдвинутые по фазе на угол

Таким образом, модуль АФЧХ не зависит от частоты и равен единице

Н( ) =1, а фаза ( )= - , т.е. график АФЧХ представляет собой кривую,

навивающуюся на окружность единичного радиуса с центром в начале коор-

которые называются минимально-фазовыми и неминимально-фазовыми. 212

К первым относятся звенья, у которых нули и полюса (включая и нуле-

вой полюс) располагаются в левой полуплоскости. В этом случае фазовая ха-

рактеристика может иметь вполне однозначное соответствие амплитуде, т. е.

при падении амплитудной характеристики типового звена на ±20n дБ/дек фа-

зовая характеристика стремится к n (n – порядок характеристического

2

уравнения). Расположение нулей и полюсов передаточной функции слева от мнимой оси определяет минимально-фазовые свойства не только звеньев, но и систем. Минимально-фазовые системы отличатся тем, что из всех возмож-

ных систем с одной и той же амплитудной характеристикой Н( ) сдвиг фазы будет у них наименьшим по сравнении с другими системами при любом зна-

чении частоты .

Если нули или полюса передаточных функций звеньев или систем рас-

положены в правой полуплоскости, то такие звенья или системы называются неминимально-фазовыми. Все трансцендентные звенья являются также не-

минимально-фазовыми.

3.2.Соединение звеньев и преобразование структурных схем

Структурой системы автоматического регулирования будем называть совокупность определенным образом связанных функциональных элементов системы. Функциональные элементы осуществляют необходимые преобразо-

вания информации; под связями будем понимать каналы передачи информа-

ции. Таким образом, говоря, что система автоматического регулирования об-

ладает той или иной структурой, будем предполагать, что система содержит те или иные элементы, связанные тем или иным образом.

Графически структуру системы отображает структурная схема.

Структурная схема может быть детализированной в различной степени.

По виду структурных схем системы автоматического регулирования разделяются на одноконтурные и многоконтурные.

213

Одноконтурной (рис. 3.18, а) называется система, структурная схема которой имеет форму замкнутого контура, образованного цепочкой последо-

вательно соединенных звеньев. Одноконтурные системы наиболее просты,

легче поддаются анализу.

На рис. 3.18 указаны нумерованные операторы отдельных звеньев,

представление которых определяется видом их математической модели.

Многоконтурной (рис. 3.18,

б) называется система, в структурной схеме которой звенья образуют не-

сколько замкнутых контуров. Многоконтурные системы значительно слож-

нее одноконтурных, допускают множество разновидностей, более сложно анализируются. Поэтому обычно с помощью несложных преобразований структурные схемы многоконтурных систем регулирования заменяют одно-

контурными схемами, составленными из более сложных звеньев. Отдельные звенья на фигуре обозначены прямоугольниками, а окружности с наклонны-

ми взаимно перпендикулярными диаметрами соответствуют суммирующим устройствам. Направление связей между звеньями и суммирующими устрой-

ствами нанесено сплошными линиями со стрелками на них. Если сигнал на

214

суммирующее устройство приходит с отрицательным знаком, то соответст-

вующий сегмент закрашивается черным цветом, либо рядом с соответст-

вующей стрелкой ставится знак «–». Знак «+» не указывается.

При преобразовании структурных схем несколько простых звеньев за-

меняется более сложным звеном, передаточная функция которого определя-

ется с помощью простейших правил.

3.2.1. Соединения звеньев, представленных передаточными функциями

разованные по Лапласу сигналы (t), y1(t) и y(t). Распространяя результат на k

последовательно соединенных звеньев, получим:

Таким образом, преобразование цепочки последовательно включенных звеньев состоит в замене этой цепочки одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций отдельных звеньев,

Для оценки чувствительности соединения предположим, что изменя-

ются характеристики первого звена: W1( s ) W10 W1 . Передаточная функ-

ция соединения при этом запишется так /7/:

( s ) 0 (W10 W1 )W2 W10W2 W2 W2 ,

т. е. абсолютная функция чувствительности T W .

W1 2

Относительная чувствительность определяется по формуле (2.265): SW 1.

Тот же результат получится и для относительной чувствительности к W2.

Относительная чувствительность последовательного соединения к ва-

риациям любого из звеньев равна единице. Это значит, что изменение модуля

215

(W1) /7/:

В результате можно заключить, что использование обратной связи по-

зволяет существенно изменить относительную чувствительность.

При повышении усиления контура за счет любого из звеньев относи-

тельная чувствительность системы с отрицательной обратной связью умень-

шается.

Отрицательная обратная связь существенно уменьшает влияние изме-

нений прямого канала на передачу всего соединения, если усиление контура велико.

Этим широко пользуются на практике. Поскольку объект управления находится в прямом канале, то повышение усиления контура при стабильной обратной связи (датчик управляемой переменной) уменьшает чувствитель-

ность передачи системы по каналу воспроизведения задающего воздействия.

В динамических системах усиление контура на различных частотах не-

одинаково. Следовательно, обратная связь уменьшает чувствительность только в тех интервалах частот, где усиление велико. На частотах, где усиле-

ние контура мало, относительная чувствительность характеристики замкну-

той системы будет близка к единице.

Большое усиление контура обеспечивает инвариантность переменной выхода системы с обратной связью к сигнальному возмущению и одновре-

менно ослабляется и влияние параметрических воздействий среды. В этом заключается универсальность обратной связи.

218

Пусть теперь изменяется звено обратной связи: W2 (s ) W20 W2 .

Абсолютная функция чувствительности передачи системы к вариациям

звена

Применительно к системам управления, реализующим принцип управ-

ления по отклонению, можно говорить о необходимости стабильной обрат-

ной связи.

В общем случае структурных преобразований, особенно при наличии нестационарных звеньев, применим метод уравнивающих операторов /9, 42/.

В случае систем произвольной структуры для анализа чувствительности це-

лесообразно использовать частотный метод структурной теории чувстви-

тельности /20/.

3.2.2. Соединения звеньев, представленных уравнениями состояния и выхода

В данном случае необходимо определить результирующие матрицы со-

единений, позволяющие представить его в виде (2.102). Пусть операторы со-

единяемых звеньев представлены в пространстве состояний соотношениями:

Условие последовательного соединения звеньев имеет вид: g2 = y1 при совпадающей размерности соответствующих векторов. Тогда из (3.102) и (3.103) следует: g2=y1 = C1x1. Полагая далее g1 = g, y2 = y, перепишем соотно-

шения (3.102) и (3.103) в виде

Полагая x=(x1, x2)T, и сравнивая с (2.102) при D = 0, получим матрицы соединения

При параллельном согласном соединении (рис. 3.19) двух звеньев, опи-

сываемых (3.102) и (3.103), можно записать: y=y1+y2, g=g1+g2 при равной раз-

мерности соответствующих векторов.

Тогда

В случае соединения с обратной связью условия соединения имеют вид: g1=g±y2, g2=y1, g2=y1.

Положим в (3.102) g1= g ± y2 = g ± С2x2, а в (3.103) g2=С1x1. Поскольку y=y1, уравнение эквивалентной системы имеет вид:

откуда, полагая x=(x1, x2)T и сравнивая с (2.102) при D = 0, получим матрицы соединения

В (3.107) знак «+» соответствует положительной, а знак «–» – отрицательной обратной связи.

220