3832

2.5. Наблюдаемость, идентифицируемость и управляемость

систем

Прежде чем синтезировать алгоритмы управления тем или иным объ-

ектом, целесообразно определить свойства системы, которые принято назы-

вать наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адапти-

руемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не де-

лают различий, а адаптируемость рассматривают как частный случай управ-

ляемости /32/.

2.5.1. Наблюдаемость и идентифицируемость

Измерение, наблюдение является необходимой составной частью управления. Связь управления с информацией, получаемой посредством из-

мерения, является органической и может быть положена в основу определе-

ния понятия управления.

При автоматическом управлении предполагается, что наблюдение со-

провождается измерением координат, параметров, и в понятия «наблюде-

ние», «измерение» вкладывается практически одинаковый смысл. В даль-

нейшем в основном будет применяться термин «наблюдение». В отчие от тождественности понятий «наблюдение» и «измерение», понятия наблюдае-

мость и измеримость имеют, вообще говоря, различное содержание в тео-

рии автоматического управления. Под измеримостью понимается возмож-

ность непосредственного измерения той или иной физической величины (не-

посредственная наблюдаемость). Под наблюдаемостью понимается допол-

няющая измерение некоторых величин возможность косвенного определения других на основе априорной информации («восстановление» величин).

В теории управления под наблюдаемостью понимается возможность косвенных измерений в расширенном, например, по сравнению с традицион-

ной метрологией, смысле.

161

Можно рассматривать наблюдаемость как в пространстве состояний так и в пространстве сигналов. Однако компоненты вектора сигналов чаще всего выбираются измеримыми, так что в пространстве сигналов обычно имеет место непосредственная наблюдаемость.

В постановках задачи наблюдаемости в пространстве состояний гово-

рят о полной наблюдаемости, если возможно определение (восстановление)

полного вектора состояния. Соответствующая система называется вполне на-

блюдаемой. Если же существует возможность восстановления лишь подмно-

жества части компонент вектора состояния, другая же часть не может быть определена в заданных условиях, то имеет место неполная наблюдаемость, а

система называется не вполне наблюдаемой.

В общем случае, размерность наблюдаемого выхода у может быть меньше, чем размерность состояния х. Однако, если наблюдать выход через некоторые конечные интервалы времени, то можно получить некоторую ин-

формацию относительно всего состояния. Связанные с этим свойства иногда называют реконструируемостью /2/ и используется в дискретных системах.

Реконструируемостъ связана с вопросом, что можно сказать относительно

х(Т) на основе предыдущих значений выхода, т. е. у[k] для 0 k Т. Для ли-

нейных стационарных непрерывных систем различие между наблюдаемо-

стью и реконструируемостъю несущественно. Однако для дискретного вре-

мени эти две концепции различны. Рассмотрим систему

Ясно, что эта система реконструируема для всех Т 1, потому что мы знаем наверняка, что х[Т] = 0 для Т 1. Однако она не вполне наблюдаема,

потому что у[k] = 0 k; независимо от значения x0.

Итак, уже на первых этапах определения базовых свойств объекта или системы возникает некоторая терминологическая неопределенность, выра-

женная в многообразии определений, акцентирующих ту или иную сторону

162

явления. Очевидна непродуктивность подобного подхода при изучении тео-

рии автоматического управления и, поэтому, в дальнейшем используется термин «наблюдаемость», включающий и понятия «измеримость» и «рекон-

струируемость».

Изучение наблюдаемости, как и других свойств систем, нуждается в критериях, условиях, которые позволяли бы судить о наблюдаемости на ос-

нове некоторых правил, оперирующих априорной информацией (заданными условиями). Эти критерии и составляют основное содержание теории наблю-

даемости. Приведем без доказательств следующее, справедливое для моделей с непрерывным и дискретным временем, необходимое и достаточное условие полной наблюдательности Калмана для модели пространства состояний /2, 32/. Система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда матрица на-

блюдаемости 0 C,A имеет столбцевой ранг, равный п, т.е.

Пример 2.7. Нужно повторить решение для модели

Частным случаем наблюдаемости является идентифицируемость, по крайней мере параметрическая. Параметрическая идентифицируемость пред-

ставляет собой возможность определения параметров математической моде-

ли системы или процесса по результатам измерения определенных выходных величин в течение некоторого интервала времена. Параметры, вектор кото-

рых обозначим через а, отличаются от координат (вектор х) скоростью изме-

нения. Параметры, как правило, считаются медленно изменяющимися вели-

чинами, а в идеальном случае постоянными.

