3832

(при необходимости индекс k может принимать и отрицательные значения).

Вектор состояния в момент времени tk. в общем случае обозначается

В наиболее типичном случае интервал последовательности (2.98) по-

стоянен: tk-tk1= =const, и одинаков для всех компонент вектора состояния. В

этом случае при t0 = 0 величина tk в (2.99) равна k . Однако цифровые управ-

ляющие вычислительные системы часто работают с различными интервала-

ми повторения для различных групп переменных (быстроменяющихся, мед-

ленноменяющихся). В этом случае структура пространства состояний с дис-

кретным временем усложняется (пространство разделяется на субпростран-

ства).

Евклидово пространство состояний конечномерной системы с дискрет-

ным временем не отличается от предыдущего. Однако перемещение изобра-

жающей точки происходит скачками, и вектор состояния x[k] = х(tk) опреде-

лен лишь в дискретные моменты времени (2.98). Соответствующая иллюст-

рация для трехмерного случая приведена на рис. 2.13, б.

Встречаются такие случаи, когда последовательность (2.98) является случайной. Помимо дискретности по времени может иметь место дискрет-

ность (квантование) по уровню. Это особенно характерно для систем управ-

ления с микропроцессорами, имеющими небольшое число разрядов. Все это определяет большое число вариантов пространств состояний и процессов в них.

При векторном описании процессов получаемые модели пространства состояний называют моделями «вход-состояние-выход» (рис. 2.2). При этом

/2/ переменные состояния представляют собой набор внутренних перемен-

ных, который является полным набором в том смысле, что если эти перемен-

ные известны в некоторое время, то любой выход объекта y(t) может быть вычислен для любого последующего времени как функция от переменных

состояния, а также настоящих и будущих значений входов. Если мы обозна111

чим через х вектор, соответствующий конкретному выбору переменных со-

стояния, то общая форма модели в переменных состояния при входном

(управляющем) векторе u U и векторе выхода (наблюдения) y Y:

y(t ) g( x(t ),u(t ),t )

для непрерывных систем, или

для систем с дискретным временем, где f, fd, g, gd – функции, зависящие от координат состояния и управления.

Тот факт, что описание пространства состояний задается векторным дифференциальным уравнением первого порядка (первое уравнение системы

(2.100)) часто облегчает численные решения различных задач управления.

Это особенно верно в линейном случае, где существенные усилия были по-

священы мощным цифровым методам решения этих задач управления. Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции. При этом говорят, что система инвариантна по времени (стационарна), если реакция на сдвинутый по времени вход просто является сдвинутой по времени исходной реакцией

(см. п. 1.4.3).

В линейном, стационарном случае, векторные уравнения (2.100) можно представить в виде

где А, В, С и D – матрицы соответствующих размерностей.

Для дискретных систем можно также ввести дискретные модели про-

странства состояний /2/. Пусть x[n] в (2.63) имеет вид

x[n] bm mu[n] bm 1 m 1u[n] b0u[n] .

112

Тогда, по аналогии с (2.102) можно записать

где x[n], u[n] и y[n] – последовательности состояния, входа и выхода соот-

ветственно.

Проиллюстрируем построение модели пространства состояний на при-

мере электрической цепи.

Пример 2.3. Рассмотрим простую электриче-

скую цепь, показанную на рис. 2.14.

Предположим, что в качестве выходной координаты рассматривается падение напря-

жения v(t) на резисторе R2.

Рис. 2.14. Электрическая цепь

Применяя основные законы электриче-

Эти уравнения могут быть преобразованы в следующие:

Уравнения (2.104) имеют форму векторных уравнений (2.100), если в качестве пе-

ременных состояния выбрать х1(t) =i(t) и x2(t) = v(t), т. е. вектор состояния имеет вид х(t) = [х1(t) х2(t)]T.Уравнение, соответствующее второму уравнению (2.100), дает ничто иное, как

у(t) = v(t)=x2(t).

Итак, уравнения (2.104) представляют собой линейную модель пространства со-

стояний, одну из форм уравнений (2.103), с матрицами

113

2.2.7. Линеаризация и передаточные функции моделей

«вход-состояние-выход»

Пусть уравнения состояния и выхода заданы системой (2.100), а {xQ(t), uQ(t), yQ(t); t } – множество траекторий, которые удовлетворяют этим

уравнениям.

