Компоненты

матрицы

Вхх

Зху

8x8

§УУ

8ys 888

8 хх

8 х у

8x8

8 у у

8уа

8 88

П р и м е ч а н и е .

Формулы преобразования

Ql + Qa cos 20 + Q8 cos 40

Принятые обозначения: Qx = (3sJx + 2s} 2 + 3s§2 + sjJe)/8 ;

соответственно при растяжении и сдви­ ге. Они могут быть использованы при сравнении средней жесткости анизо­ тропных монослоев с жесткостью кон­ курирующих с ними изотропных кон­ струкционных материалов.

8.2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ

многослойных композитов

ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ

слоев (рис. 8.3). Каждый из монослоев характеризуется своим, в общем слу­ чае отличным от других слоев, набором

характеристик: Е\ Е\ Gj2 , vX2 ,

состоянии

Многослойными материалами принято называть материалы, образованные последовательной укладкой несколь­ ких разноориентированных моно­

Рис. 6.3. Структура многослойного ком­ позита

а ^ , с 4 Л), hSk) , 0 (ft). Здесь ft — номер монослоя в пакете л-слойного матери­

ала, — его толщина, — угол армирования. Введем следующие си­ стемы координат: общую «глобальную» (*, у) и местные «естественные» коор­ динаты монослоев (1 , 2 )(*).

8.2.1. Соотношения термоупругости. Средние для пакета слоев напряжения определим следующим образом:

Ох

23

Л=1

Здесь Я(Ь) — относительная толщина fc-ro слоя; h(k) = R(k)/Ht где Я — об­

щая толщина пакета слоев (см. рис. 8.3). Будем считать, что деформа­ ции слоев равны между собой и, сле­ довательно, совпадают со средними деформациями пакета, а изменение температуры всех слоев одинаково:

Подставив в (8.22) соотношения Дю- амеля—Неймана для слоя (8.13), полу­ чим

Обращая соотношения (8.25), имеем

{®жу} = [^Ху] {^жу} + (ажу) АГ. (8.27)

Здесь [GxyJ, 15ху1 — матрицы же­ сткости и податливости пакета слоев (|5*у] = lGxyJ“*); {аху} — матрицастолбец термических коэффициентов линейного расширения пакета; {Рху} — матрица-столбец коэффициентов тер­ мических напряжений пакета. Из (8.25) и (8.27) следуют формулы, определя­ ющие взаимосвязь (аху} и {Рху}:

{аху} = [5ху] {РЖу};

{Ржу} = Юху] {ажуЬ

В (8.28) коэффициенты матрицы по­ датливости fSjcyl следующим образом связаны с коэффициентами матрицы жесткости [Gxy]:

gxygxa — gxxgya

sya----

Ag Ag i det [Gxy].

менении температуры пакета слоев многослойного материала (например, при охлаждении его от температуры полимеризации связующего до тем­ пературы эксплуатации) возникают термические (остаточные) напряжения и деформации в составляющих пакет монослоях. Деформации пакета в целом в системе координат (х, у) могут быть определены по формулам (8.27) . В данном случае

ния по формулам (8.3), (8.17), (8.26), (8.28) . Деформации каждого из слоев в системе координат (х, у) совпадают со средними деформациями пакета (8.23), а в «естественных» координатах (/, 2)(Ь) они могут быть определены из формул

Ы . (8-31)

Деформации, определяемые соотно­ шением (8.31), вызваны взаимным стес­ нением слоев пакета при изменении температуры. Деформации свободного расширения слоев {е*2} определяются соотношениями

всех слоев изменяются на угол у, например,0 <*> примет значение 0 <х>— у и т. д. Следует учитывать следующие тригонометрические преобразования при использовании в соотношениях (8.26) формул из табл. 8.3:

cos 2 ( 0 — у) = cos 2 0 cos 2у +

+ sin 2 0 sin 2 у;

cos 4 (0 — у) = cos 40 cos 4y +

+ sin 40 sin 4y;

sin 2 ( 0 — y) = sin 2 0 cos 2 y

— cos 2 0 sin 2 y;

sin 4 (0 — y) = sin 40 cos 4y —

— cos 40 sin 4y.

Поскольку у — величина постоянная для всех слоев, имеем

/2=1

П

+ cos 2у 2 V{2k)t f k) cos 20(ft) +

/2=1

К 2}(Л) = {«12 }(А)Д7’-

Действительные, или актуальные, деформации слоев, вызывающие по­ явление напряжений, равны раз­ ности деформаций (8.31) и деформаций

свободного расширения слоев {ei2 }(fe). Термические (остаточные) напря­ жения в слоях можно определить

следующим образом:

|си }<*> = [0°1<*> ({*,}“ >-{вЬ}<*>).

