Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1480.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

29.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

пределение перемещений по толщ ине панели

ия = ц + 2 0 я ; '

Uy = V -J~ 20yJ

(6.2)

Uz = wt

где и, vt w — перемещения начальной поверхности; 0Ж, 0у — углы поворота сечений.

Углы поворота нормали:

©х = — dw/dx;

(5.3)

(оу = —dw/dyе.: | Ь )

Связь деформаций с перемещениями:

ди

		8» = U		+ * lK':
			до
			ди	до
		У*У --Щ Г + 1 Г			;
	*х =	30*	_	^i>*	d*w т
	*х =	дх		дх	дх*	’
		дх		дх	дх*	’
						(5.4)
		д%	_ & ь		&W
		ду		ду	дуа	’
Х х у -	00*		двь
Х х у -	ду		дх	дд		дх
	ду		дх	дд		дх
	п d*w				dw
	дх ду		’		дх
		фу =	0у	dw
		фу =	0у	ду	9
				ду	9

где Ф«* Фу — средние деформации по перечного сдвига.

Физические соотношения:

Nx = В1гех + В 18ву + СцХх + С18Ху;

Му == ^1я8да 4“ &22®у 4~ CiaKx4“ ^ааКу!

	МКу =		ВъвУху + СззХху*
М* =	С ц в х +		С1аву -j- D uH x +	DnKy\
Му=	Cia®x	+	С8аву + DiaHx 4“	^а^у	I
	Мху =		СззУху 4" &зз%ху\
	Qx =	/Схф»; Qy = /Суфу.

(5 .5)

Рис. 5.1. Элемент навели

Приведенные жесткостные характе ристики панели определяю тся вы ра ж ениям и

Bmn = l% h			Cmn =		/< !> -*/< ?> ;
	o m„ = 4 2i i - 2			^ i + e2C ;
	о				<=1
X	( ^ + , - < £ { )		(Г =		0 , 1 , 2); (5.6)
	(т п = 11, 12,				22, 33);
						—1
	к х =	ь*		(№
				(№
					XZ	—1
			к	— ^1-1		—1
	K u =	h*		— ^1-1
	K u =	h*		Г (П
		_*=1		Г (П
		_*=1		G y z
где	h — сумм арная				толщ ина	много
слойной		панели;		к — число		слоев;
е — расстояние			от	нижней		поверх

ности панели до базовой поверхности (рис. 5.2); ti_1 , U — расстояния от

Рис. 5.2. Геометрические параметре слои стой панели

нижней поверхности панели до ниж ней и верхней поверхностей t-го слоя

(для i = 1 t0 = 0; дл я	i = k /к = h)\
А\^п — ж есткостные	характеристики

(-го слоя (см. соотношения упругости для f-го слоя в п. 1.2.3);

где	а, Ъ— габаритны е	размеры пане
ли	вдоль осей ох и оу;	возможные де

формации 6ех , бву, ..., 6фу опреде ляю тся через возможные перемещения

6 ц, 6г/, 6ш и углы поворота	60х , 60у
вы раж ениям и, аналогичными	(5.4).

модули на поперечный сдвиг (-го слоя.

5 .2 .

И ЗГ И Б СЛОИСТОЙ

СВОБОДНО

У равнения равновесия для случая дей

О П ЕРТО Й

П А Н Е Л И

ствия нормального давления

имеют вид

Рассмотрим

слоистую

прямоугольную

d N x y

d N y

d N x

— 0 *

панель,

свободно опертую по

контуру

дх

ду

нагруж енную

внутренним давле

дМх

д м Ху

нием р, внешним давлением q и сосре

М х ,

_ А.

доточенными нормальными силами Я*.

дх

ду

Решение получим на основе метода

д М у

, д М х у

Рэлея— Ритца.

Д л я

этого

восполь

и ’нO

— Qy =

зуемся принципом возмож ных пере

ду

дх

мещений [см. (5 .8)], который для

dQ~

^Q y

рассматриваемого случая запиш ем в

Р =

следующем

векторном

виде:

-§ЗГ +

(5 .7i

(бвт Л° —

д Х Тр) dy dx —-

где

р =

р— qt

q — давления

на

внутренней

внешней

поверхностях

(см. рис. 5.2).

- £ 6 A

7 < ? i

<>-

(5.9)

Силовые граничные условия пред

(=1

полагаю т

задание

на краю

х =

const

уху,

х х , %ху»

усилий

моментов

N x\

N xy\ Qx; Здесь

е =

[ех ,

ву,

х х ,

М х; М ху, а на

краю у =

const — N y ,

Фх» Фу]Т>

N ху>

Qy»

Л4у,

M Xy. %

y ,

условия

J f

[ N x t N

X y f

М х ,

M y ,

Геометрические

граничные

записываю тся для перемещений и, v,

M X y*

Q X f

Q y ] T >

углов

поворота

сечений

0Х,

0у.

