3832

после чего задача решается обычным путем.

Таким образом, возникает комбинация точных методов решения задачи с приближенными. Последнее обстоятельство имеет важное практическое значение, так как часто в сложных (многоконтурных) системах управления появляется возможность исследования каким-либо точным методом отдель-

ных частей системы (малых внутренних контуров), включающих нелинейно-

сти, а система в целом как нелинейная не поддается точному исследованию.

Тогда, используя точные решения для колебаний в отдельных частях систе-

мы в виде выражения (4.62) можно применить метод гармонической линеа-

ризации указанным путем для исследования системы в целом.

В данном случае речь идет об автоколебаниях, но это положение при-

менимо и к процессам управления.

На практике нашли широкое применение системы с переменной струк-

турой (см. 4.3.4), когда нелинейность выражена не функцией, а в виде изме-

нения структуры уравнения, т. е. вместо y=F(x,px) имеем, например,

где С - заданная постоянная.

Задавая x A sin t , находим по уравнениям (4.64) функцию y=Φ( t) в

пределах одного периода, после чего для гармонической линеаризации ис-

пользуем формулы (4.63).

381

Рассмотрим системы с логическими устройствами. Логическое устрой-

ство (автомат) может иметь несколько входов x1, x2,…. и выдавать ступенча-

тый сигнал управления и (например, u=+1, -1,0) в зависимости от опреде-

ленных логических комбинаций свойств входных величин. Таким образом,

формируется некоторая логическая функция вида

играющая роль нелинейности в системе управления; при этом логика (4.65)

может быть выражена не формулой, а каким-либо описанием или таблицей.

Поскольку рассматриваются замкнутые автоматические системы, то все входные величины связаны через контур системы управления либо с вы-

ходом и, либо между собой через некоторые промежуточные звенья или объ-

ект управления.

Пусть через x1 в функции (4.65) обозначена та из входных переменных,

для которой в исследуемой системе соблюдается свойство фильтра. Тогда,

записав x A sin t (где A и пока неизвестны и определяются только в ре-

зультате решения задачи), можно найти формулы или графики для всех пе-

ременных x2 в пределах одного периода как функции t в любой форме не обязательно синусоидальной, и не обязательно непрерывной. После этого по заданной логике, определяемой выражением (4.65), строится функция u=Φ( t), а затем по формулам (4.63) находятся коэффициенты гармониче-

ской линеаризации.

Таким образом, многие системы автоматического управления могут быть исследованы методом гармонической линеаризации. Это относится к самонастраивающимся, оптимальным (см. 5, 6) и другим системам.

Обратимся теперь к несимметричным колебаниям нелинейных систем,

т. е. к случаю периодических колебаний с постоянной составляющей. Оче-

видно, что в нелинейных системах наличие постоянной составляющей x (рис. 4.30, а) может существенно изменить форму периодического решения,

382

вследствие чего амплитуда и частота его окажутся зависимыми от величины x°.

Несимметричные колебания могут возникнуть либо за счет постоянно-

Эти же формулы гармонической линеаризации применяются и при не-

постоянной составляющей x°, если она медленно меняется по отношению к x Asin t , т. е. когда x°(t) содержит спектр частот, много меньших, чем .

383

В выражении (4.67) представлен общий случай нелинейности F(x,px).

Если же имеется однозначная нелинейность F(x), то коэффициенты гармони-

ческой линеаризации будут F°(x°, A), a(A, x°), а для двузначной нелинейности еще добавится один коэффициент b(A, x°). Но всегда сохраняется взаимо-

связь постоянной и колебательной составляющих, так как F° и коэффициен-

ты a и b зависят не только от x°, но и от A.

Наконец, при исследовании затухающих или расходящихся нелиней-

ных колебаний при слабом затухании, когда показатель затухания ξ мал,

можно сохранить прежние формулы гармонической линеаризации (4.57)- (4.69). Если же затухание колебаний в переходном процессе существенное,

то ξ не мало. Форма решения для симметричных затухающих (или расходя-

щихся) колебаний в таких случаях имеет, как известно /85/, вид

причем ξ и медленно меняются от периода к периоду (в линейных систе-

мах они постоянны), а амплитуда A меняется с любой конечной скоростью (ξ

не мало), вплоть до затухания всего процесса практически за один - два пе-

риода.

Согласно выражению (4.70) имеем

px A( cos sin ),

откуда, сохраняя символическую запись и имея в виду, что Asin x, полу-

чим

cos p x.

A

Результат разложения нелинейности F(x,px) в ряд Фурье с сохранением первой гармоники даст здесь вместо выражения (4.57) следующую формулу гармонической линеаризации:

причем коэффициенты гармонической линеаризации будут определяться со-

отношениями

Заметим, что для нелинейностей вида F(x) (как однозначных, так и пет-

левых) формулы (4.72) упрощаются:

т. е не отличаются от формул, полученных ранее для периодического процес-

са, причем формула (4.71) принимает вид

В более сложных системах следует поступать аналогично тому, как было рекомендовано для периодических процессов.

