3832

Уравнение (2.217) означает, что частотный спектр на выходе ИИЭ представляет собой сумму частотных спектров непрерывного сигнала на входе, смещенных по оси частот на величину n 0. Отсюда же следует, что преобразование Лапласа сигнала на выходе ИИЭ является периодической функцией s с периодом, равным j 0, т.е. X*(s)=X*(s jk 0), где k – целое число.

Из того же уравнения (2.217) следует, что частотный спектр сигнала на выходе ИИЭ также является периодической функцией с периодом, равным частоте квантования 0, т.е. X*(j )=X*[j( k 0).

Спектр mod(X*(j )) полностью определяется диапазоном частот (- 0/2,

0/2) или, в силу симметрии, – диапазоном (0, 0/2). Вообще, периодические временные функции имеют дискретные частотные спектры, а дискретные временные функции – периодические частотные спектры.

Непрерывный сигнал x(t) может быть теоретически восстановлен по сигналу х*(t) при условии фильтрации дополнительных (боковых) состав-

ляющих спектра X*( j ) , т. е. с помощью идеального полосового фильтра с амплитудной частотной характеристикой

151

даточной функцией W*(s) или W(z), то для перехода к частотным характери-

стикам используются замены аргументов s= j или z = еj T.

В результате такой замены аргумента получаем комплексный коэффи-

циент передачи импульсной системы

Пусть импульсная передаточная функция имеет вид

Сделав замену z = еj T, получим комплексный коэффициент передачи

Комплексный коэффициент передачи импульсной системы может быть представлен как

W* ( j ) U* ( ) jV* ( ) H* ( )ej * ( )

где U*( ), V*( ), H*( ), ( ) – соответственно вещественная, мнимая, ам-

плитудная и фазовая частотные характеристики импульсной системы. Оче-

видно, что для полученных характеристик справедливы полученные ранее выражения (2.204) и (2.205) частотных амплитудной и фазовой характери-

стик непрерывных систем и способы их построения.

Отметим /4/ основные особенности частотных характеристик импульс-

ных систем, которые вытекают из свойств импульсной передаточной функ-

ции.

1. Частотные характеристики импульсных систем являются периодиче-

скими функциями относительно частоты с периодом повторения 0 = 2 /Т.

Это означает, что при построении этих характеристик достаточно ограни-

читься изменением в диапазоне шириной 2 /Т, например от - /Т до /Т.

Если же учесть, что участки частотной характеристики в диапазоне от - /Т

до 0 и от 0 до /Т симметричны (поскольку W*(j ) и W*(-j ) – комплексные

153

сопряженные функции), то можно ограничиться построением частотной ха-

рактеристики в интервале изменения от 0 до /Т.

2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики импульсной систе-

мы заканчиваются на вещественной оси, так как для = /Т комплексный коэффициент передачи (2.220) всегда является действительным числом.

Свойство периодичности частотных характеристик импульсных систем физически объясняется стробоскопическим эффектом, который проявляется в том, что гармоническая решет-

чатая функция на входе им-

пульсного фильтра не изменяет-

ся при изменении частоты огибающей на любую величину,

кратную 0, т. е. последователь-

Для импульсных систем, так же как и для непрерывных, могут быть построены логарифмические частотные характеристики. Их построение ос-

т. е. на переходе от z-преобразования к w-преобразованию.

Сделав подстановку z = еj T, получаем из (2.222)

где tg T – так называемая относительная (безразмерная) псевдочасто-

2

та. Обычно вводится в рассмотрение абсолютная псевдочастота

2 2 tg T .

T T 2

Функция (2.221) однозначно отображает внутреннюю область единич-

ного круга (рис. 2.23, а) плоскости z в левую полуплоскость (рис. 2.23, 6)

плоскости w, при этом окружности единичного радиуса на плоскости z соот-

ветствует мнимая ось на плоскости w. Таким образом, плоскость w для им-

пульсных систем является аналогом плоскости s для непрерывных систем.

Для перехода от импульсной передаточной функции W(z) к частотной характеристике W(j ) следует сделать подстановку:

Для относительно не-

сложных систем получаемый результат приемлем для практи-

ческого использования, но по мере усложнения структуры пе-

редаточных функций подста-

новка (2.224) приводит к гро-

моздким выражениям, расчет по

Рис. 2.23. Отображение круга единичного

радиуса плоскости z на плоскости w которым представляет доста-

точно сложную задачу. Теряется одно из основных достоинств метода логарифмических частотных характе-

ристик – простота построения самих характеристик.

