3832

где Y(s) (s) – передаточная функция замкнутой системы по управляю-

G(s)

щему воздействию, Y(s) f (s ) - передаточная функция замкнутой систе-

F(s )

мы по возмущающему воздействию, т.е.

С помощью полученных передаточных функций в теории автоматиче-

ского управления производится оценка показателей качества процессов регу-

лирования. Передаточные функции относительно ошибки получим, исклю-

чив из выражения (3.130) переменную Y(s), т.е.

замкнутой системы относительно ошибки по управляющему воздействию;

(s) f (s)- передаточная функция замкнутой системы относительно ошиб-

F(s)

ки по возмущающему воздействию.

Итак,

232

передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки по возму-

щающему воздействию.

Из выражений (3.135) и (3.139) видно, что для системы, изображенной на рис. 3.22, а:

f ( s ) f ( s )

По передаточным функциям (3.138) и (3.139) в теории автоматического управления производится оценка точности систем.

Передаточные функции (s) и f(s) для системы регулирования, рас-

четная схема которой представлена на рис. 3.22, б можно найти аналогично,

имея в виду, что в данном случае

Если из выражений (3.140) исключить переменные Y1(s) и Y(s), полу-

чим аналогично (3.137)

233

где W(s)= W1(s)W2(s)W3(s).

3.6. Построение частотных и логарифмических частотных характеристик линейных систем управления

В разделе 2.4.2 дано понятие частотных и логарифмических частотных характеристик непрерывных систем, указаны общие правила их построения и в разделе 3.1 приведены частотные характеристики типовых звеньев систем автоматического управления. Детализируем некоторые особенности по-

строения логарифмических частотных характеристик применительно к по-

следовательному соединению звеньев, имеющему большое значение в теории автоматического управления.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы представлена по-

следовательным соединением интегрирующих, m апериодических, l коле-

бательных и k дифференцирующих звеньев первого порядка в виде:

235

1

где K – общий коэффициент усиления системы, – собственная час-

q Tq

тота колебательного звена.

Так как аргумент W(j ) равен алгебраической сумме аргументов мно-

жителей, фазовая характеристика разомкнутой системы

Порядок построения асимптотических характеристик одноконтурной разомкнутой системы таков /10/.

Сначала строится логарифмическая амплитудная характеристика:

Вычисляют сопрягающие частоты и наносят их на оси частот.

Вычисляют ординату при частоте = 1, которая равна 20lgK.

Через эту ординату проводят низкочастотную часть характеристики

(при < 1), с наклоном -20 дБ/дек, где – порядок астатизма системы, до первой сопряженной частоты 1.

В точке 1 изменяют наклон характеристики в соответствии с тем ка-

кому звену эта сопрягающая принадлежит, затем также поступают при со-

прягающей частоте 2 и т. д. Например, при инерционном звене наклон из-

меняют на -20 дБ/дек, при колебательном звене – на -40 дБ/дек, при диффе-

ренцирующем звене (первого порядка) на +20 дБ/дек и т. д.

Пользуясь кривой поправок (рис. 3.12), уточняют форму логарифмиче-

ской амплитудной характеристики.

По формуле (3.156) определяются наиболее важные точки фазовой ха236

рактеристики системы.

Пример 3.1. Построим логарифмическую амплитудную (асимптотическую) частот-

ную характеристику системы с передаточной функцией

50(0,2s 1)

W( j )

s(0.5s 1)(0.08s 1)2(0.005s 1) .

Следуя порядку, указанному выше, вычисляем сопрягающие частоты, начиная с той, ко-

торая обратна наибольшей из постоянных времени

ческой характеристики увеличивается еще на -20 дБ/дек, так как сопрягающая частота со-

дБ/дек, продолжается до сопрягающей частоты 2=5, соответствующей дифференци-

рующему звену (0,2s+ 1).

Здесь наклон логарифмической характеристики изменяется на +20 дБ/дек и стано-

вится равным опять -20 дБ/дек. Проводим прямую до сопрягающей частоты 3 = 12,5, со-

чиваем наклон характеристики на 2 (-20) = -40 дБ/дек.