совпадающем с (4.57), что позволяет, в свою очередь, записать (4.55) в виде:

Полученное выражение определяет эквивалентный комплексный ко-

эффициент передачи (усиления) нелинейного элемента, представляющего собой отношение преобразованных по Фурье (или Лапласу, если определяет-

ся гармоническая передаточная функция) выходного сигнала к входному при нулевых начальных условиях.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи можно предста-

вить в показательной форме

мент эквивалентного комплексного коэффициента передачи.

Для большинства нелинейностей вида F(x) модуль и аргумент эквива-

лентного комплексного коэффициента передачи зависят только от амплиту-

ды A входного колебания и не зависят от частоты /86/, т.е. J(A, )= J(A) и

(A, )= (A). Зависимость модуля J(A, ) от амплитуды входного колебания можно объяснить зависимостью длительности выходных импульсов нели-

нейного элемента от амплитуды входного колебания (рис. 4.31, а): с увели-

чением A длительность импульсов увеличивается, а, следовательно, увеличи-

ваются амплитуда первой гармоники выходного колебания и модуль J(A, ).

Зависимость же аргумента (A, ) от A объясняется зависимостью рас-

Рис. 4.30. К понятию эквивалентного комплексного коэффициента передачи

386

положения середины выходных импульсов нелинейного элемента относи-

тельно фиксированных точек /2, З /2, ... на оси t. С увеличением A им-

пульсы перемещаются на оси t влево и сдвиг по фазе (запаздывание) (A, )

первой гармоники x (рис. 4.31,б) выходного колебания относительно входного колебания уменьшается.

Представляя комплексный коэффициент передачи линейной части (см.

рис. 4.29) в показательной форме

Откуда следует (с учетом того, что отрицательная обратная связь изме-

няет фазу сигнала на - , а амплитуда сохраняет свое значение при прохожде-

нии сигнала по всему контуру замкнутой системы)

Выражения (4.80) определяют условия гармонического баланса, пред-

ложенного Л.С. Гольдфарбом для исследования периодических режимов в нелинейных системах.

К уравнениям (4.80) можно придти и другим путем, если учесть, что

W ( j ) X ( j ) и J(A, j ) Y( j ) . Произведение W ( j ) J ( A , j ) 1 из которого

Y( j ) X ( j )

следует (4.80) с учетом (4.78) и (4.79).

4.4.2. Определение эквивалентного комплексного

коэффициента передачи нелинейных элементов

Рассмотрим вначале нелинейный элемент релейного типа (рис. 4.5, а), с

однозначной статической характеристикой, представленной выражением

(4.8).

387

Рис. 4.31. Определение эквивалентного комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента с однозначной статической характеристикой

При подаче на вход нелинейного элемента синусоидального колебания на (рис. 4.32, 6), на его выходе формируется последовательность прямо-

угольных импульсов (рис. 4.29, в) В соответствии с формулой (4.76) q(A, ) q(A) a(A);b(A) 0.

Согласно выражениям (4.73) и (4.76),

Из рис. 4.32, в, г видно, что на участке от 0 до t1 xвых= f(Asin t)= 0.

Следовательно, при определении q(A) интегрирование надо осуществлять только с момента t1. Поскольку выходная функция симметрична, то интег-

рирование можно выполнить в пределах от t1 до /2, а полученный резуль-

тат учетверить (рис. 4.32, г):

Из рис. 4.32, а, б замечаем, что значение t1 связано с половиной зоны нечувствительности а реле и амплитудой входного колебания выражением

a Asin t1=а, откуда sin t1 A.

388

Подставив полученное значение sin t1 в выражение для q(A) и учиты-

вая, что для однозначной нелинейности b(A)=0, получим

колебания нелинейного элемента совпадает по фазе с входным колебанием

(рис. 4.32, б, в).

Чтобы характеристики нелинейного элемента стали универсальными,

пригодными при любых значениях Φm и a, рационально Φm/a отнести к ли-

нейной части и ввести относительную амплитуду А/а:

нормированный эквивалентный комплексный коэффициент передачи нели-

нейного элемента.

Нормирующий множитель определяется из нелинейной характеристи-

ки (рис. 4.32, а) и для каждого нелинейного элемента имеет свое значение.

Зависимость же qн(A/a) от А/а для всех нелинейностей данного типа одна и та же.

При амплитудах A входного колебания, меньших зоны нечувствитель-

ности реле а (А/а < 1), выходной сигнал равен нулю. Следовательно, при зна-

чениях A от 0 до а q(А/а) = 0. При А/а> 1 отношение амплитуды A1 первой гармоники выходного колебания к амплитуде входного колебания A при уве-

личении A/а вначале растет, а затем при А → уменьшается, так как ампли-

туда A1 стремится к постоянной величине. Максимум qн(А/а), равный 0,637, 389

имеет место при A/a=1,41, в чем можно убедиться, если исследовать выраже-

ние (4.82) на экстремум.

Для идеального релейного элемента (а=0) значение q(А) легко получить из формулы (4.81):

Определение J(A) для нелинейных элементов с неоднозначной петле-

вой статической характеристикой рассмотрим на примере трехпозиционного релейного элемента (рис. 4.33, а). В выражении (4.76) для J(A) вещественная составляющая в соответствии с рис. 4.33, а, б

Рис. 4.32. К определению комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента с двухзначной (петлевой) характеристикой

На основании рис. 4.33, a можно записать

a

а=Asin t1 или sin t1 A,

390