Пусть также xQ(t0) дано, а траектория {xQ(t), uQ(t), yQ(t); t } может со-

ответствовать точке равновесия модели в пространстве состояний. В этом

случае xQ, uQ, yQ и, следовательно, из первого уравнения (2.100) имеем:

Пусть теперь мы хотим описать траекторию {x(t), u(t), y(t); t }, близ-

кую к траектории {xQ(t), uQ(t), yQ(t); t }. В этом случае, как и ранее (см. 2.2.1) для аппроксимации модели мы используем первые члены разложения в ряд Тейлора. Это приближение дает /6/:

щую в качестве ij-го элемента fi . Заметим, что производные вычислены для

xj

номинальной траектории. В случае фиксированной точки равновесия, эти матрицы производных будут матрицами констант.

Уравнения (2.100) имеют следующую форму:

где

114

Передаточная функция может быть записана иначе /7/, если учесть, что

(sI ) 1 (sI ) / A( s ), (2.115)

где (sI- )* – присоединенная матрица; A(s)=det(sI- ) – определитель харак-

теристической матрицы (характеристический полином системы дифференци-

альных уравнений или уравнения (2.22)).

С учетом (2.115) передаточная функция запишется в виде

Элементами присоединенной матрицы (sI- )* являются алгебраические дополнения элементов характеристической матрицы (sI- ), т.е. полиномы.

Их степени не могут превосходить (n-1), где n – порядок характеристическо-

го полинома системы. В случае одномерной системы при D=d, где d скаляр

обхода, из (2.76) имеем

Из последнего выражения следует, что степень m=degB полинома чис-

лителя не может быть выше степени n=degA полинома знаменателя и равна ей только при D 0. Это ограничивает возможности описания динамических систем в нормальной форме пространства состояний (m n). Однако, чаще всего m<n и D =0.

Пример 2.4. Перевернутый маятник /2/. Эта задача ин-

тересна с точки зрения управления, тем, что она иллюстри-

рует многие из трудностей, связанных с реальными задачами управления, особенно неустойчивыми объектами. Схема ти-

пичной системы, с перевернутым маятником показана на рис. 2.15.

На рис. 2.15 обозначено: у(t) —расстояние от опорной

Рис. 2.15. Перевернутый

маятник точки; (t) – угол маятника; f(t) —силы, приложенные к маятнику. Кроме того, используются обозначения: М – масса

116

ладает оператором (или множеством операторов), и выходной сигнал y(t)

(при дискретном времени y[k]) в случае доступности его измерения может быть определен экспериментально. Одновременно может быть измерен входной сигнал х(t) (или x[k]), откликом на который является выходной сиг-

нал. В силу физического принципа причинности оператор динамической сис-

темы (при нулевых начальных условиях) обладает следующим свойством:

для непрерывной системы y(t) зависит лишь от х(t), где t t; для дискретной системы y[k] зависит лишь от x[k'] , где k' k. Рассмотрим способы описания систем в пространстве состояний по известному аналитическому или чис-

ленному (графическому) операторному описанию.

Пусть известна физически реализуемая (m<n) передаточная функция с постоянными коэффициентами в виде (2.30) /32/. Если исключить случаи так называемых сокращающихся нулей и полюсов, передаточная функция (2.30)

однозначно соответствует, обыкновенному дифференциальному уравнению

(2.22).

Вводя обозначения

y y1 , y y2 , ......, y( n 1 ) yn ,

Из (2.22) получаем следующее описание в пространстве состояний (y1(t),

y2(t),…., yn(t)) n:

118

Уравнения с матрицей (2.124) называют уравнениями в форме Фробе-

ниуса. Часто измерению доступна лишь величина x, а величины ее производ-

ных могут быть лишь оценены на основе того или иного алгоритма. В этих случаях использование выражения (2.122) оказывается неудобным.

Запишем другие уравнения в пространстве состояний, эквивалентные в смысле передаточной функции (2.30). Введем систему уравнений /4/

y y1 0 x,

где координаты (y1(t), y2(t),…., yn(t)) отличны от рассмотренных в (2.122).

Приводя систему (2.126) к виду (2.22) и приравнивая в полученном уравнении коэффициенты при производных x к соответствующим коэффици-

ентам правой части (2.22), после разрешения полученной системы алгебраи-

ческих уравнений определим связь между величинами I и коэффициентами передаточной функции (2.30) в виде:

Итак, получаем второе описание системы с оператором (2.30) в про-

странстве состояний

119

Еще одно представление в пространстве состояний можно получить путем разложения передаточной функции (2.30) на элементарные дроби. Ес-

(собственные числа матрицы А) простые и равны 1 2 … n, то (2.30) можно записать в виде

и, следовательно, справедлива следующая система дифференциальных урав-

нений

y 1 y1 x,

y1 2 y2 x,

где сi – произвольные постоянные. Тогда в данном пространстве состояний система описывается векторным уравнением в форме (2.128) при

120