3832

3.3. Линейные законы регулирования

Как уже отмечалось, частной задачей автоматического управления яв-

ляется поддержание требуемого значения (стабилизации) регулируемой ве-

личины путем воздействия на объект через его регулирующий орган. При от-

клонении регулируемой величины от заданного значения и возникновении ошибки (рассогласования) регулятор воздействует на объект до тех пор,

пока регулируемая величина не вернется к требуемому значению. Это регу-

лирующее воздействие осуществляется по определенной закономерности

(алгоритму), положенной в основу работы регулятора.

Зависимость выходной координаты u(t) регулятора (регулирующего воздействия) от изменения его входной координаты называют законом регу-

лирования. В качестве входной координаты регулятора чаще всего рассмат-

ривается рассогласование (t), вызванное отклонением регулируемой вели-

чины yоб(t) объекта от заданного значения g(t). Обычно каждый регулятор реализует тот или другой закон регулирования, который определяет его ста-

тические и динамические характеристики.

При создании регулятора стремятся сконструировать его таким обра-

зом, чтобы закон действия регулятора можно было с достаточной точностью описать определенным линейным дифференциальным уравнением или соот-

ветствующими им передаточными функциями.

Наиболее распространены линейные законы регулирования и характе-

ристики, положенные в основу работы регуляторов общепромышленного на-

гулируемой величины в установившемся режиме и 0 и y g. Поэтому такой регулятор называют, статическим с одним параметром настройки или про-

порциональным регулятором.

Статическая ошибка регулятора оценивается величиной

y ymax ymin , ycp

где ymax, ymin – установившиеся значения регулируемой величины при макси-

мальной и минимальной нагрузках объекта; ycp - среднее значение регули-

руемой величины.

Величина u= up2 – up1 называется остаточной неравномерностью,

или неравномерностью регулирования при переходе объекта с нагрузки up2

на нагрузку up1 /5/.

Остаточная неравномерность пропорциональна величине возмущаю-

щего воздействия. Если коэффициент Kp в уравнении (3.108) сохраняет по-

стоянное значение на всем диапазоне изменения y, то статическая характери-

стика имеет вид прямой наклонной линии, угол наклона которой равен:

y uptg .

Степень неравномерности регулятора, представляющая, таким образом,

отношение изменения регулируемой величины y к изменению нагрузки объ-

екта (т. е. к перемещению регулирующего органа uр), может быть на основа-

Отсюда следует, что чем меньше коэффициент Kp, тем больше нерав-

номерность регулирования. Величину коэффициента Kp – настроечного па223

раметра регулятора, определяют в результате расчета системы регулирования

(на устойчивость или на оптимум), поэтому и величина неравномерности ре-

гулирования (статическая ошибка) является следствием этого расчета.

Как следует из (3.108), в динамическом отношении П-регулятор подо-

бен безынерционному (усилительному) звену.

И-регулятор. В соответствии с (3.109) этот регулятор в динамическом отношении эквивалентен интегрирующему звену. Перемещение регулирую-

щего органа пропорционально интегралу от отклонения регулируемой вели-

чины:

Этот регулятор называют астатическим, т.к. в установившемся режи-

ме ошибка регулирования =0, или интегральным (И-регулятор). Таким обра-

зом, регулятор характеризуется отсутствием остаточной неравномерности.

ПИ-регулятор. Перемещение регулирующего органа пропорционально сумме отклонения и интеграла от отклонения регулируемой величины:

По величине угла опережения этот регулятор занимает промежуточное положение между двумя рассмотренными выше регуляторами, так как

Регулятор, закон движения которого описывается уравнением (3.115)

224

называют астатическим с двумя параметрами настройки (Kp и KI=1/Tu) или пропорционально-интегральным – ПИ-регулятором. Статическая характери-

стика - прямая, параллельная оси абсцисс, т. е. регулятор не имеет остаточ-

ной неравномерности. Это следует из того, что если скорость перемещения регулирующего органа равна нулю (состояние равновесия), то равны нулю не только скорость изменения регулируемой величины, но и ее отклонение от требуемого значения.

Этот регулятор можно представить как два параллельно включенных звена: пропорциональное и интегрирующее.

ПИД-регулятор. В идеальном ПИД-регуляторе ( D = 0) перемещение регулирующего органа пропорционально интегралу, отклонению и скорости изменения регулируемой величины:

а скорость регулирования пропорциональна отклонению регулируемой вели-

чины, ее скорости изменения и ускорению:

Регулятор, работающий по такому закону, называют астатическим с тремя параметрами настройки или пропорционально-интегрально-

дифференциальным – ПИД-регулятором.

Регулятор обеспечивает нулевую неравномерность регулирования. Это

видно из рассмотрения уравнения (3.119): в состоянии равновесия ( du 0) dt

равны нулю первая и вторая производные от регулируемой величины, а так-

же само отклонение от требуемого значения.

Амплитудно-фазовая характеристика в показательной форме определя-

ется выражением:

225

т.е.

Данный регулятор имеет угол опережения больший, чем у всех рас-

смотренных выше регуляторов.

При KI=0 уравнение ПИД-регулятора вырождается в уравнение ПД-

регулятора.

ПД-регулятор. Перемещение регулирующего органа (при D =0) про-

порционально отклонению и скорости изменения отклонения регулируемой величины:

или скорость регулирования пропорциональна скорости изменения отклоне-

ния регулируемой величины и ускорению:

Регулятор, работающий по такому закону, называют статическим ре-

гулятором с предварением или пропорционально-дифференциальным ПД-

регулятором, имеющим два параметра настройки.

