3832

При m=1 из (4.84) может быть получено выражение (4.82) для одно-

значной релейной характеристики с зоной нечувствительности.

В случае безынерционных нелинейных элементов для вычисления ко-

эффициентов гармонической линеаризации необязательно получение перио-

дического сигнала на выходе /7/. Пусть нелинейный элемент имеет двух-

значную статическую характеристику (рис. 4.34) с восходящей F1 и нисхо-

дящей F2 ветвями.

В интегралах (4.73) заменим путем подстановок на переменную x:

ходимом условии, что преобразование сигнала, проходящего через нелиней-

ный элемент, будет обратно соответствующему преобразованию сигнала при прохождении его через линейную часть системы в том смысле, что отноше-

ния амплитуд выходного и входного сигналов будут обратны по величине, а

сдвиги по фазе - обратны по направлению.

Выражение (4.88) позволяет указать на простой графический прием для определения амплитуды и частоты незатухающих колебаний, возможных в рассматриваемой системе. Если построить амплитудно-фазовые характери-

стики W(j ) и 1 , то согласно выражению (4.88) автоколебания возможны

J(A)

только в точках пересечения этих характеристик, поскольку только в этих точках удовлетворяется условие (4.88). Так как каждой точке годографа

W(j ) соответствует определенная частота , а каждой точке годографа 1

J(A)

- определенная амплитуда колебаний координаты x, то точки пересечения го-

дографов определяют сразу значения амплитуды и частоты возможных в сис-

теме периодических режимов, как это показано, например, на рис. 4.35 /10/.

Выявление всех возможных видов бифуркаций (см. также 4.6), прису-

щих той или иной исследуемой нелинейной системе, вывод критических со-

отношений параметров, определяющих границы областей с различной каче-

ственной структурой фазового пространства,

в общем случае представляют весьма слож-

ную задачу. Как уже отмечалось ранее, для систем высокого порядка существующая тео-

рия не гарантирует полного решения этой за-

дачи. Для автономных же систем второго по-

рядка такая задача принципиально может быть всегда решена. Чаще всего это связано

Рис. 4.34. Амплитудно-фазовые со значительными трудностями, так как в ка-

характеристики линейной части и нелинейного элемента

394

ждом конкретном классе систем приходится использовать специальные приемы и способы исследования поведения фазовых траекторий, вывода и исследований функций точечных преобразований и т. д. Поэтому для прове-

дения качественного исследования, связанного с определением бифуркаци-

онных соотношений параметров, целесообразно применять вычислительные методы с использованием ЭВМ, различные приближенные методы по ап-

проксимации функций и т. д. Однако для того чтобы какой-либо периодиче-

ский режим был не только теоретически возможен, но и реально устанавли-

вался в системе, выполнение условия (4.88) еще недостаточно. Необходимо еще, чтобы найденный таким образом периодический режим был устойчи-

вым, т. е. чтобы ему в фазовом пространстве системы соответствовал устой-

чивый предельный цикл. В противном случае, если найденный периодиче-

ский режим окажется неустойчивым, любые сколь угодно малые отклонения от этого режима приведут к нарастающему его изменению, и автоколебания с такой частотой и амплитудой никогда не смогут установиться.

Суждение об устойчивости периодического режима, соответствующего точкам пересечения годографов W(j ) и 1/J((A) может быть составлено на

основании следующих соображений.

Режиму работы системы, соответствующему точке пересечения годо-

графов амплитудно-фазовых характеристик согласно - выражению (4.79), со-

ответствует амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой эквивалентной линейной системы, находящейся на границе устойчивости. Для выяснения вопроса устойчивости режима, соответствующего, например, точке N (рис. 4.35) проведем прямую 00’ через точку N1, лежащую на отметке амплитуды

меньше модуля вектора ON2 W ( j N 2 ). Поскольку аргументы этих векторов одинаковы, то аргумент вектора W( j N 2 )J(AN1) будет равен нулю. Модуль

395

этого произведения, очевидно, будет больше единицы, что свидетельствует о том, что амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой эквивалентной линейной системы охватывает критическую точку, и амплитуды колебаний координат системы будут нарастать.

Проведем теперь прямую 00" через точку N3, лежащую на отметке ам-

плитуды АN3 < AN1. При этом, как видно из рис. 4.35, модуль вектора

ведения W( j N 4)J(AN3) будет меньше единицы, что свидетельствует о затуха-

нии колебаний координат системы, работающей в этом режиме.

Таким образом, увеличению амплитуды колебаний соответствует их дальнейшее нарастание, а уменьшению амплитуды — дальнейшее ее убыва-

ние. Значит, периодический режим, соответствующий точке N, является не-

устойчивым.

Аналогичные рассуждения относительно точки М показывают, что со-

ответствующий ей периодический режим является устойчивым.

Следовательно, в системе, характеризующейся амплитудно-фазовыми характеристиками, приведенными на рис. 4.35, установятся автоколебания частоты M и амплитуды АM.