или

8.2.3. Преобразование характери­ стик КМ при повороте системы коор­ динат. Средние жесткости. Рассмотрим преобразование характеристик много­ слойных композитов при повороте системы координат вокруг оси г на угол у. При этом углы армирования

П

+ sin 2у 2 V{2kW k) sin 20<ft) + k=l

П

+ cos4y 2 У^к)^ к) cos 40(Л) + k=\

n

+ sin 4Y 2 Vl3k)bw sin 40(ft).

/2=1

Аналогично можно получить выра­ жения и для остальных коэффициентов у). Они приведены в табл. 8.4. Найдем средние значения коэффи­ циентов жесткости в плоскости х, у\

2 Я

^/> = г И 8l’i' (v)dv

о

слоев многослойного материала фор­ мулы (8.26) заметно упрощаются. Рас­ смотрим три вида структур, часто используемых при создании конструк­ ций из композитов.

Ортогонально армированные мате­ риалы. Такие материалы состоят из п слоев, из которых часть уложена под

сительная толщина слоев первого типа второго типа Я(2). Характери­

стики всех-слоев одинаковы.

С учетом формул (8.15), (8.17) и (8.26) получим

8x8 = 8ув ~

Р» = М (1> + М (,);

р , = М а , + М (1); Рху = о.

Структура матрицы жесткости это­ го материала (gx8 = gya = 0 ) позво­ ляет считать его ортотропным. Главные оси ортотропии совпадают с осями х , у.

Перекрестно армированные матери­ алы. Такие материалы состоят из 2 п слоев, из которых п слоев уложены под углом 0 к оси JC, а остальные п слоев — под углом —0 .

С учетом формул (8.15), (8.17) и (8.26) получим

8хх = (ffi* + 8 (X2J ) / 2 = 8 ХХ;

Ядд — (вдд* ^ 8дд)/^ = вдд,

Яхд = (&жд ”1“ 8 х д ) / 2 — й хд\

8„ = (ей* + e iV ) /2 =

p,= (P i1) + Pi2))/2 = N (839)

р« = (рГ+рГ)/2=р,; рзд=(р1У+р^)У2=°-

а также входящие в выражения для других коэффициентов суммы-

бххбуубвв + ^бхубувбхв

Exx&ys Syy8xs SssSxg

&УУ&88 &У8

или

A* (8.41)

S y y S s s - S h

Здесь'Ь Ад есть определитель матрицы Ю*Д:жрГ

бхХ бху 6x8 Дg = det бху буу був

Аналогично могут быть получены вы­ ражения для модулей упругости

S x x S y g - S l y

и коэффициента Пуассона

&xg6ss &xs&iys (8.43)

&gg&ss. &ys

В случае ортотропного композита

(бхв = був = 0 ) имеем формулы, ана­ логичные приведенным в табл. 8 .1 :

Для ортотропного материала из (8.28) следуют расчетные формулы для температурных коэффициентов ли­ нейного расширения:

$хбуу — Рубху

а» =

бххбдд бхд

(8.45)

Рдбхх — Рхбху

O j,=

&хх&дд Ехд

Коэффициенты матриц жесткости и термических напряжений в (8.45) определяются формулами (8.26).

Рис. 8.4. Зависимость технических по­ стоянных упругости Ех , Qxyf vXy одно­

направленного монослоя и перекрестно- армированного материала от угла ориента­ ции волокон (0)

На рис. 8.4 приведены графики изме­ нения в зависимости от утла ориента­ ции волокон однонаправленных моно­ слоев технических констант упругости однонаправленного материала, опре­ деляемых формулами (8.41)—(8.43), и аналогичных констант ортотропного перекрестно-армированного матери­ ала, определяемых формулами (8.44). Графики построены для стеклопласти­

стеснение деформаций сдвига в слоях перекрестно-армированного матери­ ала приводит к возрастанию его моду­ лей упругости по сравнению со сво­ бодно деформируемым однонаправлен­ ным композитом.

8.2,в. Термонейтральные структу­ ры КМ. Рассмотрим вопрос о темпера­ турной стабильности многослойных

армированных материалов.

