3832
.pdf
В большинстве случаев при рассмотрении динамических систем второ-
го и более высокого порядка можно ограничиться локальным изучением ос-
новных элементов: состояний равновесия и периодических движений, кото-
рые чаще всего наиболее важны с точки зрения получения результатов, дик-
туемых требованиями практики. При этом главными являются задачи выяв-
ления в пространстве параметров (т. е. определения границ) областей, отве-
чающих различным видам периодических движений, устойчивости «в боль-
шом» положения равновесия и т. д.
Решение указанных задач связано с исследованием бифуркаций непод-
вижных точек в точечном преобразовании, например, бифуркации, при кото-
рой осуществляется переход через негрубую систему типа двойного пре-
|
дельного цикла, т. е. с |
||
|
изменением парамет- |
||
|
ров происходит слия- |
||
|
ние двух грубых пре- |
||
|
дельных циклов - ус- |
||
|
тойчивого А и неус- |
||
|
тойчивого В (рис. |
||
|
4.40, а, б) — в один |
||
|
полуустойчивый |
пре- |
|
|
дельный |
цикл |
АВ |
|
(рис. 4.40, в, г) и по- |
||
|
следующее его исчез- |
||
Рис. 4.39. Пример бифуркации неподвижных точек |
новение. |
|
|
точечного преобразования |
При |
отыскании |
|
критических соотношений параметров, отвечающих бифуркациям непод-
вижных точек, необходимо различать устойчивость «в малом», устойчивость
«в большом» и абсолютную устойчивость (см.4.6.1.).
411
Напомним, что, например, предельный цикл А (рис. 4.40, а, б) является устойчивым «в большом», а состояние равновесия (начало координат) - ус-
тойчивым «в малом». После исчезновения полуустойчивого цикла АВ со-
стояние равновесия становится устойчивым «в большом», при этом согласно данным определениям, оно является также устойчивым и «в целом». Тогда критическое соотношение параметров, отвечающее в этом простейшем при-
мере границе области устойчивости «в большом» состояния равновесия, оп-
ределяется из условии существования полуустойчивого предельного цикла АВ:
|
|
|
|
d (yн) |
|
|
|
|
(4.119) |
y (y); |
|
|
|
1, |
|||||
dyн |
|
yн |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
где (yн)= yк — функция точечного преобразования.
При исследовании конкретных динамических систем функция точечно-
го преобразования обычно получается сложной и часто не аналитического вида. Поэтому получение общего решения уравнений (4.119) для определе-
ния критического соотношения параметров даже в этом простейшем случае представляет собой трудную, а порой и неразрешимую задачу.
Рис. 4.40. Бифуркация системы с одним устойчивым циклом и зоной нечувствительности yн*
Однако существует довольно широкий класс динамических систем, со-
держащих нелинейности релейного типа, которые имеют зону нечувстви-
тельности и в которых может существовать только один устойчивый пре-
дельный цикл (рис. 4.41, а). Для таких систем бифуркация осуществляется,
412
цы устойчивости. Такие условия применяются в разных вариантах, откуда вытекают и различные практические приемы определения автоколебаний.
Принципиальная сторона решения задачи состоит в том, что основной алгебраический метод базируется на том, что по линейной теории решению
(4.121) соответствует пара чисто мнимых корней характеристического урав-
нения. Следовательно, характеристическое уравнение гармонически линеа-
ризованной системы, которое для рассматриваемого случая записывается в виде
A( ) B( ) |
q(A, ) |
b(A, ) |
|
|
0, |
(4.124) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
должно удовлетворяться при подстановке λ =j . Подставив это, выделим в уравнении (4.124) вещественную и мнимую части
X ( A , ) jY ( A , ) 0 ,
что дает два уравнения:
X(A, ) 0; |
(4.125) |
|
Y(A, ) 0, |
|
|
|
|
|
из которых и определяются амплитуда А и частота искомого периодиче-
ского решения через параметры системы.
В качестве другого алгебраического способа может быть использовано равенство нулю предпоследнего определения Гурвица;
n 1 0 |
(4.126) |
(при положительности остальных определителей). К этому нужно добавить еще соотношение для определения частоты колебаний. Например, для систе-
мы третьего порядка
a0 3 a1 2 a2 a3 0
условие (4.126) с добавлением соотношения для частоты будет
a a |
2 |
a |
0 |
a |
3 |
0, |
2 |
a2 |
. |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
a0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
414
Эти два уравнения определяют искомые амплитуду А и частоту , ко-
торые согласно выражению (4.124) содержатся в коэффициентах ai
(i=0,1,…,n) (не обязательно во всех).
Основной алгебраический способ, приводящий к уравнениям (4.125) и
содержащий в себе большое разнообразие конкретных приемов решения за-
дачи, включает, как один из приемов, использование известного в линейной теории метода D-разбиения и критерия Михайлова, для которого X и Y явля-
ются координатами кривой Михайлова на комплексной плоскости, а X= 0 и
Y=0 означают прохождение кривой Михайлова через начало координат как
условие границы устойчивости.
Отсюда вытекают и различные графические приемы решения задачи и,
в частности, построение годографов X ( A , ) jY ( A , ), , аналогичных кривой Михайлова.