Формально, условие идентифицируести не отличается от (2.245) в ко-

тором ранг матрицы принимается равным размерности na вектора а.

2.5.2. Управляемость систем

Понятие управляемости характеризует возможность перевода (перехо-

да) системы из одного состояния в другое посредством управления. Управ-

ляемость обычно рассматривают по отношению к детерминированным сис-

темам. Может использоваться целая группа разновидностей этого понятия (с

переходом из одной произвольной точки фазового пространства в произ-

вольную другую, из малой области в большую или, наоборот, из одной фик-

сированной точки в другую). В рамках общей теории динамическая система называется вполне управляемой (для своего пространства состояний) тогда и только тогда, когда для любого начального состояния x0 и любого конечного состояния x(t) существует управляющая траектория ut такая, что

164

где H(…) – оператор, описывающий изменение состояния системы.

Рассмотрим условия управляемости для линейной системы

которая называется полностью управляемой, если может быть переведена из любого произвольного начального состояния x0 в заданное состояние x за конечное время (конечное число шагов), а матрица управляемости

c A,B R имеет максимальный строчный ранг

rank R rank B AB A2B An 1B n.

Множество всех управляемых состояний совпадает с пространством значе-

ний матрицы управляемости R B AB ...An 1B .

Пусть задано начальное состояние x[0]=x0, тогда состояние системы в мо-

мент k=n, где n – порядок уравнения, определяется следующим образом:

равен n (n – размерность xk), то можно получить n уравнений, решением ко-

торых будет управляющий сигнал, под воздействием которого объект перей-

дет из начального в желаемое конечное. Для объекта с одним управляющим входом r=1 (B – вектор) такая последовательность определяется однозначно,

R B AB ,...,An 1B .

Рассмотрим пример определения управляемости движением матери-

альной точки в непрерывном и дискретном времени. Исходное дифференци-

альное уравнение имеет вид

где x1(t) – координата; x2(t) – скорость движения точки. Уравнение u(t) задает изменение ускорения движения. Матрица R определяется в виде

и имеет ранг, равный двум. Это значит, что подобная система управляема.

Для описания управления в дискретном времени можно использовать разностное уравнение вида

Аналогично

Такая система также управляема, причем достижение любого конечного со-

стояния осуществляется за два шага.

2.6.Устойчивость систем автоматического управления

Одной из основных задач теории автоматического регулирования явля-

ется изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать вполне определенные режимы работы объектов регулирования вне зависимости от действующих на них возмущающих воздействий. Это может быть получено лишь в системах автоматического регулирования, об-

166

ладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям.

2.6.1.Общие положения устойчивости

Впроцессе работы системы автоматического управления подвергаются различным возмущающим воздействиям, которые выводят систему из уста-

новившегося режима, из состояния равновесия и отклоняют регулируемую величину от заданного значения. Управляющее устройство, или, в более про-

стом случае стабилизации, регулятор, стремятся привести управляемую (ре-

гулируемую) величину к заданному значению. Переход системы из одного состояния в другое вследствие наличия масс, емкостей и т.п. не может про-

изойти мгновенно. В результате возмущающих воздействий и следующих за ними восстанавливающих воздействий в системе возникают переходные процессы.

Рассмотрим три основных случая, возникающих в системах регулиро-

вания в результате внешнего воздействия.

1. Регулируемая величина, которая в результате возмущающих воздей-

ствий отклонилась от заданного значения, с течением времени под воздейст-

вием регулятора возвращается к заданному значению с точностью, отвечаю-

щей статической погрешности регулятора. Такой переходный процесс назы-

вается сходящимся, а система регулирования - устойчивой.

2. Регулируемая величина, которая в результате, возмущающих воздей-

ствий отклонилась от заданного значения, с течением времени под воздейст-

вием регулятора не приближается, а теоретически беспредельно удаляется от заданного значения апериодически или с колебаниями, амплитуда которых непрерывно возрастает. Такой переходный процесс называется расходящим-

ся, а система регулирования – неустойчивой.

3. Регулируемая величина, которая в результате возмущающих воздей-

ствий отклонилась от заданного значения, с течением времени под воздейст-

вием регулятора к установившемуся значению не возвращается, а совершает

167

незатухающие колебания с амплитудой, зависящей от начальных условий.

