3832

Тогда уравнение динамики системы (4.132) будет

Вследствие наличия постоянной правой части, возможно смещение центра колебаний x° даже при симметричной нелинейной характеристике.

Поэтому решение ищется в форме (4.66). Тогда уравнение (4.135) с учетом

(4.67) примет вид

Несмотря на разделение уравнений, между ними остается нелинейная взаимосвязь, так как величина F° в первом уравнении зависит от решения второго уравнения (A и - искомые амплитуда и частота переменной x*), а

коэффициенты a и b второго уравнения зависят от решения первого уравне-

ния x°.

Для решения второго уравнения (4.137) можно применить любой из способов, указанных выше для уравнения (4.120). Основным из них является подстановка λ=j в характеристическое уравнение

что после выделения вещественной и мнимой частей дает два уравнения:

X(A, ,x ) 0;

(4.138)

Y(A, ,x ) 0.

Их решение совместно с первым уравнением (4.137) определяет три искомые величины x°, A, в зависимости от параметров системы,

Итак видно, что амплитуда A и частота автоколебаний, вообще гово-

ря, будут зависеть от величины правой части уравнения М°, т. е. от величины

421

внешнего воздействия. Вместе с тем от нее может зависеть и само существо-

вание или отсутствие автоколебаний.

Если нелинейность F(x,px) не имеет нечетной симметрии, то постоян-

ная составляющая в решении может появиться и при отсутствии внешнего

воздействия (M° = 0). Тогда первое из уравнений (4.137) принимает вид

которое также решается совместно с уравнениями (4.138).

Итак, в результате решения уравнений (4.138) получаем амплитуду и частоту

A A(x ); (x ), (4.141)

выраженные через величину смещения x°. Если их подставить в выражение

F°(x°,A, ), вычисленное по формуле (4.67), то величина F° станет функцией одной переменной x0:

так называемая функция смещения. При этом первое из уравнений (4.137)

будет

Следовательно, Ф(x°) является новой нелинейной функцией, по кото-

рой определяется величина постоянной составляющей x°.

Функция Ф(х°) в уравнении (4.143) заменяет собой исходную нелиней-

ность F(x,px) при определении постоянной составляющей.

Другими словами, за счет прохождения через нелинейное звено коле-

баний x * A sin t нелинейность F(x,px) трансформируется для постоянной составляющей к виду Ф(х°).

При нечетно симметричных нелинейностях величина x°, определяемая уравнением (4.143), представляет собой статическое отклонение (ошибку) за

422

счет постоянного внешнего воздействия и нелинейно зависит от последнего.

В случае же отсутствия нечетной симметрии нелинейности согласно выра-

жению (4.139) или (4.140), где F (x ), статическое отклонение x° возника-

ет и без внешнего воздействия.

Заметим, что известный в теории нелинейных систем автоматического управления скользящий переходный процесс (см. 4.3.4) может быть исследо-

ван как особого вида несимметричные автоколебания с малой амплитудой и с переменной во времени составляющей (4.142), которую согласно формуле

(4.140) можно будет определить по уравнению (4.150).

Перейдем к процессам управления в автоколебательных системах. Бу-

дем считать внешнее воздействие f(t) (задающее или возмущающее, или то и другое вместе) в уравнении (4.132) медленно меняющимся по сравнению с

автоколебательной составляющей x * A s in t , т. е. спектр частот функ-

ции f(t) лежит ниже частоты автоколебаний . Сохраняя при этом формулу искомого решения в виде (4.66), естественно считать и величину x°(t) мед-

ленно меняющейся в том же смысле.

Тогда гармонически линеаризованное уравнение системы (4.136) будет содержать согласно формуле (4.132) в правой части S(p)f(p). В результате по-

сле разбиения этого уравнения на два вместо выражения (4.137) получим

Второе уравнение здесь совпадает со вторым уравнением системы

(4.137) и после подстановки λ=j в характеристическое уравнение оно при-

водится к тем же двум уравнениям (4.138), из которых определяются ампли-

туда A и частота автоколебаний в виде выражений (4.141) в зависимости от величины смещения x° и от параметров системы. Это, в свою очередь, позво-

ляет, используя формулу (4.68), определить функцию смещения (4.142).

423

Тогда уравнение (4.144) для медленно меняющейся составляющей x°(t)

будет

Решение этого уравнения и определяет процесс управления в нелиней-

ной системе при наличии автоколебательных вибраций.

