3832

Функциональные преобразования с последующим замораживанием обеих переменных С. А. Дробов /70/ применил по отношению к уравнению вида:

которое можно записать и так:

Уравнения (4.26) и (4.27) можно решить любым из приведенных выше методов.

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения .(или изучение характера решения) оказывается более доступным, если предвари-

тельно совершен переход от заданного дифференциального уравнения к эк-

вивалентному интегральному. При таком подходе, естественно, возникают две самостоятельные задачи: 1) переход к интегральному уравнению, 2) ре-

шение интегрального уравнения.

Решение интегральных уравнений прямого отношения к решению дифференциальных уравнений не имеет. В нижеследующем изложении во-

просы решения интегральных уравнений не рассматриваются. Не рассматри-

ваются также методы решения дифференциальных уравнений на основе при342

менения интегральных преобразований (Лапласа, Меллина и др.), несмотря на то, что они используются в теории автоматического управления. Эти ме-

тоды подробно освещены в литературе (см. библиографический список).

Кроме того, методы решения интегральных уравнений широко освещены в литературе, например, /67, 71, 72/, поэтому в учебном пособии рассматрива-

ются лишь некоторые методы перехода от дифференциальных уравнений к интегральным, относительно широко используемые при анализе решений не-

линейных дифференциальных уравнений:

— общий метод перехода от линейных и параметрических дифферен-

циальных уравнений к интегральным;

— метод перехода от нелинейных дифференциальных уравнений к ин-

тегральным на основе использования функции Грина.

Напомним, что в интегральном уравнении искомая функция y(τ) нахо-

дится под знаком интеграла. Напомним также общий вид интегрального уравнения:

a

Здесь y(τ) - искомая функция; K(τ, s) - ядро уравнения (считается из-

вестным); λ - численный параметр; f(τ) - «внешнее воздействие» (считается известным); ψ(z) - нелинейная функция (считается известной).

Если ψ(z) =z, интегральное уравнение называется линейным и записы-

вается в виде

b

y( ) K( ,s)y(s)ds f ( )

a

Если b=const, уравнение называется интегральным уравнением Фред-

гольма второго рода; если верхний предел переменный, т. е. b=τ, - интеграль-

ным уравнением Вольтерра второго рода.

343

В теории дифференциальных уравнений показывается /69/, что реше-

ние уравнения с правой частью f(τ) при заданных краевых (или начальных)

условиях можно представить в виде интегрального соотношения

b

x( ) G( ,s) f (s)ds,

a

в котором функция Грина G(τ,s) представляет собой решение соответствую-

щего однородного дифференциального уравнения при тех же краевых (на-

чальных) условиях.

В технических приложениях, связанных с линейными системами,

функцию Грина часто определяют не как решение однородного дифференци-

ального уравнения при заданных краевых или начальных условиях, а как ре-

шение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью в виде дельта-функции и нулевых начальных условиях; при этом функцию Грина называют импульсной переходной характеристикой, а соответствующее ин-

тегральное соотношение — интегралом Дюамеля /73/.

Для дифференциального уравнения второго порядка

импульсная переходная характеристика ( ) представляет собой решение уравнения

при нулевых начальных условиях.

Искомое решение заданного уравнения в этом случае определяется ин-

тегральным соотношением (см. 2.3), называемым интегралом Дюамеля:

Теперь нетрудно перейти к интегральным уравнениям второго рода на основе нелинейных дифференциальных уравнений. Пусть дано нелинейное дифференциальное уравнение

345

Перепишем его следующим образом:

Используя интеграл Дюамеля в виде (4.29), приходим к следующему нелинейному интегральному уравнению:

x( ) ( s){f (s) a[x(s)]x(s)}ds.