Материал, температурный коэффи­ циент линейного расширения кото­ рого в заданном направлении равен нулю, является однооснотермоней-

тральным материалом. Простейший пример задачи построения такой струк­ туры материала — определение угла 0 укладки однонаправленного мате­ риала по отношению к заданному направлению (например, оси *), обес­ печивающего нулевой температурный коэффициент линейного расширения

вэтом направлении (см. рис. 8 .2 ). Формулы для температурных коэф­

фициентов линейного расширения монослоя в произвольной системе ко­ ординат приведены в табл. 8 .2 .

Приняв а х = 0, имеем

ocjc2 + aaS2 = 0 .

Отсюда следует

Формулы (8.46) дают действительное решение при различных знаках аг и а 2. При выполнении условий (8.46)

коэффициенты а у и аху в общем случае отличны от нуля и выражаются следу­ ющими простыми формулами:

нейтральной в направлении осей х и у,

&ху = 2 с&!.

Рассмотрим однооснотермоней­ тральные структуры общего вида, используя соотношения (8.28). При­ мем ах = 0, а ху = 0. Тогда из (8.28) следует

«х = sxxPx "Ь sxyPy 4~ sxePxy = 0»

тать, что второе уравнение (8.48) вы­ полняется при sxa = sy8 = Рху — 0 , т. е. ограничимся рассмотрением ортотоопного материала.

В этом случае |см. (8.29) ] ненулевые коэффициенты податливости в (8.48) равны

— 8уу *ХХ~~8хх8уу-81д'

_ ёху

Из первого уравнения (8*48) следует условие, связывающее термоупругие характеристики однооснотермоней­ трального ортотропного материала*

Так, для перекрестно-армированного материала, содержащего равное число слоев, уложенных под углами 0 и — 0 к некоторой оси (для определенно­ сти х), входящие в (8.49) величины согласно формулам (8.26),(8.15), (8.16), (8.2), (8.3) могут быть записаны в сле­ дующем виде:

ё Ху — ё п — (ё \\ + 822 — 4£бб) s2° 2 +

в (8.49) позволяет получить квадратное уравнение относительно переменной

X = tg2 0 (X > 0 ), определяющее величину угла ± 0 укладки слоев перекрестно-армированного матери­ ала, обеспечивающую тепловую ста­ бильность структуры в направлении оси х :

где

д _ 4gg6 [g?i« + (i + q) g? 2 + г У

ного материала на основе однонаправ­ ленного органопластика этого типа от угла армирования, построенный по формулам (8.28), приведен на рис. 8.5.

и при изменении температуры не про­ исходит изменения линейных и угло­ вых размеров тела в плоскости х, у. Из (8.28) непосредственно следует, что в этом случае

Последнее выражение значительно удобней исходной постановки (8.51), так как для коэффициентов термиче­ ских напряжений {Рху) в отличие от термических коэффициентов линей­ ного расширения {аху} существует правило аддитивности (8.26).

Рассмотрим многослойный мате­ риал, составленный ив п монослоев одного типа с коэффициентами терми­ ческих напряжений Р|, ра. Из (8.26)

и(8.52) следуют уравнения

Р, (С(1), + с<2> * + - - - + С(п),) +

+Р2 (S<‘>* + S(2)4 - " + * (n)*) = 0 ;

Р, («<, >, + *<2>, + - + . (я,,) +

+ Р2 (с(1> Ч с<2>, + . . . + С(л),)= 0 ;

Р, (s<IV 1>+ s<2>c<2> + . . . +

+ S<"V">)-p2(s“)c<‘>+

+s<2)c<2) + . . . + S<"Vn>)=0.

(8.53)

Решением системы (8.53) (кроме три­ виального решения Pi = Ра = 0) яв­ ляется

P i — — P2I

2 s(fe)#= 2 Ci k ) i = n f 2 ; (8.54) k=\ k=\

2 s<*>e(*>=0. k=l

Так, для перекрестно-армирован­

ного материала (п = 2, 0(1)= 0, 0(2) = = — 0) система условий (8.54) имеет вид

P i = — Ря»

sin2 0 + sin2 (— 0) = 1; (8.54а)

sin 0 cos 0 + sin (— 0) cos (— 0) = 0»

коэффициентов линейного расширения пе­ рекрестно-армированного органопластика Kevlar40/ERLA4017 от угла армирования

откуда следует

При этом третье условие из (8.54а) выполняется тождественно.

Первое условие системы (8.54) опре­

Изотропная в смысле коэффициентов линейного расширения (8.51) струк­ тура (8.55) перекрестно-армирован­ ного материала не является изотроп­ ной по характеристикам упругости.

