3832

4.Что такое фазовое пространство и фазовая плоскость? Чем они различаются?

5.Изложите основные положения метода точечных преобразова-

ний. Что такое «многолистная фазовая плоскость»?

6.Изложите основные положения метода гармонической линеари-

зации. Запишите выражения для соответствующих коэффициентов.

7.Что такое «эквивалентный комплексный коэффициент передачи

(усиления) нелинейного элемента»? Как он определяется?

8.Запишите условия баланса фаз и амплитуд в нелинейной системе.

9.Как определяются амплитуда и частота автоколебаний методом гармонического баланса?

10.Что такое статистическая линеаризация нелинейной характери-

стики? Укажите физический смысл статистической линеаризации.

11.Сформулируйте понятия: устойчивость «в малом», «в большом»

и«абсолютная устойчивость».

12.Что такое «скользящий режим»? Как определяется качество про-

цессов управления в нелинейных системах?

13. В чем особенности применения функций Ляпунова к исследова-

нию устойчивости нелинейных систем?

14. Запишите условие асимптотической устойчивости нелинейной системы по Ляпунову.

431

5. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Цель раздела - получение фундаментальных теоретических знаний и

практических навыков разработки современных систем автоматического

управления.

После изучения раздела необходимо знать

Методы модального синтеза систем автоматического управления.

Взаимосвязи расположения корней характеристического уравне-

ния и качества реализуемых процессов.

Способы формирования желаемых частотных характеристик.

Способы коррекции систем управления.

Теоретические основы синтеза линейных систем управления.

Основные методы синтеза оптимальных систем управления.

После изучения раздела необходимо уметь:

Обосновать выбор типового регулятора систем стабилизации.

Рассчитывать настройки типовых регуляторов и осуществлять коррекцию систем автоматического управления.

Синтезировать структуру системы исходя из требуемых движе-

ний управляемого объекта.

Осуществлять параметрический и структурный синтез систем ав-

томатического управления.

Синтезировать системы с переменной структурой в том числе на основе метода разделения движений.

Осуществлять синтез систем программного управления.

Применять методы синтеза оптимальных систем автоматическо-

го управления, в том числе методы аналитического конструиро-

вания оптимальных регуляторов.

432

5.1.Цели и задачи синтеза. Основные определения и общие положения

Целью синтеза является построение математической модели системы управления, удовлетворяющей требованиям к поведению: устойчивости, ро-

бастности, ковариантности с заданием и инвариантности к возмущениям.

В задачах синтеза алгоритмов управления к объекту управления (ОУ)

или неизменяемой части системы относят исполнительные механизмы (ИМ)

и измерительные элементы (ИЭ). При этом объект управления взаимодейст-

вует со средой, а входом и выходом расширенного объекта являются мало-

мощные сигналы – носители информации /7/ (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Расширенный объект управления

Средствами решения задачи синтеза в указанной постановке являются:

выбор структур систем, т.е. элементов и топологии причинно-следственных связей между ними (структурный синтез);

выбор структур операторов элементов (в частности, алгоритмов управляю-

щих устройств УУ и значений их параметров (алгоритмический синтез).

Удовлетворению требований к поведению систем обычно препятству-

ют динамические свойства ОУ и других элементов неизменяемой части, не-

доступность полной априорной информации о свойствах элементов системы и среды, невозможность получения всей текущей информации о состоянии объекта и возмущениях, ограничения на переменные системы и управляю-

щие воздействия.

В постановках задач синтеза задается множество систем /7/, на ко-

тором производится выбор. Задача синтеза нетривиальна только в случае, ко433

гда множество содержит более одного элемента, иначе говоря, имеется ис-

ходная неопределенность.

Выделяют следующие постановки задачи синтеза:

Элементы множества могут различаться параметрами. При этом множество является моделью второго ранга неопределенности

=М(2)={M(3)}, т.е. множеством полностью определенных систем третьего ранга. Например, системы различаются параметрами одного из звеньев (на-

стройками регулятора). В результате параметрического синтеза находятся их значения.

Элементы исходного множества могут различаться структурами опе-

раторов звеньев. При этом множество является моделью первого ранга не-

определенности =М(1)={M(2)}, т.е. множеством моделей второго ранга. В

результате структурного синтеза выбирается подмножество структур опе-

раторов (или единственная структура, например тип регулятора), после чего имеет место рассмотренная ранее задача параметрического синтеза.

Множество может быть моделью нулевого ранга неопределенности

=М(0)={M(1)}, т.е. представлять собой множество систем с различной то-

пологией. В результате топологического синтеза выбирается подмножество топологий (в частности, единственная топология), после чего решается зада-

ча структурного синтеза. Ситуация соответствует, например, поиску наи-

лучшего места включения регулятора или компенсатора, т.е. определению точки измерения и оказания на объект управляющих воздействий.

Синтез представляет собой повышение ранга моделей R, т.е. уменьше-

ние неопределенности или разнообразия за счет привлечения информации о пожеланиях проектировщика.

