3832

выборе типа регулятора исходят, прежде всего, из следующих соображений. Из номенклатуры выпускаемых промышленностью регуляторов выбирается простей-

ший по закону регулирования (т е наиболее дешевый и простой в эксплуатации) регулятор, который позволяет с учетом динамических свойств данного объекта обеспечить требуемое качество регулирования.

При этом учитываются следующие правила:

1. П - регуляторы (статические) могут применяться на объектах с плохими динамическими характеристиками (в тех случаях. когда допускается большое зна-

чение статической ошибки).

2. И - регуляторы (астатические) могут применяться в тех случаях когда до-

пускается большое время регулирования для И – регуляторы не применимы для регулирования объектов без самовыравнивания и с запаздыванием, так как процесс регулирования может быть неустойчивым.

3.ПИ-регуляторы (изодромные) могут применяться при любых требованиях

квеличине ошибки и при любом диапазоне изменения возмущения, если допусти-

мое время регулирования превышает 6 ( - постоянная времени запаздывания), т.е. tp>6 . Это наиболее распространенный тип регуляторов.

4. ПИДрегуляторы необходимо использовать для достижения времени ре-

гулирования в пределах 6 >tp> 4 .

5. Релейные регуляторы применимы к объектам, для которых допустимы ав-

токолебания.

Для окончательного выбора необходимо провести некоторые расчеты. Как показывают исследования систем с различными объектами и регуляторами при вы-

боре типа регулятора, можно пользоваться следующими соотношениями. 1) Релейные регуляторы применимы при условии:

xcp% 100 , где То – постоянная времени объекта; τ – время запаздыва-

T0

ния.

2) П- регуляторы применимы, если общий коэффициент усиления системы

можно выбрать из условия:

Такой выбор может привести в ряде случаев к неустойчивой системе или к системе с недопустимым колебательным процессом, тогда П -регулятор неприме-

ним.

481

3) И -регуляторы применимы:

а) если x< xн – допустимое значение ошибки x меньше зоны нечувстви-

тельности регулятора xн;

б) если регулятор должен обеспечивать работу объекта при непрерывно из-

меняющемся возмущении, то для устойчивости такой системы должно выполнять-

ся условие, чтобы максимальная скорость регулирующего воздействия была больше скорости изменения возмущения.

4) ПИ- и ПИД -регуляторы позволяют получить достаточно малые отклоне-

ния без нарушения условий устойчивости.

Пропорциональные регуляторы применяют (с точки зрения характера возмущений) в тех случаях, когда возмущения носят кратковременный (пиковый) ха-

рактер. При этом остаточные отклонения регулируемой величины могут быть све-

дены к минимуму.

Если возмущения являются длительными (т. е. продолжительность возмущений значительно превышает время регулирования системы с П -регулятором)

или возмущения изменяются беспрерывно, то при использовании П -регулятора будут длительные и с большой амплитудой отклонения регулируемой величины. В

этих случаях П -регуляторы не применяют. При применении И-, ПИ- и ПИД - регуляторов в случае неустановившихся возмущений, изменяющихся с постоянной скоростью, необходимо, чтобы максимальная скорость исполнительного механиз-

ма регулятора была больше скорости изменения возмущения, иначе отклонение ре-

гулируемой величины будет накапливаться (т. к. компенсация возмущения происходит медленнее, чем его изменение) и достигнет недопустимой величины.

Эти соображения применимы, в основном, для систем с одним регулятором и одной регулируемой величиной. Для более сложных систем (например, системы связанного регулирования с несколькими регуляторами и регулируемыми величинами) существуют особые правила подбора регуляторов. Во всех случаях увеличе-

ние неравномерности регулятора и его времени восстановления приводит к более устойчивому регулированию, но вместе с тем увеличивает статическую ошибку и время регулирования.

На основании параметров объекта регулирования То, , Ко и типа выбранного регулятора рассчитываются их параметры настройки исходя из требований техно-

логического режима. В простейших случаях стабилизации регулируемой величины возможно применение табличных методов определения настроек регуляторов, в

более сложных – применяют расширенное D- разбиение или иные методы, более подробно излагаемые в /24, 92/.

5.2.7. Аффинная параметризация регуляторов.