0

Более подробно с методом перехода к интегральным уравнениям с ис-

пользованием функций Грина можно познакомится в монографии /74/

4.3.Фазовое пространство и фазовая плоскость

4.3.1.Фазовое пространство линейных систем

Как известно, состояние динамической /75/ системы n-го порядка в лю-

бой момент времени полностью определяется значениями n координат. Зна-

чения этих координат задают некоторую точку в n-мерном пространстве, по осям которого отложены координаты системы. Точка, характеризующая со-

стояние системы, называется изображающей точкой, а пространство — фа-

зовым пространством. При движении системы ее координаты изменяются, и

изображающая точка описывает некоторую кривую, которая называется фа-

зовой траекторией. Это движение характеризуется вектором фазовой скоро-

сти, который направлен по касательной к траектории в сторону движения изображающей точки. Длина вектора фазовой скорости определяется скоро-

стью изменения каждой из координат системы. Тогда движение изображаю-

щей точки по фазовым траекториям в фазовом пространстве можно рассмат-

ривать как геометрическую интерпретацию движения в динамической систе-

ме. В большинстве случаев при решении практических задач теории автома-

тического регулирования приходится иметь дело с уравнениями высоких по-

рядков. Для системы второго порядка, имеющей в качестве фазовых коорди346

нат собственно координату системы x и скорость ее изменения x, фазовые

траектории располагаются на фазовой плоскости, образуя фазовый портрет

системы.

Если порядок уравнения системы больше, чем второй, то вместо дву-

мерного фазового пространства рассматривают воображаемое n-мерное про-

странство, т. е. такое пространство, в котором для задания точки надо задать

n чисел.

Если данная система дифференциальных уравнений имеет периодиче-

ское решение, то этому решению в фазовом пространстве соответствует

замкнутая кривая.

На плоскости замкнутые кривые являлись границами областей. В про-

странстве же ограничивать определенные области могут поверхности, а не кривые. Поэтому замкнутая траектория по-прежнему соответствует периоди-

ческому решению рассматриваемой системы дифференциальных уравнений,

но не служит границей области.

В качестве иллюстрации приведем фазовые портреты линейных авто-

номных систем, описываемых уравнением второго порядка с постоянными параметрами, и установим связь между коэффициентами уравнения и харак-

тером фазовых траекторий. Предположим, что дифференциальное уравнение

описывает движение некоторой динамической системы. Рассмотрим подроб-

но случай, когда корни соответствующего характеристического уравнения λ1

и λ2 являются действительными и отрицательными, причем λ1 > λ2, Решение уравнения (4.30) имеет вид

где А1 и А2 - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

Уравнения (4.31 в параметрической форме задают семейство фазовых траек347

заны зависимостью, и поэтому движение изображающей точки будет проис-

ходить по прямой I (рис. 4.10, а), заданной уравнением

на рис. 4.10, а. Здесь и в дальнейшем стрелки на фазовых траекториях обо-

значают направление движения изображающей точки. В случае если корни характеристического уравнения отрицательны и равны, фазовый портрет системы имеет вид, представленный на рис. 4.10, б.

Среди фазовых траекторий имеется одна прямая, угловой коэффициент которой равен корню характеристического уравнения. Эта прямая, так же как и в предыдущем случае, является касательной для всех фазовых траекторий.

Фазовыми траекториями в рассмотренных случаях является семейство кри-

вых параболического типа. Для их получения исключим из (4.31) параметр t.

348

где ω – частота собственных колебаний; ξ – показатель затухания, характери-

зующий интенсивность рассеивания энергии свободного движения.

Разделив первое уравнение системы (4.34) на второе, получим

При отрицательных вещественных корнях характеристического урав-

нения и соблюдении условия

уравнение фазовой траектории из решения уравнения (4.35) при помощи

зависящая от начального состояния системы.

Уравнение фазовых траекторий (4.37) представляет собой уравнение

семейства кривых параболического типа, отличающихся друг от друга значе-

нием постоянной С.

Из рис. 4.10 видно, что при достаточно большом затухании (при кото-

ром удовлетворяются условия (4.36)) движение рассматриваемой системы является апериодическим, фазовые траектории проходят через начало коор-

динат, которое является точкой равновесия.

Точку равновесия, через которую проходят фазовые траектории, назы-

вают узлом; узел может быть устойчивым как в случае рис. 4.10, когда со-

стояние равновесия устойчиво, или неустойчивым, если состояние равнове-

сия неустойчиво. На рис. 4.11, а приведены фазовые траектории неустойчи-

349