3832

Рассматривая импульсный модулятор с несущей в виде последователь-

ности мгновенных единичных импульсов /7/

n

иогибающей входного непрерывного сигнала х(t), выходной сигнал модуля-

Функцию (2.67) называют функцией единичных импульсов и широко используют при исследовании импульсных систем.

Подставляя (2.67) в (2.68) и учитывая, что для физически реализуемых

систем х(t) = 0 при t < 0, получим

n 0

где x[nT ] x(t )t nT – значение входного сигнала ИИЭ х(t) при t = nТ.

Уравнение (2.69) описывает ИИЭ во временной области. Найдем изо-

бражение по Лапласу (L-преобразование) выходной величины х*(t), т. е.

n 0

Это преобразование является дискретным аналогом прямого преобра-

зования Лапласа (2.27) функции х(t). Отличие заключается лишь в том, что интеграл в L-преобразовании заменен суммой, а вместо непрерывной функ-

ции х(t) в (2.72) фигурирует соответствующая решетчатая функция х[nТ].

Таким образом, выражение (2.72) можно рассматривать как преобразо-

101

вание решетчатой функции х[nТ] – так называемое прямое дискретное пре-

образование Лапласа (LD -преобразование). Нетрудно заметить, что L-

преобразование модулированной последовательности х*(t) мгновенных им-

пульсов на выходе ИИЭ равно дискретному преобразованию Лапласа (LD -

преобразованию) соответствующей решетчатой функции х[nТ], т. е.

Основные свойства дискретного преобразования Лапласа подробно рассмотрены в /20, 27/.

Связь между изображениями Х*(s) и Х(s) может быть установлена на основании теоремы свертки в комплексной области. Преобразование Лапласа

где с1 — контур интегрирования на комплексной плоскости р, который включает все полюсы Х (s). Для вычисления контурного интеграла (2.76) ис-

пользуют теорему о вычетах /28/.

В отличие от изображений непрерывных функций, являющихся функ-

циями переменной s, изображения решетчатых функций являются функция-

ми переменной esT. Введем новую переменную

и сокращенное обозначение Х(z) для получающейся функции от z. 102

Тогда из (2.72) следует

n 0

Уравнение (2.78) определяет математическую операцию, получившую название прямого z-преобразования (преобразование Лорана). Х(z) называет-

ся z-преобразованием от х(t) или, более точно, от х[nТ] и символически запи-

сывается в виде

где Z – оператор z-преобразования. Связь между z-преобразованием и дис-

кретным преобразованием Лапласа можно записать в виде соотношения

Z{ x[nT ]} L{ x* (t )} LD{ x[nT ]} при s 1 lnz

T

Для нахождения z-изображения по заданному оригиналу х[nТ] можно использовать специальные таблицы соответствия между функциями времени

иих z-изображениями /27, 29/.

2.2.5.Передаточные функции разомкнутых линейных дискретных

стационарных (импульсных) систем

Дискретная система является стационарной только в том случае, когда действующие на систему значения входного возмущения следуют друг за другом через равные промежутки времени. Если значения входной перемен-

ной вводятся в систему через неравные интервалы времени, то дискретная система нестационарна. В дальнейшем рассматриваются дискретные систе-

мы, удовлетворяющие условию стационарности – импульсные системы.

Для разомкнутой линейной импульсной системы, представляющей со-

бой последовательное соединение амплитудного модулятора и линейной не-

прерывной части с весовой функцией g1(t, ) (рис. 2.12) выходная переменная в соответствии с /4/ определяется в виде:

103

где - функция, описывающая форму импульсов, вырабатываемых модуля-

тором; = -tk – переменная; Ти – длительность импульса; tk – время начала импульса.

Для дискретной линейной системы,

представляющей собой последовательное со-

Рис. 2.12. Структурная схема единение импульсного элемента, вырабаты-

импульсной системы

вающего последовательность равноотстоящих импульсов, и непрерывной стационарной линейной системы с весовой функ-

цией (t- )= g1(t, ) (рис. 2.12), формула (2.80) дает следующее выражение ве-

совых коэффициентов:

системы зависят только от разности индексов. В дальнейшем их будем обо-

значать n, (n=±1, ±2,…) по аналогии с весовыми функциями непрерывных систем.

