3832

Чувствительность. Понятие чувствительности связано с оценкой влияния априорной неопределенности или апостериорного изменения пара-

метров объекта (системы) на результаты оценки характеристик поведения используемой модели.

Отражение в моделях таких изменений приводит к нестационарным системам, представляемым, например, в форме дифференциальных уравне-

ний с переменными коэффициентами.

Для систем управления важно, чтобы малые вариации операторов звеньев не приводили к большим (качественным) изменениям свойств систем в целом, например к потере устойчивости. Иными словами, необходимо,

чтобы система была грубой. Работоспособная система управления должна быть не только инвариантной к возмущениям и устойчивой, но эти ее свой-

ства также должны быть малочувствительны к вариациям операторов звень-

ев.

Пусть имеется модель системы

x f ( x,t, ), t0 t0 ( ), x0 x0 ( ), (2.262)

где [ mim , max] – вектор неизвестных параметров модели поведения объ-

екта.

Предполагается выполнение условия существования и единственности решения x(t,a) для любого [ mim , max]

x(t, ) x(t,x0 ( ),t0 ( ), ),

x x(t, ),

называемой вектором (функцией) чувствительности. Этот вектор, в свою очередь, определяется уравнением

с начальными условиями

181

В своей совокупности эти уравнения образуют модель для исследова-

ния чувствительности. В линейном случае

Функция чувствительности находится при совместном интегрировании уравнений системы (2.262) и (2.263) с их начальными условиями при = 0.

Таким образом, чувствительность количественно характеризует влия-

ние малых изменений свойств элементов на свойства системы. Если операто-

ры системы представлены передаточными функциями и изменяются их па-

раметры, то анализируют чувствительность системы к этим параметрам /7/.

Чувствительность передаточных функций систем позволяет анализировать влияние свойств звеньев на условия инвариантности и ковариантности, а

чувствительность характеристических полиномов - на условия устойчивости и характер переходных процессов /20, 40, 41/.

Различают два вида функций чувствительности передаточной функции системы Ф(s) к вариации передаточной функции W(s) звена: абсолютную и относительную чувствительность.

Абсолютная чувствительность определяется как частная производная:

TW (W ). Эта функция комплексного аргумента s позволяет в первом

W

приближении найти вариацию передаточной функции системы по известной вариации передаточной функции звена: ( s ) TW ( s ) W(s ).

Относительная чувствительность SW отражает связь между относи-

тельными вариациями передаточных функций или частотных характеристик:

S W .

W W

182

Связь между относительной и абсолютной функциями чувствительно-

сти имеет вид

Функции чувствительности – рациональные функции комплексного ар-

гумента, Говоря о величине функции чувствительности, имеют в виду ее мо-

дуль. Если вместо s подставить j , то по функции чувствительности можно найти вариации амплитудных частотных характеристик. В частном случае при s = 0 в приведенных соотношениях фигурируют действительные числа – коэффициенты усиления.

Частные случаи функций чувствительности для отдельных соединений звеньев будут рассмотрены в разделе 3.

2.8. Системы управления при случайных воздействиях

Практически все реальные системы функционируют в условиях воз-

действия большого количества случайных факторов, которые, наряду с воз-

действиями контролируемого характера, оказывают влияние на поведение систем. Для описания систем в этой ситуации достаточно часто используют-

ся стохастические дифференциальные уравнения вида /4/

x f ( x,u,t ) g( x,t ) (t ), x(0 ) X , (2.266)

где g(x,t) – матричная функция известного вида размера n l, определяющая добавление стохастической составляющей; (t) – l -мерный случайный про-

цесс типа белого шума с нулевым математическим ожиданием и ковариаци-

онной матрицей вида

M[ (t )] 0, M[ (t ) T (t )] Q(t ) (t t ),

где Q(t) – матричная функция размера l l.

Если (2.246) записано в виде /32/

183

где ν(t) – l-мерный винеровский случайный процесс, то описание движения динамической стохастической системы представляется в дифференциальной символической форме Ито, означающей, что случайный процесс x(t)=xi удов-

летворяет равенству

t2 t2

при всех t1<t2 из промежутка «функционирования» системы (2.267). Второй интеграл в правой части (2.248) называется стохастическим интегралом Ито.

Соответственно, линейная стохастическая система определяется урав-

нением, в котором к имеющейся детерминированной составляющей добавля-

ется линейная стохастическая составляющая

x A(t )x(t ) B(t )u(t ) C(t ) (t ),

где C(t) – матричная функция размера n l.

В случае дискретного времени описание систем осуществляется разно-

стными уравнения вида

где w[k], wk – независимая в дискретном времени центрированная гауссов-

ская последовательность M[wk ] 0, M[wk wkT ] Qk .

Наконец, для линейной системы это уравнение преобразуется следую-

щим образом:

можных форм описания простых динамических систем. Однако они широко используются в задачах анализа и синтеза систем автоматического управле-

ния, рассмотрению которых будет посвящено значительное количество раз-

делов настоящего курса.

184

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Что такое модель элемента или системы автоматического управле-

ния?

2.В чем смысл линеаризации дифференцируемых нелинейностей?

Методы линеаризации.

3.Что такое «передаточная функция» линейного непрерывного эле-

мента (системы) автоматического управления. Связь с оператором и им-

пульсной переходной характеристикой системы.

4.Укажите основные преобразования, используемые при составле-

нии передаточных функций дискретных систем.