482

Под аффинной параметризацией понимается линейное преобразование модели объекта управления /2/

где Q(s) – линейный оператор, WO(s) – передаточная функция объекта управ-

ления. Нетрудно видеть, что (5.43) соответствует передаточной функции ра-

зомкнутой системы. В случае замкнутой системы, передаточная функция от входа к выходу

1 WR (s )WO (s )

нелинейна относительно передаточной функции регулятора WR(s), что суще-

ственно затрудняет его настройку, обеспечивающую достижение желаемой цели. Идея аффинной параметризации заключается в представлении (5.44) в

виде (5.43), что возможно, если:

Таким образом, при использовании идей аффинной параметризации

синтез регулятора осуществляется в два этапа. На первом этапе осуществля-

ется синтез оператора Q(s), а на втором – определение передаточной функ-

ции регулятора. В соответствии с (5.45) передаточная функция регулятора определяется выражением:

известным как параметризация Йола. /2/

Анализ (5.46) показывает, что устойчивость замкнутой системы, при устойчивом объекте, обеспечивается при любой устойчивой собственной пе-

редаточной функции Q(s). Кроме того из (5.46) также следует, что замкнутая система будет ковариантна по отношению к управляющему воздействию только на тех частотах, на которых Q(j ) инвертирует модель объекта управ-

ления. Последнее делает рациональным выбор Q(s) в виде

483

(5.48)

где FQ(s) – желаемая передаточная функция замкнутой системы (формирую-

щий фильтр). Вместе с тем, анализ (5.48) показывает, что если устойчивая передаточная функция WO(s) содержит неминимально-фазовые нули, то ее инверсия приведет к неустойчивости Q(s) и, следовательно – к неустойчиво-

сти замкнутой системы. Поэтому в случае, когда передаточная функция объ-

екта управления содержит неминимально-фазовые нули Q(s) целесообразно представить в виде

где Bos(s) и Bou(s) – устойчивый и неустойчивый полиномы, то в качестве ус-

тойчивого приближения инверсии объекта принимают

Также следует отметить, что требование собственности передаточной

функции Q(s) накладывают ограничения на выбор желаемой передаточной функции замкнутой системы. В частности если относительная степень пере-

даточной функции объекта управления nотнo no mo , где no и mo – порядки

полиномов знаменателя и числителя WO(s) соответственно, то для обеспече-

ния собственности Q(s) относительная степень формирующего фильтра должна быть как минимум равна относительной степени модели объекта.

Рассмотрим с точки зрения аффинной параметризации компенсацию возмущающих воздействий приложенных к входу или выходу объекта управления. Если возмущение приложено к выходу объекта, то передаточная

функция относительно ошибки по возмущающему воздействию определяет-

ся выражением (3.146), а в случае приложения возмущения к входу объекта – выражением (3.149). Переписав (3.146) и (3.149) с учетом (5.47), получим

где fВЫХ и fВХ передаточные функции относительно ошибки по возму-

щающему воздействию в случае, когда возмущение приложено к выходу и к входу объекта соответственно.

Из (5.52) и (5.53) следует, что установившаяся ошибка, во всем диапа-

1

зоне частот будет равна нулю только в том случае если Q( s) WO ( s) .

Однако выполнение указанного условия, с учетом ограничений, налагаемых на выбор FQ(s), а, следовательно, и на Q(s), возможно только в случае, когда объект не имеет неминимально-фазовых нулей при нулевой относительной степени WO(s). Поэтому представляется целесообразным рассмотреть выбор

Q(s) для обеспечения компенсации ошибок в установившемся режиме и в за-

данном диапазоне частот.

В соответствии с (5.52) и (5.53) условие нулевой установившейся

ошибки может быть выражено следующим образом

где желаемая передаточная функция замкнутой системы FQ(s) должна удов-

летворять условию FQ(0)=1.

В более общем случае устойчивость замкнутой системы и нулевая ошибка в установившемся режиме будут обеспечены, если выбрать переда-

точную функцию Q(s) вида

1

Q( s ) sQ( s) WO (0 ) Qa ( s ), (5.55)

где Q( s ) – любая устойчивая передаточная функция, а Qa(s) – устойчивая передаточная функция, удовлетворяющая условию Qa(0)=1.

В случае, когда возмущающее воздействие имеет составляющие на частотах 1, 2, … , k замкнутая система будет обладать нулевой устано-

вившейся ошибкой на этих частотах, если Q(s) удовлетворяет условию

где

485

Анализ (5.53) показывает, что при выборе Q(s) в соответствии с (5.48)

или (5.49) нежелательные (медленные или сильно колебательные) полюсы объекта управления продолжают оказывать влияние на переходные процес-

сы, вызываемые возмущающими воздействиями на входе объекта. Для ком-

пенсации этих нежелательных полюсов необходимо, чтобы они входили в

(5.52) в качестве нулей. Если s1 – нежелательный полюс WO(s), то для его компенсации в (5.53) необходимо выполнение условия

что при выборе Q(s) в соответствии с (5.48) приводит к необходимости вы-

полнения условия

Компенсацию нежелательных полюсов поясним на примере.

Пример 5.4 /2/. Рассмотрим передаточную функцию объекта

6

WO(s ) ( s 1)(s 6 )

при условии, что шум измерения ограничивает полосу пропускания замкнутой системы частотой =10 рад/с. При этих условиях возможный выбор Q(s) имеет вид

Q(s) FQ(s)(s 1)(s 6 ) 6 .