5.1.1. Синтез систем управления

Синтез управляющих воздействий. Приложенное к объекту допус-

тимое управляющее воздействие u(t) U должно обеспечивать наилучшее, в

434

некотором смысле, поведение объекта. Математически задача синтеза ста-

вится как поиск функции времени u*(t), доставляющей максимум (минимум)

некоторому функционалу

J y(t ),u(t ), f (t ) max(min)

с учетом динамических свойств объекта, ограничений на его переменные со-

стояний, а также тех возмущений f(t), о которых имеется полная априорная информация. Решение сводится к поиску условных экстремалей функциона-

лов, для чего привлекаются методы классического вариационного исчисле-

ния, принципа максимума, динамического программирования. Задачи синте-

за управляющих воздействий, как правило, решаются вне рамок теории ли-

нейных систем.

Управляющее воздействие u*(t) генерируется управляющим устройст-

вом УУ1 (рис. 5.1) и обеспечивает оптимальную траекторию движения объек-

та y*(t).

Во многих технических объектах оптимальное управление постоянно

(u*=const) и обеспечивает оптимальный режим (y*=const), определяемый из требований технологии.

Синтез компенсаторов возмущений. Если на объект действуют воз-

мущения f(t), не учтенные при синтезе оптимального управления u*(t), то по-

ведение объекта будет отличаться от оп-

тимального. В случае недопустимых от-

клонений соответствующей траектории

(режима) необходимо принять меры по ос-

лаблению влияния таких возмущений.

Рис. 5.2. Компенсация возмущения Пусть возмущение измеряется непосредственно (рис. 5.2).

Задачей синтеза является определение алгоритма управляющего уст-

ройства УУ2, в котором происходит обработка текущей информации о воз-

мущении и формирование дополнительного (компенсирующего) воздействия

435

u2(t) на объект. Часть управляющего устройства, формирующую компенси-

рующее воздействие, называют также компенсатором (К).

Образование канала компенсации, в принципе, может обеспечить абсо-

лютную инвариантность управляемой переменной к непосредственно изме-

ряемому возмущению.

Синтез систем управления из условия подавления непосредственно

не измеряемых возмущений. Если к объекту приложены постоянно дейст-

вующие не измеряемые возмущения f(t), то единственным средством ослаб-

ления их влияния на управляемую переменную y(t) является создание конту-

может быть регулятор, алгоритм функционирования которого отвечает тре-

бованиям компенсации постоянно действующих возмущений (см. 3.9.4).

Селективная абсолютная инвариантность достигается, если внутренний компенсатор «моделирует среду» – его передаточная функция имеет полюсы,

равные полюсам изображения возмущения с учетом их кратности. Из - за бесконечного усиления контура на комплексных частотах возмущения уста-

новившаяся реакция системы равна нулю. Селективная инвариантность до обеспечивается, если на частотах возмущений усиления контура достаточно велики.

Пусть измеряются непосредственно выходная переменная объекта и основное возмущение. Тогда создают комбинированные системы управления,

реализующие оба принципа управления, – по замкнутому и разомкнутому циклам. Канал компенсации возмущения обеспечивает инвариантность к ос-

новному возмущению, а обратная связь ослабляет влияние непосредственно

436

не измеряемых возмущений, а также вариаций операторов элементов.

Компенсация главного возмущения позволяет снизить требования к ас-

татизму системы и усилению контура обратной связи. Это, в свою очередь,

облегчает решение задачи стабилизации системы и удовлетворения требова-

ний к переходным процессам.

Синтез следящих систем управления. В следящих системах управ-

ляемая переменная y(t) должна воспроизводить заранее неизвестное воздей-

ствие g(t), т.е. должна быть ковариантной с ним. Текущая информация может быть получена только по ошибке слежения (t)=g(t)–y(t). В этом случае стро-

ится система управления (СУ) с ОС, а задачей синтеза является определение алгоритма регулятора Р (рис. 5.3) u(t)=R( (t)), обеспечивающего воспроизве-

дение задающего воздействия с требуемой точностью. Переменная ошибки

(t) должна быть инвариантной к заданию g(t) и возмущениям f(t).

В следящих системах без непосредственного измерения задающего воздействия реализовать абсолютную инвариантность ошибки к заданию нельзя. Селективная абсолютная инвариантность достигается, если ввести в

контур внутренний компенсатор воздействия, полюсы передаточной функ-

ции которого равны полюсам изображения воздействия g(t).

Легко видеть, что в обеих системах – подавления возмущений и вос-

произведения задания – переменная ошибки должна быть инвариантной к воздействиям. Разница между задачами синтеза этих систем заключается в том, что основные требования в первом случае относятся к точности подав-

ления возмущения, а во втором – к точности воспроизведения задания.