Далее логарифмическая характеристика продолжается с наклоном -60 дБ/дек до последней сопрягающей частоты 4 =200, которая соответствует инерционному звену

237

1

0.005s 1

. При 4 =200 наклон характеристики возрастает еще на -20 дБ/дек, становясь

равным -80 дБ/дек.

Таким образом, получаем всю логарифмическую амплитудную характеристику данной одноконтурной системы. Форму ее нетрудно уточнить, уменьшив ординаты ее при сопряженных частотах 1 = 2; 4 = 200 на 3 дБ при 3 = 12,5 на 6 дБ и увеличив ордина-

ту при сопрягающей частоте 2 = 5 на 3 дБ.

Практически это сводится к сглаживанию углов асимптотической характеристики,

в чем в конкретном случае нет большой необходимости.

Легко видеть, что логарифмическая амплитудная характеристика (рис. 3.23) могла быть также получена сложением асимптотических логарифмических характеристик от-

дельных звеньев системы: интегрирующего, четырех инерционных и одного дифференци-

рующего.

3.7. Критерии устойчивости линейных

систем автоматического управления

Наряду с изложенным в разделе 2.6 подходом к анализу устойчивости линейных автономных систем используется и другие способы, связанные с анализом корней характеристического уравнения системы, позволяющие су-

дить о ее устойчивости без решения дифференциальных уравнений.

Характеристическое уравнение n-го порядка запишем в виде:

Докажем вначале, что для устойчивой системы корни характеристиче-

ского уравнения (3.158) должны располагаться в левой полуплоскости ком-

плексной переменной .

Для доказательства воспользуемся результатами, изложенными в раз-

деле 2.3.2, приняв входное воздействие в виде -импульса. Выходной реак-

цией системы в этом случае будет импульсная переходная функция, или функция веса, которую, в соответствии с (2.144), можно представить в виде

238

Обозначим через k, j k соответственно действительную и мнимую

части корня k характеристического уравнения. Пусть 1 наибольшее из чи-

сел k (k=1,2,…, n). Тогда k- 1 0. Представим весовую функцию системы формулой /4/

а - произвольно малое положительное число. Так как показательные функ-

ции в (t- ) все по модулю меньше единицы, то

где с – некоторая постоянная.

Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, то весовая функция системы представляет собой линейную комбинацию произведений показательных функций на полиномы. Обозначая и в этом случае через 1

наибольшую из действительных частей корней характеристического уравне-

ния, выразим весовую функцию системы формулой (3.160). При этом функ-

ция (t- ) будет представлять собой сумму произведений полиномов на пока-

зательные функции с отрицательными действительными частями показате-

лей и, следовательно, будет непрерывной ограниченной функцией. Таким образом, весовая функция стационарной линейной системы, поведение кото-

рой описывается дифференциальным уравнением, всегда может быть выра-

жена формулой (3.160), где – произвольно малое положительное число, а

функция (t- ) непрерывна и ограничена.

На основании (3.160) имеем

239

Пользуясь теоремой о среднем и выполняя интегрирование, получим

шей, чем | 1|, чтобы выполнялось условие 1 + < 0. Тогда интеграл (3.161)

Для исследования случая 1 0 положим = 0. В этом случае функция

( ) стремится к постоянной при , если характеристическое уравнение не имеет ни одного кратного корня с действительной частью 1, и неограни-

ченно возрастает при , если характеристическое уравнение имеет крат-

ные корни с действительной частью 1. Следовательно, при = 0 величина

( ) в формуле (3.161) не может неограниченно убывать при t . Но в

cp

таком случае из формулы (3.161) при = 0 следует, что при любом 1 0 ин-

теграл от абсолютной величины весовой функции системы неограниченно возрастает при t .

Таким образом, мы доказали, что стационарная линейная система, по-

ведение которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнени-

ем, устойчива тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части k 1<0 (k = 1, . . ., n). Иными словами, стационарная линейная система устойчива тогда и толь-

ко тогда, когда все полюсы ее передаточной функции лежат в левой полу-

плоскости комплексной переменной .

Докажем также /4/, что для того, чтобы полином (3.158) имел только корни с отрицательными действительными частями, необходимо, чтобы все

240