Учитывая, что относительная степень передаточной функции WO(s) равна двум, а

также ограничение полосы пропускания замкнутой системы в качестве формирующего фильтра FQ(s) необходимо принять низкочастотный фильтр, полоса пропускания которого ограничена частотой =10 рад/с с относительной степенью не менее двух. Кроме того,

для обеспечения нулевой установившейся ошибки, потребуем, чтобы FQ(0)=1. С учетом вышеизложенного в качестве FQ(s) примем

1000( s 1)

FQ(s) (s2 14s 100)(s 10) ,

где параметр , должен быть выбран из условия компенсации нежелательного полюса s1=- 1. В соответствии с (5.59) имеем

откуда 217 .

1000

486

Таким образом, окончательно получим

а из (5.53) следует

6s(s 23 )

fВХ ( s ) 1 Q( s )WO( s) WO (s ) (s2 14s 100 )(s 10 )( s 6 ).

Как видно из последнего выражения, передаточная функция по ошибке не имеет нежелательного полюса.

В заключении рассмотрим синтез типовых законов регулирования с помощью аффинной параметризации для объектов регулирования, которые могут быть аппроксимированы передаточными функциями вида /2/

Если объект представлен инерционным звеном первого порядка (5.60)

и не имеет немимнимально-фазовых нулей, то в соответствии с (5.48) Q(s)

примет вид:

откуда относительная степень FQ(s) должна быть не менее единицы, что по-

зволяет в качестве формирующего фильтра использовать звено с передаточ-

ной функцией

где – параметр настройки.

Выражения (5.63) и (5.64) с учетом (5.47) позволяют представить пере-

487

даточную функцию регулятора в виде

которая соответствует передаточной функции ПИ закона регулирования с параметрами настройки

Передаточная функция замкнутой системы с объектом (5.60) и ПИ ре-

гулятором, настройки которого выбраны в соответствии с (5.66) имеет вид

Анализ (5.67) показывает, что, изменяя и рассчитывая настройки ПИ регулятора в соответствии с (5.66), возможно изменение быстродействия системы.

В случае если объект представлен выражением (5.61) то

Из (5.68) следует, что Q(s) будет бисобственной если в качестве FQ(s)

выбрать передаточную функцию вида

где и Q – параметры настройки.

Выражения (5.68) и (5.69) позволяют представить передаточную функцию регулятора в виде

T2s2 2 T s 1

WR ( s ) O O

KO ( 2 Q )s

что соответствует передаточной функции ПИД регулятора с настройками

Для объекта (5.62) используя разложение звена запаздывания в ряд Па488

T

T O . d KO (2 2 4 Q )

5.3. Синтез систем автоматического управления с произвольной структурой

5.3.1. Структурный синтез систем автоматического управления

Задачей структурного синтеза является, в первую очередь, установле-

ние структуры операторов, образующих комбинированную систему управле-

ния, упрощенная функциональная схема

f

которой приведена на рис. 5.22.

При управлении объектом в про-

Рис. 5.22. Функциональная схема системы управления

странстве состояний необходимо располагать текущими значениями (изме-

рять) n величин – фазовых координат системы /93/.

Однако знание фазовых координат еще не позволяет предсказать дви-

жение объекта, т.е. его состояние в последующий через бесконечно малый интервал dt момент времени. Для знания движения объекта необходимо в общем случае знать не только фазовые координаты объекта, но и скорости их изменения. Например, для объекта второго порядка состояние в любой мо-

мент времени однозначно определяется двумя величинами: выходной коор-

динатой объекта и скоростью ее изменения. Если же надо определить движе-

ние объекта, т.е. его состояние в любой ближайший момент времени, то по-

мимо этих величин следует знать также и скорости их изменения в тот же момент времени. Таким образом, необходимо дополнительно знать вторую производную (ускорение) выходной величины. Таким образом, если знание состояния объекта во многих случаях стабилизации объектов является доста-

точным для построения их систем управления, то в случае следящих систем измерение только фазовых координат недостаточно для качественного управления процессом /93/.

Можно отметить существенную особенность скоростей изменения фа-

зовых координат, состоящую в том, что только скорость изменения фазовой координаты y(n-1), равная y(n) – высшей производной регулируемой величины объекта, в любой момент времени зависит явно от управляющего воздейст-

вия. Следовательно, только она может быть изменена в нужном направлении при управлении объектом. Скорости изменения остальных фазовых коорди-

нат y(i), i=0,1,2,…(n-1), не могут в тот же момент времени зависеть от управ-

ляющего воздействия. Действительно, записывая векторное уравнение (5.23)

в скалярной форме с учетом принятых на рис. 5.22 обозначений, имеем

490