3832

На рис. 3.1 кривой 1 показана функция h(t) при Т = 4 с. Как видно из этого рисунка, h(t) апериодически стремится к величине входного сигнала,

равного единице. По характеру поведения переходной функции и дано на-

именование данному типовому звену. Если в установившемся режиме между входной и выходной переменными устанавливается однозначное соответст-

вие, то говорят, что звено (объект, система управления) обладает самовырав-

ниванием.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) апериодиче-

ского звена получается при замене в (3.6) s на j . Отделив действительную часть от мнимой, получим

Так как V2 ( ) T2 2 , то, подста-

U2 ( )

2 4

Выражение (3.10) представляет собой уравнение, окружности с цен-

тром в точке U( ) 1 ;V( ) 0 с радиусом, равным 1/2 (см. рис. 3.2). Под-

2

ставляя в формулы (3.8) числовые значения , получим значения U( ) и V( )

в декартовой системе координат. На рис. 3.2 показано построение точки для

4 (отложены значения U( 4) и V( 4).

191

АФЧХ можно строить и в полярной системе координат. Для этого за-

пишем

висимость H( ), продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается значением частоты, при котором отношение ампли-

туд окончательно становится меньше определенного, достаточно малого зна-

чения, которое обычно берут равным 0,05. На этой частоте амплитуда вы-

ходных колебаний падает до 5% амплитуды входных колебаний.

На примере рассмотренного звена можно проиллюстрировать положе-

ние о том, что величина полосы пропускаемых звеном частот, т. е. ширина частотной характеристики, является мерой быстродействия звена: чем длин-

нее частотная характеристика звена, тем короче его переходная характери-

стика, т. е. меньше инерционность звена. В случае апериодического звена инерционность определяется постоянной времени Т, а длительность пере-

ходного процесса (длина переходной характеристики) в практических при192

ложениях оценивается величиной tp (3-4)T (см. 3.8.3).

Для построения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик апериодического звена прологарифмируем выражение (3.11),

тогда получим

Для построения логарифмической амплитудной частотной характери-

стики H( ) принято брать более мелкую единицу измерения, которая в 20 раз меньше одной десятичной логарифмической единицы, т. е. 20lgH( ). Данная единица измерения называется децибел и записывается в виде дБ.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика ( ) строится в градусах. Построение логарифмических характеристик H( ) и ( ) произво-

дится на полулогарифмической бумаге, когда по оси абсцисс откладывается

(в логарифмическом масштабе), и по оси ординат амплитуды в децибелах и фазы в градусах (в линейном масштабе).

Для построения логарифмической амплитудной и фазовой характери-

стик апериодического звена запишем формулу (3.11) в виде

откуда логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ)

рассматриваемого звена в принятом масштабе

ложим на полулогарифмической бумаге (рис. 3.3) этот участок характеристи-

после чего подставим в формулу (3.17) = 1, т. е.

т.е. при изменении частоты в 10 раз наклон логарифмической амплитудной характеристики составляет -20 дБ/дек. На рис. 3.3 в области частот T 1

проведем прямую с наклоном -20 дБ/дек. Если продолжить логарифмические характеристики с наклоном 0 дБ/дек и с наклоном -20 дБ/дек, то они пересе-

сопряжения. Полученная таким образом ЛАЧХ является приближенной или

асимптотической. Для определения точных значений ЛАЧХ перепишем формулу (3.16) в виде:

(3.22)

Соответствующее построение также выполнено на рис. 3.3 (кривая )

Из формулы (3.22) видно, что в логарифмическом масштабе частот

194

кривая ( ) является кососимметричной относительно сопрягающей частоты

1

0 T ., где 450 т.е.

3.1.2. Апериодическое неустойчивое звено

Апериодическое неустойчивое звено описывается передаточной функ-

Решение этого уравнения при нулевых начальных условиях и единич-

ном ступенчатом воздействии имеет вид

Характеристика переходной функции для этого звена построена на рис. 3.1 штриховой линией (кривая 2). Из рис. 3.1 видно, что при t h(t) ,

т.е. звено характеризуется отсутствием самовыравнивания, что и указывает

на его неустойчивость.

При s=j из (3.24) получим АФЧХ неустойчивого апериодического

На основании преобразований, аналогичных (3.9), (3.10), имеем:

Из уравнения (3.28) очевидно, что АФЧХ неустойчивого апериодиче195

ского звена представляет собой окружность с радиусом 1/2 и центром в точке

-1/2. На рис. 3.4 приведена АФЧХ неустойчивого апериодического звена при изменении частоты от от 0 до .

На основании выражения (3.27) получим

Анализ полученных выражений пока-

зывает, что АЧХ и ЛАЧХ звена (3.24) соот-

ветствуют аналогичным характеристикам устойчивого апериодического звена. Однако его ФЧХ является зеркальным отображением ФЧХ устойчивого апериодического звена относительно оси Т (см. рис. 3.3).

3.1.3. Усилительное звено

Звено называют усилительным или безынерционным, если связь между входной и выходной величинами звена определяется алгебраическим урав-

нением вида

АФЧХ и АЧХ усилительного звена определяется в соответствии с за196

Характеристики звена представлены на рис. 3.7.

Как и в случае апе-

риодического звена,

инерционность процесса определяется постоянной

времени Т, однако, по-

мимо постоянной време-

б – импульсная переходная функция, в – АФЧХ; г - ЛЧХ ном случае зависит и от коэффициента передачи звена k, поскольку сопрягающая частота его ЛАЧХ, а, следовательно, и дли-

на всей этой характеристики (полоса пропускания) прямо пропорциональна k

и обратно пропорциональны Т. Как видно из характеристик на рис. 3.7, она уменьшается с ростом k, т. е. в целом характеризуется отношением T/k. Ве-

личина, обратная коэффициенту передачи, называется коэффициентом са-

мовыравнивания.

198

3.1.5. Интегрирующее звено

Передаточная функция интегрирующего звена записывается в виде

Уравнение для интегрирующего звена можно представить в виде

tk

где tk – время действия внешнего воздействия.

Из (3.44) следует, что в интегрирующем звене скорость изменения вы-

ходной величины пропорциональна отклонению входной величины. Выход-

ная величина может неограниченно возрастать или убывать при неизменном значении входной величины. В интегрирующем звене, в отличие от аперио-

дического, нет определенной зависимости между установившимися значе-

ниями выходной и входной величин, но есть определенное соотношение ме-

жду значением входной величины и скоростью изменения выходной величи-

ны.

При x=[1] из уравнения (3.44) нетрудно получить переходную функ-

цию интегрирующего звена (рис. 3.8, а)

Из (3.45) видно, что данное звено не обладает самовыравниванием. Вместе с тем, при снятии внешнего воздействия («сброс нагрузки», рис. 1.13) из (3.44)

следует, что звено сохраняет на выходе достигнутый ко времени tk уровень выходного сигнала. Звенья (объекты или системы управления), обладающие подобным свойством, называются нейтральными.

Подставив в (3.43) s=j и отделив мнимую часть от действительной, получим

U( ) 0;

V( ) 1 . (3.46)

199

В соответствии с этим можно определить амплитудную и фазовую частотные характеристики:

Эти характеристики построены на рис. 3.9.

мается при = 1 на величину 20lg k (рис. 3.9). В системах автоматического регулирования можно встретить многократно интегрирующие звенья, пере-

даточная функция которых может быть представлена в виде:

1

W(s) (3.50) s

Тогда для вещественной и мнимой частотных характеристик можно за-

писать:

200