Амплитудно-фазовая характеристика равна:

226

3.4.Дискретная реализация линейных законов регулирования

Наиболее общим из рассмотренных типовых линейных законов регу-

лирования является ПИД-закон регулирования, задаваемый выражением

(3.111) и (3.118). Полагая в них Тd = 0, получаем ПИ-регулятор, а принимая

Тd = 0 и 1/Тu = 0 – П-регулятор.

Если влияние квантования мало, т.е. частота его велика по сравнению с полосой частот непрерывной части системы, выбор настраиваемых парамет-

ров Тu, Тd и Кp, выполненный для непрерывной части модели, может быть распространен на дискретный регулятор /39/.

Дискретный ПИД-регулятор можно реализовать различными способа-

ми. Эти различия связаны с применяемым вычислительным алгоритмом (ре-

куррентный или нерекуррентный) и принятым методом вычисления интегра-

ла (метод прямоугольников или трапеций). Различные варианты алгоритмов приведены в табл. 3.2.

Рекуррентные алгоритмы основаны на вычислении приращений, по-

этому они характеризуются высоким быстродействием и требуют меньшего объема памяти. Этим и вызвано их более широкое распространение. Замена приращения ошибки системы на выходную переменную обеспечивает уменьшение бросков управляющего воздействия при скачкообразном изме-

нении задания.

Высокое быстродействие управляющей ЭВМ дает возможность упот-

реблять при выработке управляющего сигнала несколько замеров выходной переменной. Это используется для усреднения сигналов, что повышает поме-

хоустойчивость системы. Примером таких алгоритмов служит последний ал-

горитм, приведенный в табл. 3.2.

При существенной частоте квантования выбор параметров настройки регуляторов можно выполнить следующим образом. Запишем алгоритм ПИД-закона в виде дискретной передаточной функции

227

где g0, g1, g2 – обобщенные параметры регулятора (см. табл. 3.2).

Таблица 3.2

Вычислительные алгоритмы ПИД–законов.

Наличие полюса z = 1 обеспечивает получение нулевой установив-

шейся ошибки при ступенчатом изменении входного воздействия. Диапазон изменения параметров регулятора должен удовлетворять условиям:

228

g0 0; g1 g0 ; ( g0 g1 ) g2 g0 (3.127)

Коэффициенты в ПИД-законе связаны с параметрами с следующим об-

разом:

коэффициент передачи K= g0 – g2;

коэффициент дифференцирования cД = g2/K ;

коэффициент интегрирования cИ =( g0 + g1 + g2)/K.

Это позволяет переписать (3.126) в виде

Полученный алгоритм управления аналогичен непрерывному ПИД-

закону, если выполнены условия (3.127) и cД >0; cИ >0; cИ <cД. Положив в

(3.126) g2 = 0, получим

т.е. ПИ-регулятор. Если при этом положить g0 = 0, то

g1z 1 1 z 1 .

Последнее служит алгоритмом И-закона регулирования.

Аналогично можно реализовать П- и ПД-алгоритмы управления.

3.5.Структурные схемы и передаточные функции систем управления

Для передачи воздействий управляющие устройства (регуляторы) и

объекты управления, а также преобразовательные элементы систем соединя-

ются между собой непосредственно или через различные передачи. Так, для передачи усилий и перемещений применяются рычаги, пружины, кинемати-

ческие передачи и т. п.; для передачи электрических сигналов применяются провода, трансформаторы, радиоканалы; гидравлические или пневматиче-

ские сигналы передаются с помощью трубопроводов, струйных или сопло-

вых устройств и т. п.

229

Так же как при рассмотрении звеньев, для целей исследования систем автоматического регулирования мы отвлекаемся от конструктивного выпол-

нения связей и учитываем лишь зависимость между их выходными и вход-

ными величинами. По характеру этой зависимости все передачи могут заме-

щаться двумя элементарными типами связей: статической связью и скорост-

ной связью, или же их комбинациями, включая и элементарные звенья.

Напомним некоторые определения, данные ранее. Если в любой мо-

мент времени связь между звеньями структурной схемы дает определенное неизменное соотношение между входной и выходной величинами, то ее на-

зывают статической. Отношение выходной величины к входной называется коэффициентом передачи статической связи. Аналогом статической связи является усилительное звено (см. 3.1.3).

Если же выходная величина связи пропорциональна скорости измене-

ния входной величины (производной от входной величины), то такая связь называется скоростной или гибкой. Идеальная скоростная связь описывается уравнением (3.73).

Скоростные связи в системах осуществляются с помощью различных дифференцирующих элементов.

На практике осуществление идеальных скоростных связей, строго удовлетворяющих уравнению (3.73) и дающих частотную характеристику в соответствии с (3.76) (рис. 3.13, а), невозможно. Их можно осуществлять лишь более или менее приближенно.

Учитывая изложенное, а также детектирующий характер элементов,

любую систему автоматического управления можно представить в виде со-

единения отдельных звеньев, т.е. в виде структурной схемы. Большинство структурных схем систем автоматического регулирования с помощью струк-

турных преобразований можно привести к четырем схемам /8/, показанным на рис. 3.22, а - г. По этим схемам можно определить передаточные функции замкнутых систем автоматического регулирования относительно выходного

230