Такой переходный процесс называется колебательным, а линейная система регулирования - находящейся на границе устойчивости.

В нелинейных системах могут возникать устойчивые колебания посто-

янной амплитуды, к которым система возвращается после снятия любого возмущающего воздействия. Такие системы рассматривают как имеющие ус-

тойчивые автоколебания.

Чтобы определить, устойчиво ли равновесие какой-нибудь статической системы, изучают поведение этой системы при малых отклонениях от поло-

жения равновесия.

Например, для того, чтобы определить устойчивость шара в положении А (рис. 2.24), можно задать ему малое отклонение и рассмотреть действие возникающих при этом сил. При любом малом отклонении шара от положе-

ния А возникают силы, возвращающие его в первоначальное положение, и,

следовательно, это положение равновесия устойчиво.

При малом отклонении шара от положения равновесия в точке В (см.

рис. 2.24) возникают силы, продол-

жающие отклонять шар от положения равновесия, которое в данном случае

Рис. 2.24. Различные виды равновесия является неустойчивым.

Шар, расположенный на горизонтальной плоскости в точке С, находит-

ся в безразличном равновесии (нейтральная устойчивость), так как при от-

клонениях его от точки С никакие дополнительные силы не возникают.

Шар, расположенный в точке D, находится в полуустойчивом равнове-

сии.

Устойчивость системы при бесконечно малых отклонениях называется

устойчивостью в малом. Во многих практических задачах системы, устойчи-

вые в малом, оказываются устойчивыми и при конечных, достаточно боль168

ших отклонениях, т. е. система оказывается устойчивой в большом. Но встречаются и такие примеры, когда системы, устойчивые в малом, оказыва-

ются неустойчивыми в большом.

На рис. 2.24 шар, расположенный в точке А, не теряет устойчивости до тех пор, пока отклонения не переходят за точку В.

Система устойчива в малом, но в большом она устойчива лишь в огра-

ниченной области.

При исследовании систем автоматического регулирования обычно рас-

сматривают устойчивость в малом, т. е. поведение системы при малых от-

клонениях регулируемой величины от установившегося значения.

В линейных системах устойчивость в малом обеспечивает устойчи-

вость и в большом.

Нелинейная система, устойчивая в малом, может оказаться неустойчи-

вой в большом, и поэтому методы исследования устойчивости нелинейных систем существенно отличаются от методов исследования линейных систем.

В настоящем разделе рассматриваются линейные системы и линеари-

зованные. Известный русский ученый А. М. Ляпунов показал, что исследова-

ние устойчивости в малом с помощью линеаризованных уравнений дает точ-

ное решение задачи.

2.6.2. Устойчивость линейных стационарных систем

Рассмотренное в разделе 2.6.1 поведение системы автоматического управления определяет ее поведение, когда входной сигнал не равен нулю.

Вместе с тем, понятие устойчивости характеризует систему и при отсутствии входного воздействия, т.е. присуще и автономным системам. В таких систе-

мах единственным положением равновесия будет начало координат, если выполняются следующие два условия: характеристическое уравнение систе-

мы не имеет полюсов с нулевой действительной частью, а входной сигнал равен нулю.

169

Тогда можно дать два эквивалентных условия устойчивости (неустой-

чивости) начала координат системы:

1. Система устойчива (неустойчива) при отсутствии входного сигнала,

если при произвольных начальных условиях фазовые траектории стремятся к началу координат (уходят в бесконечность).

2. Система устойчива (неустойчива) при ограниченном входном сигна-

ле, если выходной сигнал ограничен (не ограничен).

Первое условие определяет поведение автономной (свободной) систе-

мы в переходном процессе; второе – поведение системы, когда входной сиг-

нал не равен нулю (см. 2.6.1).

Таким образом, устойчивость рассматривается как свойство свободно-

го движения системы после начального отклонения ее, вызванного любыми причинами. Оба условия устойчивости эквивалентны для линейных стацио-

нарных систем, Данное определение является физическим. Перейдем теперь к общей математической постановке задачи устойчивости.

Запишем в соответствии с /38/ уравнения динамики системы n-го по-

рядка при отсутствии возмущающих воздействий в общем, нелинейном виде в нормальной форме Коши:

системы, или, как говорят, невозмущенное движение. Отклонение возмущен-

ного движения yi(t) определяемого уравнениями (2.248) при определенных начальных условиях yi(t0), обозначим через xi(t), т. е.