Функция смещения Ф(х°), определяемая указанным выше способом,

имеет обычно вид плавной кривой даже для релейных характеристик F(x).

Поэтому для исследования процесса управления ее часто можно линеаризо-

Тогда уравнение (4.146) динамики процесса управления принимает вид

[A(p) knB(p)]x S(p) f (t). (4.149)

Однако, несмотря на обычный способ линеаризации уравнения (4.148),

оно сохраняет особенности нелинейной системы, так как коэффициент kn за-

висит от очертания функции смещения Ф(x°), а оно, в свою очередь, зависит от амплитуды и частоты автоколебаний, которые определяются структурой и параметрами системы. Поэтому коэффициент kn является сложной нелиней-

ной функцией других параметров системы (как нелинейной, так и линейной ее частей). Эту существенную особенность необходимо учитывать при выбо-

ре параметров системы по заданному качеству и точности процесса управле-

ния, определяемого линеаризованным уравнением (4.149). С учетом этой особенности можно, применяя обычные методы синтеза или выбора структу-

ры и параметров системы, разработанных в линейной теории, синтезировать систему управления фактически как нелинейную.

Весьма важно то, что в нелинейной системе различные составляющие проходят через нелинейное звено с существенно различными характеристи-

424

ками. Когда нет вибрационной составляющей, процесс управления проходит с нелинейной характеристикой F(x). При наличии же автоколебательных вибраций процесс управления проходит с другой нелинейной характеристи-

кой Ф(х°), которая имеет совсем другое очертание, чем F(x), и часто может быть линеаризована в виде выражений (4.147), (4.148). На этом основана, в

частности, широко применяемая на практике вибрационная линеаризация

(вибрационное сглаживание) нелинейных характеристик. Однако такое сгла-

живание нелинейной характеристики не всегда бывает полезным. Оно может изменить коэффициент усиления по полезному сигналу (по медленно ме-

няющейся составляющей) так, что качество процесса управления ухудшается иногда вплоть до потери устойчивости системы. В связи с этим возникает за-

дача борьбы с автоколебательными помехами, которая и решается изложен-

ным методом. В других же случаях автоколебания специально вводятся для улучшения процесса или же просто допускаются с определенными ограниче-

ниями ввиду их неизбежности по самой структуре системы.

Заметим, что медленно меняющаяся составляющая х°(t) может быть и колебательной, частота которой много ниже частоты автоколебаний .

Наконец, при отсутствии внешнего воздействия (после его снятия), ко-

гда вместо формулы (4.149) имеем уравнение

[A(p) knB(p)]x 0, (4.150)

х°(t) будет являться медленно меняющейся переходной составляющей в про-

цессе управления. Таким образом, можно исследовать качество переходных процессов любого очертания по основному сигналу управления х°(t) в авто-

колебательных системах.

Поскольку коэффициент kn, как уже указывалось, зависит от амплиту-

ды и частоты автоколебаний, то по уравнению (4.150) можно установить за-

висимость от них показателей качества переходного процесса и положения границы устойчивости системы по медленно меняющему сигналу.

425

4.6.5.Применение функций Ляпунова

кисследованию устойчивости нелинейных систем

Ранее (см. 2.6) уже давалось общее понятие устойчивости динамиче-

ской системы по Ляпунову.

В общем случае /38/ в нелинейных системах, в отличие от линейных,

устойчивость состояния равновесия не означает, что будут устойчивы и все процессы в системе, так как свойства нелинейной системы меняются с изме-

нением величин отклонений координат состояния. Наглядным примером мо-

жет служить наличие в системе второго порядка неустойчивого предельного цикла. В этом случае при устойчивом состоянии равновесия система оказы-

вается неустойчивой при больших начальных отклонениях (выходящих за границу предельного цикла), т. е. система устойчива «в малом» и неустойчи-

ва «в большом».

При определении понятия устойчивости рассматривались интеграль-

ные кривые (см. 2.6.1). Если же представить себе не интегральную кривую, а

фазовую траекторию в n-мерном пространстве для соответствующей системы уравнений, то в устойчивой системе, согласно определению, она будет иметь вид, изобра-

женный на рис. 4.46.