На основании формул (2.81) и (2.82) весовые коэффициенты n после-

довательного соединения импульсного элемента и непрерывной стационар-

ной линейной системы определяются формулой

Формула (2.62), выражающая последовательность значений выходной переменной через последовательность значений входной переменной, для

импульсной системы принимает вид

104

Рассмотрим теперь действие на импульсную систему показательного возмущения x(t ) est . В этом случае

Таким образом, реакция импульсной линейной системы на показатель-

ное возмущение est в момент t=lTn равна значению этого возмущения в тот же момент, умноженному на функцию

n

зависящую только от параметра s. Функция F(s) является передаточной функцией импульсной линейной системы.

В соответствии с (2.77) формулу (2.86) можно записать в виде

В предположении, что z-преобразованию подвергается импульсная пе-

реходная функция (t)=L-1{W(s)} или соответствующая ей решетчатая функ-

ция (nT).

Рассмотрим теперь определение импульсных передаточных функций системы с формирующим элементом типа фиксатора, имеющего передаточ-

точная функция системы определяется выражением

105

2.2.6. Модели «вход-состояние-выход». Понятие пространства состояний

и моделирование

Рассмотренные модели «вход-выход» удобны для описания достаточно простых одномерных объектов и элементов систем автоматического управ-

ления. Вместе с тем, существует значительный ряд устройств, имеющих не-

сколько входов и выходов, связи между которыми могут носить как прямой,

так и перекрестный характер. Использование моделей «вход-выход» (SISO

моделей) при описании подобных устройств усложняет их исследование, по-

скольку из-за увеличения числа вводимых в рассмотрение передаточных функций возникают трудности анализа объекта для разных каналов в фикси-

рованные моменты времени. В этой связи, в настоящее время широко разви-

ваются методы исследования многомерных систем автоматического управ-

ления, рассматривающие их состояние в любой текущий момент времени в некотором пространстве, задаваемом, чаще всего, аксиоматически, поскольку понятие состояния физической системы, физического процесса не поддается общему определению, так как для каждого конкретного реального процесса или системы оно различно. Вместе с тем, в теории управления, как и всякой точной науке, мы имеем дело с математическими моделями процессов и сис-

106

тем, состояние которых поддается общему определению в математических терминах /30/.

Состояние математической модели системы или процесса может быть представлено в виде элемента х множества возможных состояний X. Весьма важным является то, чтобы каждый элемент множества х Х характеризовал состояние рассматриваемой модели системы или процесса полностью, одно-

значно. В дальнейшем для краткости слово «модель» будет чаще всего опус-

каться, и множество будет отождествляться с множеством возможных со-

стояний системы или процесса, а каждый элемент этого множества отожде-

ствляется с состоянием системы или процесса (его исчерпывающим описани-

ем). Множество Х можно рассматривать как пространство состояний сис-

темы или процесса. Однако в математике (функциональном анализе) про-

странством обычно называют множество, в котором задано соотношение ме-

жду любыми его элементами, характеризующее «близость» между ними.

Пространство состояний в теории динамических систем вообще и, тео-

рии управления, в частности используется для исследования устойчивости,

оптимизации и др. Во всех этих случаях необходимо введение метрики (оп-

ределение расстояния) в этом пространстве. Действительно, для определения устойчивости невозмущенного состояния естественно рассматривать изме-

нение расстояния между возмущенным состоянием и невозмущенным, при оптимизации необходимо введение функционала (критерия), который, как правило, включает расстояние в пространстве состояний.

Так, метрическим пространством , называется множество элементов

{x, y, z, …}, если на множестве упорядоченных пар (x,y) элементов этого множества определена неотрицательная вещественная функция (x,у), назы-

ваемая расстоянием (или метрикой), такая, что /31/:

107

Здесь следует обратить внимание на то, что состояние везде понимает-

ся как мгновенное, т.е. состояние в текущий или заданный момент времени.

Процесс, протекающий во времени, отображается как движение элемента в пространстве состояний. Понятие метрического пространства очень широ-

кое, хотя в математике оно является частным видом еще более общего поня-

тия топологического пространства /30/.

