- •ЧАСТЬ 1
- •Список литературы
- •4.3. ПОЛУЧЕНИЕ
- •вр Ed (р — ар) + уарг) + E0NV '
- •Список литературы
- •Список литературы
- •7.2. ОБРАЗЦЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ
- •7.4. СДВИГ
- •8.1. Расчетные зависимости для постоянных упругости однонаправленного материала (монослоя)
- •8.2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ
- •многослойных композитов
- •ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ
- •состоянии
- •8.4. ИЗГИБ МНОГОСЛОЙНЫХ
- •композитов
- •Шсшгьш-
- •[Фасу] = 1.] [ф°] [7\]т; (8.101)
- •Список литературы
- •9.1. КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
- •9.2. СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
- •9.5. Приближенные зависимости для расчета упругих характеристик композита с противофазным искривлением волокон
- •9.6. ЧЕТЫРЕХНАПРАВЛЕННЫЕ КОМПОЗИТЫ (4Д)
- •ЧАСТЬ 2
- •1.1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
- •Список литературы
- •2.1. КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ
- •2.2. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
- •2.4. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
- •Список литературы
- •4.1. СТАТИКА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
- •Му == ^1я8да 4“ &22®у 4~ CiaKx4“ ^ааКу!
- •в.З. АНИЗОТРОПНЫЕ ДИСКИ
- •6.3. Влияние начальных термических напряжений на удельные энергоемкости дисков, образованных намоткой композитов
- •6.4. ХОРДОВЫЕ МАХОВИКИ
- •Список литературы
- •ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
- •8.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
- •Список литературы
- •« РЕКЛАМА»
- •« РЕКЛАМА»
8.1. Расчетные зависимости для постоянных упругости однонаправленного материала (монослоя)
аa x
*ИH
g g s
0 5 и Soft
El
Ei
vj*
Gu
£?i
822
8h
88в
4
4
s? 2
4
Расчетные эавнснмоотн для постоянных, выраженных через
технические
постоянные
Ei
Ei
Vlt
Gu
Ei
1 — VJJV,,!
El
1— ViaV21 vn Ei
1— Vi2vn
Gu
1
1
Via
компоненты матрацы жесткости
gj2
gSe
g?i
8?2
8?2
s8в
£ § 2
£?I£ ? 2 (£?г) 2
g?i
4 ^ 2 — fe?2> 2
r f 2
8^1822 — (#?г) 2
компоненты матрицы податливости
1
s?l
1
4
4
4
1
4
4
4 4 |
( 4 ) 2 |
4
4 4 — ( 4 ) 2
4
4 4 - ( 4 ) 2
4
4
4
1 |
|
1 |
4 |
|
G1 |
2 |
88e |
||
|
где матрицы преобразования |
напря |
Здесь обозначено s = |
|
sin 0, c = |
cos 0. |
||||||
жений [Гх] и деформаций |
[Га] имеют |
Обратные (8.5) и (8 .6) преобразования |
|||||||||
вид |
“ C2 |
sa |
— 2sc |
|
напряжений и |
деформаций опреде |
|||||
|
|
ляются соотношениями |
|
|
|||||||
[7\] = |
sa |
c2 |
2sc |
|
.{oia} = |
[Гх] " |
1 |
{аху}\ |
(8.8) |
||
|
_ sc |
— sc |
ca — sa |
_ |
{е12} = |
[Т'а] ” |
1 {е*р}» |
(8.9) |
|||
|
|
|
|
|
|
где |
с2 |
s2 |
2sc |
|
|
“ |
С2 |
S2 |
— SC |
“I |
|
" |
|
||||
IT2] = |
s2 |
с* |
sc |
I |
(8.7) |
[Гх]“1 = |
sa |
с* |
— 2sc |
|
|
_ 2sc |
—2 sc |
d* — s1 J |
|
—sc |
sc |
C2 — S'* |
|
||||
d2 |
s2 |
sc |
sa |
c3 |
— sc |
•2sc |
2sc |
c3 — s5 |
(8. 10)
Справедливы следующие тождества:
[T ip = [Т2]т ; [Га)~1 = [Га]т ; ' |
||
([ТхР)т = |
[Та]; ([Тар ) т = |
[Г1]; |
[TJ- 1 = [Тг (— 0)); [ Т а]-1 = |
||
= |
[Та(- 0 )Ь |
(8. 11) |
|
|
|
Из .(8.1), (8.2), (8.5), (8.6) следуют |
||
соотношения, |
связывающие |
напря |
жения и деформации в монослое в про извольной системе координат (,х , у):
{8ху} == [^ху] {^ху} + {а ху} & Т \ |
(8.12) |
{аху}=[ад{еху}-{рхг,}АГ. |
(8.13) |
Матрицу податливости монослоя |
|
[Sx y ], матрицу жесткости |
lGx y ] f |
а также матрицу-столбец термических коэффициентов линейного расшире
ния {а ху} и матрицу-столбец коэффи циентов термических напряжений мож но записать в следующем виде:
[З,,] = |
[Г2] [S0] [Та]т ; |
(8.14) |
|
[G*v] = |
[Ti] lG?] [Тх]т ; |
(8.15) |
|
{а*„} = |
[Га] {а12}; |
(8.16) |
|
(P*»} = |
[T1 H M - |
(817) |
|
Матрицы в (8.14)—(8.17) имеют сле дующую структуру:
|
” 5Xx |
8xy |
8xa |
||
|
= |
5xy |
svv |
Sy8 |
|
|
_ & X9 |
8ya |
|
|
|
|
= |
8 ocx |
8xy |
|
8x8 |
|
8xy |
8yy |
|
8ya |
|
|
- |
8xs |
8ya |
|
8 8 8 . |
|
a x |
' |
|
|
(P x |
(Oxy) = |
tty |
; |
(P*y) = |
Py |
|
|
k®xy. |
|
|
[ M |
|
а развернутые формулы для их компо нент приведены в табл. 8.2.