Во многих случаях построение можно значительно упростить, если его производить приближенно и отдельно для областей низких < 2/Т и вы-

155

соких > 2/Т частот /4, 37/.

Для области низких частот приближенное выражение комплексного коэффициента передачи может быть получено непосредственно из переда-

точной функции непрерывной части подстановкой s=j и умножением на до-

полнительный множитель (1 - j (T/2)).

Псевдочастота в этой области практически совпадает с частотой входного сигнала и логарифмические частотные характеристики импульсной системы в области низких частот WH(j ), т. е. слева от частоты = 2/Т, будут совпадать с характеристиками непрерывной части W(j ). При этом в переда-

точной функции WH(j ) будут присутствовать только постоянные времени,

удовлетворяющие условию 1/Ti<2/T.

Для построения логарифмических частотных характеристик в области высоких частот необходимо записать передаточную функцию W(s) для об-

ласти частот > 2/Т и, последовательно применив z- и w-преобразования,

найти Wb (j ).

Например, если для области частот правее частоты = 2/Т передаточ-

ная функция непрерывной части имеет вид

где kb = ср (частота среза непрерывной части системы), то импульсная пере-

даточная функция в области высоких частот имеет вид

Применив w-преобразование с последующей заменой w=j (T/2), полу-

чим выражение для частотной передаточной функции:

Тогда комплексный коэффициент передачи импульсной системы:

n

[1 j (T / 2 Ti )](1 j (T / 2 ))

Это выражение легко используется для построения логарифмических частотных характеристик.

2.4.5. Обобщенные частотные характеристики замкнутых систем автоматического регулирования и их связь с характеристиками

переходных процессов

В соответствии с (2.140) и (2.141) переходной процесс в системе опре-

деляется выражением

где Y(s) – изображение выходного процесса.

Представив Y(s) в виде суммы регулярной Yr(s) (когда все корни харак-

теристического уравнения Y(s) располагаются в левой полуплоскости) и не-

регулярной Yn(s) (когда корни характеристического уравнения Y(s) имеют

положительные или равные нулю вещественные части)

где yr(t) и yn(t) – составляющие переходного процесса от регулярной и нере-

гулярной частей Y(s). В (2.227) учтено, что абсцисса сходимости с для регу-

лярной составляющей переходного процесса равна нулю.

Положив s=j , представим регулярную составляющую переходного процесса в виде

157

где Rr(j ) и Sr(j ) – обобщенные вещественная и мнимая частотные характе-

Учитывая, что функция Rr( ) – четная, а Sr( ) – нечетная, второй инте-

грал выражения (2.230) равен нулю. Последнее позволяет представить (2.230)

в виде

Полагая, что воздействие приложено в момент t=0, что подразумевает равенство нулю выходного сигнала для отрицательных значений t yr (t ) t 0 0 из (2.231) следует

или

где yr (t ) t 0 определяется в соответствии с (2.231), получим

158

Таким образом, в соответствии с (2.227) переходной процесс в замкну-

той системе определяется выражениями

или с измененными пределами интегрирования

Анализ (2.237) показывают, что вычислить переходные процессы с по-

мощью обобщенных вещественной или мнимой частотных характеристик можно только в том случае, если удастся определить нерегулярную состав-

ляющую переходного процесса yn(t).

Рассмотрим реакцию системы с передаточной функцией W(s) на еди-

ничное входное воздействие x(t)=1(t) при условии, что корни характеристи-

ческого уравнения расположены в левой полуплоскости. Тогда изображение выходного сигнала может быть представлено в виде

В этом случае нерегулярная составляющая Yn(s) может быть представ-

лена в виде /8/

Выражение (2.239) с учетом (2.226) и (2.238) позволяет представить ре-

гулярную составляющую в виде

Подстановка (2.243) в (2.237) с учетом того, что yn(t) = P(0) позволяет представить реакцию рассматриваемой системы на единичное входное воз-

действие в виде

Полученные соотношения устанавливают связь между вещественной или мнимой частотными характеристиками и реакцией системы на единич-

ное входное воздействие при нулевых начальных условиях.

160