Из приведенных рассуждений видно, что точки пересечения годогра-

фов W(j ) и 1 здесь играют роль критических точек, аналогичных точке

J(A)

(1, j0) при исследовании устойчивости при помощи критерия Найквиста, от-

куда следует общее правило для выяснения устойчивости по амплитуде пе-

риодического режима.

Если точка годографа 1 , соответствующая несколько увеличенной

J(A)

амплитуде (по сравнению с амплитудой в точке пересечения годографов), не охватывается годографом W(j ) , то такой периодический режим является устойчивым и наоборот.

396

Из (4.94), исключая q(A), находим уравнение относительно :

VA ( j )UB ( j ) VB ( j )UA( j ) 0.

Определив , вычисляем А из одного из уравнений (4.94) выбрав из них наиболее простое.

4.5.Статистическая линеаризация нелинейных характеристик

В предыдущем разделе мы видели, что при синусоидальном входном сигнале существенно нелинейные характеристики можно линеаризовать ме-

тодом гармонической линеаризации, который учитывает основные законы прохождения колебаний через нелинейные звенья.

Поэтому, естественно, возникает мысль и при случайном входном сиг-

нале попытаться линеаризовать существенно нелинейные характеристики та-

ким образом, чтобы учесть основные законы совместного прохождения по-

лезных сигналов и случайных возмущений через нелинейные звенья.

Метод приближенной замены нелинейных характеристик эквивалент-

ными в вероятностном смысле линейными зависимостями называется мето-

дом статистической линеаризации.

Рассмотрим совместное прохождение плавно изменяющегося полезно-

го сигнала и помехи через нелинейное звено. На рис. 4.37, а /4/ изображена характеристика нелинейного звена.

На рис. 4.37, б кривая 1 показывает изменение полезного сигнала, кото-

рый можно считать математическим

ожиданием входного случайного

Рис. 4.36. Прохождение случайного сигнала, а кривая 2 — изменение

сигнала через нелинейный элемент полного входного сигнала

mx(t)+X0(t)с учетом помехи (флук-

398

туации) входного сигнала. На рис. 4.37, в кривая 1 показывает изменение вы-

ходного сигнала нелинейного звена при отсутствии на входе помехи, а кри-

вая 2 — полный выходной сигнал при наличии на входе полезного сигнала и помехи. Пунктирной кривой 3 на рис. 4.37, в показано статистическое сред-

нее значение (математическое ожидание) выходного сигнала. Из этих рисун-

ков видно, что при малом уровне флуктуации входного сигнала кривая 3 бу-

дет мало отклоняться от кривой 1. При большом уровне флуктуации входно-

го сигнала среднее значение выходного сигнала будет близко к нулю, так как выходной сигнал будет беспорядочно колебаться между крайними значения-

ми. Следовательно, полезный сигнал практически не будет проходить через нелинейное звено. Иными словами, флуктуации подавляют полезный сигнал в нелинейном звене, уменьшают эффективный коэффициент усиления нели-

нейного звена. Чем выше уровень флуктуации, тем сильнее подавляется по-

лезный сигнал. При этом величина флуктуации на выходе рассмотренного нелинейного звена также ограничивается.

Идея статистической линеаризации состоит в том, чтобы заменить ис-

тинную зависимость между входным и выходным сигналами нелинейного звена такой приближенной зависимостью, линейной относительно центриро-

ванного случайного входного сигнала, которая в основном учитывает рас-

смотренную физическую картину совместного прохождения полезного сиг-

нала и случайной помехи через нелинейное звено. А именно статистически линеаризованная зависимость должна с достаточной точностью определять полезный сигнал и уровень флуктуации на выходе нелинейного звена.

В результате статистической линеаризации зависимость между вход-

ной и выходной переменными нелинейного звена

Y (X)

заменяется приближенной зависимостью вида

399

Величина 0 представляет собой выходной полезный сигнал нелиней-

ного звена, зависимость которого от входного полезного сигнала является

статистической характеристикой нелинейного звена.

Коэффициент k1 представляет собой статистический коэффициент усиления нелинейного звена по случайной составляющей.

Для нелинейных звеньев, имеющих нечетные характеристики, функция

(ро может быть представлена в форме

(4.96)

где k0 — статистический коэффициент усиления нелинейного звена по ма-

тематическому ожиданию.

Величина 0 и статистические коэффициенты усиления нелинейного звена k0 и k1 определяются из основного условия сохранения величины по-

лезного сигнала и уровня флуктуации на выходе нелинейного звена. Так как полезный сигнал представляет собой математическое ожидание, а уровень флуктуации характеризуется дисперсией выходного сигнала, то величины 0, k0 и k1 можно определить из условия равенства математического ожидания mu, и дисперсии Du, случайной величины U, определяемой формулой (4.95),

соответственно математическому ожиданию и дисперсии выходного сигнала

Y нелинейного звена:

(4.97)

Так как случайная величина U представляет собой линейную функцию случайной величины X, то на основании известных свойств математических ожиданий и дисперсий математическое ожидание и дисперсия случайной ве-

личины и определяются формулами

На основании первой из этих формул первое условие (4.97) дает

400