Наконец, могут быть использованы условия границы устойчивости,
вытекающие из частотных критериев, имеющихся в линейной теории. При этом вместо гармонически линеаризованного уравнения (4.120) записывают-
ся передаточные функции линейной части W (s) B(s) и нелинейного элемен-
|
|
|
|
|
|
A(s) |
та |
|
|
b(A, ) |
|
, что отвечает представлению нелинейной систе- |
|
J(A, ) |
q(A, ) |
|
|
|
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
мы в виде рис. 4.29 и позволяет определить амплитуду и частоту автоколеба-
ний, а также устойчивость системы в соответствии с 4.4.3 (см. также /52, 85/).
В случае симметричных колебательных переходных процессов с силь-
ным затуханием (или расхождением) решение (4.120) ищется в виде (4.122),
|
|
p |
||
(4.123) при F(x, px) |
a(A, , ) b(A, , ) |
|
x. |
|
|
||||
|
|
|
||
Поскольку решение вида (4.122) - (4.123) в линейной теории соответст-
вует паре комплексных корней, то характеристическое уравнение
A( ) B( ) |
q(A, , ) b(A, , ) |
|
0 |
(4.127) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
415 |
|
|
|
|
При каждом конкретном зна-
чении k переходный процесс оп-
ределяется значениями ξ(A) и
(A) на соответствующей одной вертикали диаграммы качества
|
(рис. 4.42). |
|
|
Для линейной системы все |
|
|
линии ξ=const и =const стали бы |
|
|
вертикальными и область автоко- |
|
|
лебаний (рис. 4.42) выродилась |
|
|
бы тоже в одну вертикаль (k1 = k2) |
|
|
- границу устойчивой системы. |
|
Рис. 4.41. Диаграмма качества процессов |
Заметим, что |
таким путем |
управления нелинейной системы: |
можно исследовать колебатель- |
|
а — при ξ = const; б — при = const |
||
|
ные переходные |
процессы не |
только в областях параметров системы, при которых возникают периодиче-
ские колебания, но и там, где периодического решения вообще нет, а имеет место устойчивость или неустойчивость равновесного состояния при любых начальных условиях, как это видно, например, на рис. 4.42 при k < k1 и при k
> k2.
В областях существования автоколебаний (рис. 4.42) при начальных условиях внутри предельного цикла (т. е. дающих начальную амплитуду А0
меньшую, чем амплитуда автоколебаний) будет расходящийся процесс (ξ > 0), а вне его, т. е. при больших начальных амплитудах А0, переходный про-
цесс затухает (ξ < 0).
Аналогично в области абсолютной устойчивости имеем ξ < 0 при лю-
бой начальной амплитуде А0.
Амплитуда автоколебаний (случай ξ= 0) определяется согласно выра-
жению (4.126) условием n 1 0 Для случаев же ξ < 0 и ξ > 0 предпоследний
417
определитель Гурвица соответственно будет n 1 0 и n 1 0 (рис. 4.43). В
первом случае и остальные определители Гурвица полагаются положитель-
ными.
Дело в том, что при этом определитель Гурвица в отличие от обычных
|
линейных систем зависит |
||
|
не только от параметров |
||
|
системы, но и от ампли- |
||
|
туды колебаний A, кото- |
||
|
рая входит в коэффици- |
||
|
енты |
характеристическо- |
|
Рис. 4.42. Разделение плоскости по параметру k на |
го уравнения гармониче- |
||
ски |
линеаризованной |
||
области абсолютной устойчивости, автоколебаний и |
|||
абсолютной неустойчивости |
системы. Эта зависи- |
||
|
|||
мость n 1(A) при разных значениях параметра k применительно к рис. 4.43
имеет вид, показанный примерно на рис. 4.44 (там через А0 обозначена ам-
плитуда автоколебаний). Очевидно, что здесь говорится о таких областях па-
раметров системы, где переходный процесс является колебательным (хотя бы одно колебание за время затухания процесса, т. е. ≠ 0).
Рис. 4.43. Зависимости n 1(A) при различных значениях параметра k
Следовательно, область абсолютной устойчивости системы определя-
ется как область параметров, внутри которой
Ln 1(q,b) 0 |
(4.129) |
418
при любых возможных значениях коэффициентов гармонической линеариза-
ции q и b, входящих в характеристическое уравнение системы (при положи-
тельности остальных определителей Гурвица).
Границей между областями абсолютной устойчивости и автоколебаний будет случай
min Ln 1(q,b) 0, |
(4.130) |
причем имеется в виду не только строгий математический минимум, но и наименьшее значение на каком-нибудь крае возможного интервала измене-
ния n 1 .
Граница же между областями автоколебаний и абсолютной неустойчи-
вости определяется условием
max Ln 1(q,b) 0, |
(4.131) |
или обращением в нуль наибольшего крайнего значения |
Ln 1(q,b). При этом |
надо иметь в виду, что согласно выражению (4.58) коэффициенты a и b взаи-
мосвязаны.
Те же самые условия (4.129) - (4.131) справедливы и для определения локальной устойчивости системы в ограниченной области начальных усло-
вий, т.е. для случаев неустойчивого периодического решения и более слож-
ных случаев с двумя периодическими решениями. Например, если в области k1 < k < k2 периодическое решение неустойчиво (рис. 4.45), то будет иметь место устойчивость равновесного состояния (A = 0) при начальных амплиту-
дах A0, меньших амплитуды периодического решения, и неустойчивость сис-
темы при больших начальных амплитудах.
Примеры показывают, что выделение областей устойчивости таким способом дает те же результаты, как и второй метод Ляпунова (для опреде-
ленного класса задач, где метод Ляпунова может дать доводимые до вычис-
лений результаты).
419