Справедливы следующие тригоно метрические тождества:
s4 = (3 — 4 cos 20 + cos 40)/8;
|
= |
(2 sin 20 — sin 40)/8; |
|
|
|
s2c? = (1 — cos 40)/8; |
(8.18) |
||
sc8 = |
(2 sin 20 + sin 40)/8; |
|
||
c4 = |
(3 + 4 cos 20 + |
cos 40)/8. |
|
|
Использование (8.18) в (8.14) и |
||||
(8.15) |
позволяет получить иную форму |
|||
записи |
компонент |
матриц |
жестко |
|
сти |
и |
податливости, приведенную |
||
в табл. 8.3. Приведенные в табл. 8.3 коэффициенты Vh, Qh могут рассма триваться как независимые характе ристики жесткости (податливости) однонаправленного материала при плоском напряженном состоянии. Формулы табл. 8.1 позволяют, в ча стности, установить их связь с техни ческими постоянными упругости монослоя. Таким образом (см. табл. 8.1 и 8.3) четыре независимые характери стики жесткости монослоя могут быть представлены в одном из пяти
равноправных взаимосвязанных |
ва |
|
риантов (£i, |
Е 2, Gla, V12), (rf1.rf 2.rf 2. |
|
rfe). ($?i s?2>*82. 4e). (Vi. V 2t V3, |
Vt) |
|
(Qi. Q2 » |
Q4) • |
|
8.1.3. Инварианты жесткое!^ моно слоя. Анализ формул табл. 8.3 позво ляет выделить [20] четыре инварианта жесткости монослоя, т. е. величины, неизменяющиеся при преобразова ниях поворота системы координат:
^1 = V i = (3gn — 2g 12 + 3^22 +
+ 4#ee)/8 = (3rfi + 2rf2 + 3rf2 +
+ 4rfe)/8;
/2 = V A = ( g 11 2 g i 2 + 2^22 +
+ 4£6e)/8 = (rfi — 2rf 2 + 4rfe)/8;
I 3 = V l = (gi e + g 2B)* +
+ t e u - ^ 2 ) a/4 = (rf1- r f 2)2/4;
/4 = [4 ( V x - V , ) (K4 + V 3) -
- V I ] ( V , - V , ) =
= det [Gxy] = det [G°]. (8.19)
8 .2 . Расчетные зависимости для преобразования компонент основных матриц монослоя при повороте на угол О
Компонента
м а т р и ц ы
$ х х s x y З х .
S y y
S y s
S 88
8 х х
8 x i t
8 x 8
8 y y
8 у з
8 88
a* tty
a* у
P*
py
Ь х у
Формулы преобрааовання
C4S? 1 |
+ |
s*s?2 + |
(2S?2 + s8e) s2c2 |
(s?l + |
S? 2 |
— *8e) |
+ (s“ + C4) S ? 2 |
[2c2sJ, — 2S2SJ2 + (2S}2 + S8e) (S2 — c2)] sc s4s?1 + c 4se2 + (2sy2 + sje) s 2c2
|2 s2s{1 - |
2C2S?2 - |
(2S{2 + sg0) (s2 - |
c2)J sc |
|||
(4s?! - |
8S?2 + 4S?2) S 2C2 + |
(s2 - |
c2)2 sge |
|||
|
+ s M 2 + 2 ( ^ 2 + |
M s ) |
s2c2 |
|||
(rfx + |
rfi - |
M |
e ) s2c2 + |
(S4 + |
C4) £?2 |
|
[c2^ ! — s2g?2 + |
(г?2 + 2 # y (s2 — c2)] sc |
|||||
|
+ C4^ |
|
+ 2 te?2 + |
2g8e) s2c2 |
||
(s2g?i — c % |
— (gj>2 + 2gJJe) (s2 — c2)] sc |
|||||
(Й 1 - |
2g?2 + |
r f 2) s2c2 + (s2 - |
c2)2 f8 e |
|||
|
|
otic2 -f- etas2 |
|
|
|
|
|
|
a is 8 + aac2 |
|
|
|
|
|
2 (a i |
— cxa) sc |
|
|
|
|
Px^+PaS2
Pis2 + P a c * (Px — Pa) sc
П р и м е ч а н и е . Принято s = sin 0, с = cos 0.
Непосредственно ив формул табл. 8.2 также следует, что инвариантами рас сматриваемых преобразований пово рота системы координат являются так же и следующие комбинации термо упругих характеристик:
' г |
т |
г г |
т |
г |
г |
) |
) ^ |
' 3 = |
Р* + |
Ру = |
Pi + |
Р2* |
|
|
Последние соотношения являются формой записи первых (линейных) ин вариантов тензоров второго ранга тер мических коэффициентов линейного расширения и коэффициентов темпе ратурных напряжений монослоя.
Если слой |
изотропен, то |
|
eii = g$2> *8e = te?i— g?2)/2 . |
||
В этом случае |
|
|
/i = Vx = £ /(l- v ’); |
|
|
|
h = Vt = G; |
|
|
h = Vl = 0 ; |
(8 .2 1) |
/« = 4 (Vl - |
К.) VI = ЕЮ/( 1 - |
v2); |
|
I J h h - E . |
|
Можно считать, что инварианты
( I J h l 2) и |
/ а характеризуют средние |
жесткости |
однонаправленного слоя |