Напомним теоремы второго (прямого)

метода Ляпунова, которые гласят, что если для системы уравнений возмущенного дви-

жения существует знакоопределенная функ-

Рис. 4.45. Пример фазовой ция V(х), производная которой является зна-

траектории устойчивой системы

копостоянной противоположного знака, то решение системы x= 0 устойчиво и, кроме того, это решение будет устой-

чиво асимптотически, если существует знакоопределенная функция V(х),

производная которой является тоже знакоопределенной противоположного

426

знака. Приведем также, без доказательства, теорему Ляпунова о неустойчи-

вости: если для системы уравнений возмущенного движения существует ка-

кая-нибудь функция V(х), производная которой является знакоопределенной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала коорди-

нат, имеется область, в которой знак V(х) совпадает со знаком ее произ-

водной, то решение системы x= 0 неустойчиво.

Геометрическая иллюстрация теоремы для случая n = 2 на фазовой плоскости состоит в следующем. Пусть функция V(х) знакопеременная с ли-

ниями V= const, показанными на рис. 4.47, а ее производная положительно определенная. Видно, что при произвольных начальных условиях фазовая траектория попадает в область, где V(х)> 0, и будет удаляться от начала ко-

ординат.

Если же производная V(х) является отрица-

тельно определенной, то фазовая траектория уда-

ласть начальных условий δ :> 0, всегда найдется часть этой области, где V(х)> 0. Тогда функция V(х)с течением времени будет возрастать, т. е. V(х(t)) >

V(х(t0)) при t > t0. Поэтому в некоторый момент времени t1 значение функции

V(х(t1)) перейдет величину V(x ) и затем станет больше этой величины, а

вместе с этим будет и x(t) при t> t1 и при любом заданном ε > 0, что и го-

ворит о неустойчивости системы.

Перейдем теперь к изложению методики применения теорем Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных систем автоматического управ-

427

ления. Сделаем это для одного (достаточно широкого) класса систем с одной однозначной нелинейностью. Пусть система описывается следующими урав-

нениями в матричной форме:

где A - невырожденная матрица nxn коэффициентов, (detA≠0), x - век-

тор координат x= (x1, x2, . . ., xn), y, - скалярные координаты, B - матрица-

столбец коэффициентов b1, b2, ..., bn, r - коэффициент обратной связи, cT -

транспонированная матрица-столбец, т. е. матрица-строка, в соответствии с которой сTх = с1x1 + с2x2 + ... + сnхn.

Нелинейная функция F( ) может иметь произвольную нечетно-

симметричную форму, удовлетворяющую условиям

F(0) 0, F( ) 0 при 0. (4.153)

Применительно к реальным системам написанные уравнения можно расшифровать, например, следующим образом: уравнение (4.151) представ-

ляет собой уравнения динамики управляемого объекта, а выражения (4.152)

относятся к регулятору - уравнение нелинейного исполнительного устройст-

ва (привода) и уравнение измерительно-усилительного устройства и обрат-

ной связи привода.

Общий порядок системы n+1. В реальных системах измеряются не все координаты x1, x2, . . ., xn состояния объекта. Поэтому некоторые отдельные коэффициенты сi во втором уравнении (4.152) будут нулями. В реальных сис-

темах нулями будет являться и часть элементов матрицы А и столбца B.

Приведем заданную систему (4.151), (4.152) к каноническому виду пу-

тем замены переменных: z Ax By, cT ry.

Проделав это, получим систему уравнений

428

причем будем полагать, что матрица А приведена к диагональной форме.

Должно соблюдаться условие невырожденной общей матрицы системы

где Q — некоторая положительно определенная квадратичная форма n коор-

динат z. Интеграл в этом выражении тоже является, как легко проверить, по-

ложительно определенной функцией (n+1)-й координаты .

Составим производную функции Ляпунова (4.156) в силу уравнений системы (4.154):

zT (ATQ QA)z F( )(BTQz zTQB) F( )cT z rF2 ( ).

Матрица квадратичной формы Q является симметричной, т. е. QT= Q.

Поэтому можно сделать следующее преобразование:

BT Qz zT QB (BQ)T z (QB)T z 2(QB)T z.

Далее обозначим G= -(ATQ+QA) и покажем, что матрица G симметрич-

ная. В самом деле,

GT (AT Q QA)T (QT A AT QT ) (QA AT Q) G.

Итак, получаем

dV zTGz rF2( ) 2F( )(QB 1c)T .