5.В чем отличие частотных свойств импульсных систем от частот-

ных свойств непрерывных систем?

6.Укажите основные виды временных характеристик систем и мето-

ды их определения.

7.Что такое частотные характеристики системы. Виды частотных характеристик.

8.В чем состоит связь частотных и временных характеристик непре-

рывных стационарных систем?

9.Дайте определение наблюдаемости, идентифицируемости и управ-

ляемости системы. Напишите соответствующие выражения.

10.Что такое устойчивость, иинвариантность и чувствительность ли-

нейных систем автоматического управления?

185

3.МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Цель раздела – формирование навыков анализа статических и динами-

ческих свойств элементов и систем автоматического управления, определе-

ние качественных показателей процессов управления в системах с непрерыв-

ным и дискретным временем.

После изучения раздела необходимо знать:

Свойства и характеристики типовых динамических звеньев систем ав-

томатического управления.

Правила преобразования структурных схем. Структурные схемы и пе-

редаточные функции замкнутых систем автоматического управления.

Линейные законы регулирования и их дискретную реализацию.

Критерии устойчивости линейных систем автоматического управления.

Показатели качества свободных и вынужденных движений систем ав-

томатического управления.

Основы теории инвариантности линейных систем управления и показа-

тели установившейся ошибки процессов управления.

Способы структурного повышения точности систем автоматиче-

ского управления

После изучения дисциплины необходимо уметь:

Составлять расчетные схемы систем автоматического управления по каналам воспроизведения и подавления возмущений.

Определять эквивалентные передаточные функции линейных систем в пространствах сигналов и состояний.

Рассчитывать основные характеристики замкнутых систем.

Применять критерии устойчивости при анализе систем, определять ка-

чественные показатели процессов управления.

3.1.Типовые динамические звенья и их характеристики

Система автоматического регулирования, описываемая линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, может быть представлена эквивалентной цепью, полученной путем замены реаль-

ных функциональных элементов типовыми звеньями, соединенными между собой определенным образом при помощи соответствующих связей. В ре-

зультате такой замены получается структурная схема системы, звенья кото-

рой различаются уже не по выполняемым ими функциям, а лишь по матема-

тическим зависимостям между входными и выходными величинами.

Исследование реальных систем с помощью эквивалентных структур-

ных схем позволяет обобщать выводы для самых разнообразных систем не-

зависимо от их конструктивного выполнения и выявлять влияние отдельных элементов (звеньев) на статические и динамические свойства системы.

Системы автоматического регулирования, как правило, представляют собой системы направленного действия, т. е. обладают детектирующими свойствами. Это обусловливается наличием в них детектирующих элементов

(звеньев), пропускающих воздействие только в одном направлении — от входа к выходу.

Примером детектирующего звена может служить измерительный орган регулятора (термопара, манометр, тягомер и т. д.), подключенный к объекту.

Температура среды, которую измеряет термопара, влияет на ее показания,

однако термо-ЭДС термопары влияния на температуру среды не оказывает.

Манометр, подключенный к паровому пространству котла, непосредственно реагирует на изменение давления пара, однако деформация манометрической пружины не может изменить давления в барабане котла.

Динамические характеристики детектирующего звена не изменяются при включении его в цепь регулирования. Это упрощает исследование дина-

мики детектирующих звеньев, позволяет размыкать систему регулирования между звеньями и т. д.

Разделение звеньев на детектирующие и недетектирующие имеет

187

большое значение для решения задач по динамике регулирования.

В гл. 2 было показано, что представление динамических свойств эле-

ментов и систем в пространстве сигналов осуществляется с помощью переда-

точных функций, которые можно представлять в виде сомножителей первого или второго порядков, причем различные по своей природе или принципу действия автоматические системы могут содержать одни и те же сомножите-

ли. Таким образом, для большинства систем их передаточные функции мож-

но представить в общем виде:

ki (Ti s 1) (Ti2s2 2 i s 1)

W(s ) i 1 i 1 i 1 (3.1) l m

s (Tj s 1) (Tj2s2 2 jTj s 1)

j 1 j 1

Выражение (3.1) позволяет вводить в рассмотрение понятие типовых динамических звеньев.

Под типовым динамическим звеном будем понимать передаточные функции первого или второго порядков вида

Следует отметить, что в типовых звеньях второго порядка параметр может принимать значения как меньшие единицы, так большие или равные единице. В этом случае изменяется типовое динамическое звено и его основ-

ные характеристики.

Рассмотрим передаточную функцию

Образуем из нее уравнение

откуда найдем корни:

188

При 1 передаточная функция (3.2) и подобные ей функции второго порядка распадается на два типовых звена первого порядка, т. е.

Наименования и передаточные функции типовых звеньев представлены в табл. 3.1 /8/.

Как видно из этой таблицы, основных типовых звеньев автоматическо-

го регулирования 16 видов. Наряду с ними встречаются передаточные функ-

ции трансцендентных звеньев, получаемых из дифференциальных уравнений элементов с распределенными параметрами. В табл. 3.1 приведены лишь два из них (под номером 17 для звена с распределенным запаздыванием, а под номером 18 -для трубопровода с потоком жидкости в неустановившемся ре-

жиме) /5/.

3.1.1. Апериодическое звено

Апериодическое звено описывается передаточной функцией

Решение уравнения (3.6) при нулевых начальных условиях и х(t) = 1(t)

позволяет определить переходную функцию

189