5.1.2. Коррекция систем управления

Создание контуров обратной связи и повышение их усиления, введение в контуры внутренних компенсаторов воздействий, передаточные функции которых имеют полюсы, равные полюсам изображений воздействий, обычно приводит к тому, что замкнутая система с удовлетворительными установив-

437

шимися движениями будет иметь плохие переходные процессы или даже окажется неустойчивой. Это часто имеет место, когда спектры воздействий близки к спектру объекта, т.е. усиление контура повышается на частотах объекта.

Если средства, обеспечивающие инвариантность переменной ошибки к непосредственно не измеряемым воздействиям, приводят к неустойчивости замкнутой системы, необходимо разрешить это противоречие между качест-

вом установившихся и переходных процессов. Такая задача синтеза называ-

ется коррекцией.

Синтез систем с ОС в общем случае является весьма сложной задачей.

Ее сложность обусловлена разнообразием требований: одновременно необ-

ходимо обеспечить инвариантность к возмущениям, ковариантность с зада-

нием, устойчивость движений. Эти требования обычно оказываются проти-

воречивыми, что превращает процедуру синтеза регуляторов в последова-

тельность принятия компромиссных решений.

Частично упростить задачу синтеза можно в случае линейных моделей,

когда установившиеся и переходные составляющие движений в какой-то ме-

ре можно формировать раздельно. Декомпозиция возможна при условии, ко-

гда собственные движения системы – более быстрые по сравнению с воздей-

ствиями среды. Это означает, что модули полюсов передаточной функции системы должны быть больше модулей полюсов воздействий.

Таким образом, процедура синтеза систем подавления возмущений и воспроизведения задания складывается из двух основных этапов:

синтеза компенсатора по требованиям к установившимся процессам;

коррекция по требованиям к переходным процессам.

При этом управляющее устройство представляется как совокупность компенсатора воздействия, обеспечивающего установившуюся точность, и

звена коррекции, обеспечивающего устойчивость и требуемое качество пере-

ходных процессов.

438

5.1.3. Синтез регуляторов для неустойчивых объектов

Оптимальные траектории, в частном случае – оптимальный режим ста-

билизации, могут быть неустойчивыми или же вариации движений могут за-

тухать недостаточно быстро. Тогда ставится задача стабилизации неустойчи-

вого режима и обеспечения требуемого качества переходных процессов.

Для изменения характера собственных движений необходимо создать систему с обратной связью (рис. 5.4, а). Управляющее устройство УУ3, обес-

печивающее устойчивость и качество процессов в окрестности оптимального режима, называют также регулятором (Р).

Задачей синтеза в этом случае являет-

ся определение алго-

ритма регулирования

u(t)=R( y(t)), а имен-

но, его типа (структу-

ры) и настроек (пара-

метров). Вообще говоря, стабилизирующая ОС может включаться и иначе

(рис. 5.4, б): измеряется некоторая внутренняя переменная x(t) и на объект оказывается воздействие по дополнительному входу (t). При наличии не-

скольких мест возможного включения регулятора возникает задача тополо-

гического синтеза – выбора наилучшего места.

Во многих практически важных случаях задача стабилизации решается по математическим моделям, линеаризованным для малых отклонений от рассматриваемого режима.

5.1.4. Синтез систем управления в условиях неполной определенности

моделей

Даже при достаточно точной реализации алгоритма управления, синте-

зированного на базе полностью определенной модели, реальная система, во439

обще говоря, будет иметь другое поведение, так как реальная динамика объ-

екта отличается от модельной /7/. Поэтому любой метод синтеза имеет смысл только в том случае, если он по меньшей мере гарантирует, что малые вариа-

ции параметров и характеристик элементов не вызовут больших изменений поведения системы. Синтезированная система должна быть грубой – это не-

обходимое условие применимости методов синтеза. Практически же требует-

ся робастность основных свойств – СУ должна быть работоспособной при конечных изменениях характеристик элементов.

Ранее было показано, что передачи замкнутых систем малочувстви-

тельны к вариациям характеристик некоторых элементов на частотах, где усиления контуров велики. Наличие контура является необходимым струк-

турным (топологическим) условием стабилизации неустойчивых объектов,

ослабления сигнальных и операторных возмущений. В этом состоит универ-

сальность действия ОС.

При синтезе систем частотными методами можно качественно контро-

лировать диапазоны частот, на которых вариации характеристик элементов мало скажутся на характеристиках системы. Для количественной оценки влияния вариаций элементов на условия инвариантности систем можно ис-

пользовать функции чувствительности (см. 2.7), позволяющие анализировать влияние свойств звеньев на условия инвариантности и ковариантности, а

чувствительность характеристических полиномов — на условия устойчиво-

сти и характер переходных процессов.

Если вариации элементов велики и/или усиления контуров на требуе-

мых частотах не могут быть повышены, необходимы активные средства ос-

лабления влияния вариаций элементов на свойства системы. В этих случаях строят адаптивные системы управления, в которых за счет обработки теку-

щей информации о динамических свойствах объектов происходит пере-

стройка алгоритма управляющего устройства.

Перейдем к более детальному рассмотрению способов синтеза систем

440