3832

копостоянства управления. Результирующий фазовый портрет и искомая оптимальная траектория, соответствующая заданным начальным условиям, представлены на рис. 5.37, в.

Рис. 5.37. Фазовый портрет системы

На первом участке

x1(t ) x2 (t ), x2(t ) u*(t ) 1

откуда

При t =0 имеем x2(0)=C1= -4, x1(0)= C2=0, поэтому окончательно:

t2

x1(t ) 4t,x2(t ) t 4 2 .

Найдем время Т= 1+ 2, затрачиваемое на переход из точки x0=(0,-4)T в начало ко-

ординат. Здесь 1 – время движения с управлением u*(t)=1 до точки переключения, 2 –

время движения с управлением u*(t)=-1.

На втором участке

В конечный момент времени Т= 1+ 2 траектория должна попасть в начало коорди-

нат:

561

2 22,T 4 42 9,66

Если модель объекта управления описывается системой дифференциальных урав-

нений

где p – заданное действительное число, то методика решения задачи не изменяется. Опти-

мальное управление является кусочно-постоянной функцией, имеющей не более двух ин-

тервалов знакопостоянства: на одном интервале u(t)=1, а на другом u(t)=-1. Уравнения фа-

зовых траекторий при u(t)=const:

На рис. 5.38, а,б изображены соответствующие фазовые траектории, а на рис. 5.38,

в –результирующий фазовый портрет с оптимальными фазовыми траекториями.

Синтез программного управления линейными системами при

квадратичном функционале оптимизации /9/. Пусть система (5.180), опи-

сывающая поведение модели объекта управления, имеет вид (5.186), а функ-

ционал качества управления квадратичный:

Начальное условие x(t1)=x0 Rn задано и определяет начальное состоя-

ние; на управление ограничений не наложено, т.е. u U=Rq; t T=[t1,t2] – про-

межуток времени функционирования системы, моменты начала t1 и оконча-

ния t2 процесса заданы, правый конец траектории x(t2) свободен.

Очевидно, что для достижения минимума функционала (5.191) необхо-

димо найти пару, состоящую из оптимальной траектории x*(t) и управления

u*(t).

Сравнивая (5.186), (5.191) с (5.180), (5.175), можем записать

При отсутствии ограничений на управление можно применить необхо-

димые условия безусловного экстремума для определения максимума га-

мильтониана по управлению. Тогда

563

H(t, (t ),x(t ),u) BT (t ) (t ) Q(t )u 0

откуда определим оптимальное управление:

Найденное управление обеспечивает максимум функции H(t, ,x,u)

по управлению, так как удовлетворяются достаточные условия максимума

2 H(t, (t ),x(t ),u)

u2

Q(t ) 0

в силу положительной определенности матрицы Q(t). Это позволяет соста-

вить систему канонических уравнений (5.184) в виде:

Для получения недостающих краевых условий системы (5.194), вос-

пользуемся условиями трансверсальности (5.183). Так как t2 задано, а состоя-

ние x(t2) свободно, то t2=0, а x - произвольно.

Находим вариацию функции V3 ( x ) 1 xT x :

2

.

Тогда условие трансверсальности принимает вид:

В силу произвольности x: (t2)= - x(t2).

Полученный результат позволяет представить двухточечную краевую задачу принципа максимума в виде

Пример 5.11. Для модели объекта x(t ) x(t ) u(t ), x(0 ) x0 при квадратичном

оптимальную пару (x*( ), u*( )), на которой достигается минимум функционала.

Сравнивая постановку задачи с (5.186), (5.191), получаем: A(t) =-1; B(t) =1; S(t) =0;

Q(t) =1; =1; t1=0; t2 =1. Тогда система (5.195) имеет вид

5.5.5. Синтез оптимального управления систем с полной обратной

связью

Модель объекта управления описывается уравнением (5.180) при функционале качества управления вида (5.175) /9/.

Предполагается, что при управлении используется информация о те-

кущем времени t и векторе состояния x, момент начала процесса задан, а мо-

мент окончания определяется первым моментом достижения точкой (t,x(t))

некоторой поверхности , заданной соотношениями (5.181). На множестве допустимых процессов D(t1,x(t1)=x0) задан функционал (5.175). Обозначим

Q Rn+1 множество точек (t,x), из которых можно достигнуть терминального множества по некоторой траектории, соответствующей допустимому управлению; Q(t1) – сечение множества Q при фиксированном времени t=t1.

Начальное значение x(t1)=x0 заранее не задано и может быть произвольным в

565

множестве Q(t1).

Множество Uдоп управлений с полной обратной связью (позиционных управлений) образуют функции u(t,x):T Rn U, которые для любых началь-

ных состояний порождают соответствующие тройки d=(t1,x( ),u( )) D(t1,x0),

где программные управления u( ) Uдоп, а t T u(t)=u(t,x(t)).

Применяемое в каждый момент времени t T управление имеет вид управления с полной обратной связью по вектору состояния. (рис. 5.39), при-

чем предполагается, что текущее (апостериорное) и априорное информаци-

онное обеспечение высокое.

Требуется найти такую функцию u*(t,x) Uдоп, что

мент окончания процесса t2 задан, оптимальное управление синтезируется в виде пары d=(x( ),u( )) D(t1,x0), порождающей минимум функционала (5.175)

для любого начального состояния x0 из множества Rn.

Достаточным условием минимума функционала (5.175) в системе с

полной обратной связью является уравнение Беллмана (Гамильтона – Якоби

– Беллмана) для непрерывных детерминированных систем /104/

где

566

то u*(t,x) является оптимальным управлением с полной обратной связью. При этом минимальное значение функционала

Б (t2 ,x ) V3 (t2 ,x )

При этом минимальное значение функционала (5.175)

Таким образом, отыскание оптимального управления в системе с пол-

ной обратной связью сопряжено с решением уравнения Беллмана (5.197) при граничных условиях (5.198).

Несмотря на компактную форму функционального уравнения (5.197),

его решение в практических многомерных случаях сталкивается с непреодо-

567

лимыми трудностями. Для подтверждения сказанного, положим, что v –

управление, удовлетворяющее необходимому условию локального минимума гладкой функции, находящейся в квадратных скобках уравнения (5.197). То-

гда вместо (5.197) можно записать

Таким образом, получили систему нелинейных взаимосвязанных урав-

нений в частных производных. Только при решении этой системы уравнений с учетом условия (5.198) и последующим выражением v как функции x,t за-

дача синтеза оптимального управления в виде обратной связи может считать-

ся решенной.

В инженерных приложениях оптимальное управление с полной обрат-

ной связью можно рассматривать как временную последовательность ло-

кальных программных управлений, что позволяет использовать для синтеза принцип максимума.

Пример 5.12. Для модели объекта и минимизируемого функционала, приведенных в примере 5.11, требуется найти оптимальное управление u*(t,x) с обратной связью, пере-

водящей объект из любого начального состояния в начало координат за наименьшее вре-

мя.

В данном случае f1(t,x,u)=x2, f2(t,x,u)=u и L(t,x,u)=1, V3(t2,x) 0, x(t2)=(0 0)T.. Решает-

Так как все траектории должны попасть в точку x(t2)=(0 0)T при t= t2, то граничное условие определено только в этой точке.

2.Находим структуру оптимального управления из условия минимума выражения

вфигурных скобках

568