Для многих задач теории управления понятие пространства состояний как метрического пространства вообще является чрезмерно широким, и

удобнее пользоваться частными видами этого пространства, а для других за-

дач введение метрики вида (2.93) недостаточно. Так, при исследовании ус-

тойчивости, управляемости, оптимизации по квадратичному критерию обыч-

но достаточно самой естественной метрики – евклидовой и использования евклидова пространства состояний.

Элементами пространства состояний n размерности n служат векторы x=(x1, x2,…., xn), y= (y1,y2,….,yn) евклидова норма разности которых (расстоя-

ние) выражается формулой

где «Т» – символ транспонирования.

Это расстояние удовле-

творяет аксиомам (2.93). Аб-

страктное евклидово про-

странство наиболее естест-

венное в том смысле, что при n=3 оно аналогично реально-

му трехмерному пространству

Рис. 2.13. Иллюстрация пространства состояний

(в евклидовом приближении).

Иллюстрация этого пространства состояний и траектории движения в нем

(фазовой кривой или фазовой траектории) приведена на рис. 2.13, а. Здесь

108

полагается х’=x(t1), х”=x(t2), t1< t2. Фазовая траектория описывается концом вектора х(t) при изменении времени t. Конец вектора х(t) называется изобра-

жающей точкой. Естественно, что изображающая точка имеет то же обозна-

чение, что и вектор (2.94).

Евклидово пространство достаточно универсально, и чаще всего будет использоваться в дальнейшем именно оно. Для оптимизации по сложным не квадратичным критериям метрики (2.93) иногда недостаточно, приходится

доопределять метрику различными дополнительными условиями.

Пространство состояний применяется как при описании замкнутых систем и процессов, не взаимодействующих (автономных) с другими систе-

мами и процессами (в частности, внешней средой), так и для систем и про-

цессов, в которых такое взаимодействие существует. В последнем случае не-

обходимо введение дополнительных множеств, таких как множество управ-

лений с элементами и u U, множество возмущающих воздействий с элемен-

тами f F. Эти множества также могут представлять собой метрические про-

странства с различными метриками.

Кроме того, каждая система, рассматриваемая в пространстве состоя-

ний х X, обычно может быть разделена на подсистемы (субсистемы), как правило, взаимосвязанные. В соответствии с этим пространство состояний Х может быть представлено в виде суммы субпространств являющихся, но су-

ществу сечениями пространства X. Состояние системы полностью определя-

ет лишь совокупность элементов всех указанных субпространств Х(1), X(2), ...,

Х(q), т. е. элемент полного пространства состояний: х Х = Х(1) X(2) ... Х(q).

Элементами пространства состояний могут быть конечные упорядоченные совокупности действительных чисел (конечномерные векторы). Подобный вектор в развернутой форме везде в дальнейшем будет обозначаться либо в виде вектора–строки, либо в виде вектора–столбца (матрицы–столбца)

где [x1, x2,…., xn],—матрица-строка. Элемент (2.95) пространства состояний называется конечномерным вектором состояния. Элементами пространства состоянии могут быть бесконечные совокупности действительных чисел

(счетные множества) – бесконечномерные векторы

T

x x1 ,x2 , , x x1 ,x2 , . (2.96)

Это обычно имеет место при описании дискретных математических моделей непрерывных в физическом пространстве систем (систем с распре-

деленными параметрами). Элемент пространства состояний (2.96) называется бесконечномерным вектором состояния. Наконец, элементами пространства состояний могут быть и функции некоторого числа аргументов (помимо вре-

мени). Последнее может встречаться при непрерывном описании систем с распределенными параметрами.

Случай конечномерного пространства состояний наиболее типичный,

наиболее разработанный в теоретическом и вычислительном аспектах, и ему уделяется основное внимание в данной книге. При рассмотрении движения системы (процесса) в пространстве состояний вектор состояния является функцией непрерывного или дискретного времени. Для случая непрерывного времени и конечномерного вектора состояния задание состояния во все мо-

менты времени означает задание векторной функции

Соответствующее пространство состояний в теории динамических сис-

тем прежде именовалось фазовым пространством, а для двумерного случая (n = 2) - фазовой плоскостью. В значительной части литературы понятие фазо-

вого пространства и в настоящее время используется как синоним простран-

ства состояний вообще.

Дискретное время представляет собой последовательность моментов

времени