8.3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК МОНОСЛОЯ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА МНОГОСЛОЙНЫХ МАТЕРИАЛАХ

Рассмотрим процесс идентификации характеристик жесткости монослоя [ 2 ] по результатам экспериментов с много­ слойными материалами, составлен­ ными из монослоев этого типа.

Связь между напряжениями и де­ формациями для монослоя относитель­ но главных осей ортотропии дана фор­ мулами (8.2). В качестве независимых параметров, полностью определя­ ющих упругие свойства монослоя при плоском напряженном состоянии, выберем коэффициенты матрицы же-

Обобщенный закон Гука для много­ слойного пакета (8.25) без учета тем­ пературных напряжений для произ­ вольных осей (см. рис. 8.3) имеет вид

а х = 8 х х г х + 8 х у в у + б х в У х у »

а у = 8 х у & х + 8 у у е у + 8 у в У х у \

(8.58)

* х у = 8 хв& х + 8 у в & у + 8 в в У х у

Для симметричных относительно осей х и у структур многослойных материалов (далее для простота будем рассматривать только такие струк­ туры) компоненты матрицы жесткости 8хву 8ув равны нулю и пакет много­ слойного материала в условиях пло­ ского напряженного состояния ведет себя в среднем как ортотропный мате­ риал. С учетом (8.26) и формул из табл. 8 . 2 выражения для ненулевых компонент матрицы жесткости много­ слойного материала могут быть запи­ саны в следующем виде:

Сгруппируем коэффициенты жестко­ сти gxx, gyy, gxyt gss Для некоторого m-го пакета в матрицу-столбец:

Если пакет набран из одинаковых по жесткостным характеристикам мо­ нослоев, (8.59) можно записать сле­

функциями углов ориентации главных осей ортотропии монослоев и их от­ носительных толщин.

Пусть экспериментально опреде­ лена часть элементов векторов {Gm } 5

(m = 1, 2, ..., М) для некоторых М пакетов, изготовленных из одинако­ вых монослоев с известными схемами армирования. Например, для трех видов структур армирования (М = 3) определены из экспериментов следую­ щие характеристики:

для 1 -го вида: (gl)s. (el)9’,

для 2 -го вида: (g?)3, (gl)3, (g|)s; для 3 -го вида: (g|)3, (g|)B.

Назовем эти характеристики базо­ выми. Для каждой из базовых жесткостных характеристик может быть вычислено ее расчетное значение с ис­ пользованием соотношений (8.59), если известны характеристики упругости монослоя — элементы матрицы-столб­ ца {G0}. Объединим известные экспе­ риментальные и соответствующие им расчетные значения жесткостных ха­ рактеристик рассматриваемых струк­ тур в матрицы-столбцы. Для рассмат­ риваемого примера они примут вид

й * -{(«!)*. (г!)’. («Я*. («!)■•

«)•■ (&■ Ш Т:

<«)' = {(«!)". (г!)р. И Г (й р.

№ ■ ( й у . ( Й ) ') г -

Перейдем к более простым обозна­ чениям элементов введенных матриц, столбцов:

Йэ = {*р «i. •••• *1}т; Йр= {gf, е \......*£}т-

ментов в М структурах многослойных

где |Л ] — матрица, составленная из

отдельных строк матриц \Ат\ в со­ ответствии с видом матрицы-столбца

тРазмерность матрицы {Л} равна

. Задача идентификации упругих ха­ рактеристик монослоя может быть

сформулирована следующим образом: определить значения элементов век­ тора {G0}, обеспечивающие минималь­ ные в определенном смысле расхож­ дения между экспериментальными и те­ оретическими значениями жесткостных характеристик многослойных па­ кетов, т. е. обеспечивающие минимум некоторой функции:

удовлетворяющей условию

Введем в рассмотрение следующие векторы:

{М = { « ! - « ? . «2 - Й * «1 - г £ } т ;

(8.65)

позволяющие построить функции Ф, удовлетворяющие условию (8.64):

/ = 1

(8.66)

-{Vn }r (Vu}-

Функции 0 i и Фц представляют со­ бой квадраты эвклидовых норм векто­ ров (8.65). Задачи идентификации при­ менительно к функциям (8 .6 6) сво­ дятся к определению вектора * {G0}, обеспечивающего минимум эвкли­ довых норм векторов (8.65).

Уравнения Эйлера для этих задач имеют вид