= [w, фх, фу, ц, *]т;

начальной поверхности

(г =

М атематическая

формулировка

Р = [р,

о,

о]т ;

принципа

возможных

перемещений

Qi = lPt. о,

о,

о, о]т ;

имеет следующий

вид:

X i =

X (Xi,

yi),

xt,

(texNx +

6eyN у +

6yXyNxy +

где

у i — координаты

приложения

силы

Pt.

В нутренние силовые факторы Jf

+6xxM+6XyM+$XxyMXy+

связаны

обобщенными

деформация

ми

соотношениями

(5.5):

“ fill

Вм

(5.8)

J f =

2>е

(5 .Ю)

где

Си

С\2

“

В2г

Си

С22

В,,

С88

Du £>13

D%2 0

^88

Кх

_ СИМ.

	С использованием представлений де
формаций			через		перемещ ения				(5.4)
запишем				e =	LX ,				(5.11)
где				e =	LX ,				(5.11)
где				о It-		0
		kl		о It-		0	д/дх		0 -
		кг		0		0	0	д/дд
		0		0		0	д/ду	д/дх
		—дЧдх*		д/дх		0	0		0
		—сР/ду*		0		д/ду	0		0
		—2д*/дх ду д/ду				д/дх	0		0
		0		1		0	0		0
		0		0		1	0		0
	Решение будем искать в виде двой
ней		тригонометрических					рядов:
				W
			®х»		®у
					Ку	I =
			N X9		N y
			. М Х9		М у t
		°°	°°	/		% п
	\	1	\	1 /	®хтп»		®утп
=			^	I	КХтп* Кх7Пп				I X
	АшА АшА \				Нхтп,		N ymn
		т=з1	п=[	\	М хтп, М утп ,
			X sin ХщХ sin

L'J-т = 1 п=1 Lr<u>
	2	2
	X cos XrhX sin Xng\ \
Л»* Q J	2	2 (r\|>„TOn . Qymn)
	m=l n=l
	X sin	cos Хцу;
	/ Ухуf	\ __
	U x y .	^ l*y/
oo	oo

	/ Yxymn»	Xxymn \ ^
- e i	\Nnymn*	M XymnJ
m=l n=l

X cos A,m* cos

или в матричном виде

ооп

®= 2 21 Pemn®mn» m=l n=l

•^=2	2 Р ^ Л (5П;-12)
т=1	п=1

2 21РхтпХтпп*

m—\ п

где Ретп. Рлгтп. Р*тп~диагональные матрицы;

Pemn PiV'mn [^mx^y* smxSny>

^тх^пу» S/JMcSny» smys7iy» Сщж^пу»

	C m xP n y*	Smx^nyJ»
Pxmn =	f s m x s n y *	cm x s n y * s m x P n y t
	cm x s n y » s m x c n y j l
s m x ~	SinХ щ Х ]	^ m x == COS ХщХ;
sny =	sin Хлy\	cny = cos X^y;
y^jtx — ттс/CL!		Xyj — пл/Ьш

С учетом (5 . 10)— (5.12) ф орм улиров ка задачи (5 .9) приводит н системе алгебраических уравнений

,пХтп — ^ mn		(m, n - 1 .			2, . . .
					(5.11
где
J T n	ii
TTlT
&mn = [Pmn*		0,	о	о	T;
&mn = [Pmn*		0,			T;
	l»mn ~
ki	0	0	-—Хщ		0 “
кг	0	0	0		- К
0	0	0	Xn		Хщ
X*	- X m	0	0		0
m	- X m				0
Xm	0	---Xn	0		0
—2XnXm	Xn	Хщ	0		0
0	1	0	0		0
0	0	1	0		0


k22 = (tfnB и +		^п5 зз) “ f " ’
k2s =	(^ia 4~ ^8в)~~£~~»
^33 — (^nB	22 +	зз) ~ 4 “ *
К = &11&22^33 4” 2^X2^23^13			^13^22

— Щъ^\\ — ^12^33*

Полученное реш ение (5.16) вы глядит достаточно гром оздко. В случае исполь зования ЭВМ целесообразно получать решение на основе (5.13) при исход ной информации в виде (5.15) с исполь зованием стандартны х матричных опе раций .

Д л я	форм улировки				вадачи		(5.9),
(5.13)	приним ается
е =	[к*,	х у ,	Хху,	Ух,
=	\| М х ,	М у,	М ху,		Qx ,	QyJT,
	X =	\|а>,	г\|>*, iJ)yJT;
р = [р,	о , 0 1 т;		Qt =\P i,			о ,	0 ]т;
	О ц	Dia	0		0	0	-
		D22	0		0	0
3> =			D 83		0	0
_ сим.					к *	0
_ сим.						К у	-
			— к т			0	-
		К		0		- к
		К				- к
1*т п =	—2ХпЯт			к
		0		1		0
		0		0		1	__

б.З. И ЗГИ Б С ЛО ИСТЫ Х ПЛА СТИ Н

С С И М М ЕТРИ ЧН Ы М		РА СП О Л О
Ж ЕНИЕМ СЛО ЕВ
Слоистые пластины		с симметричным
расположением	слоев	обладаю т	двум я
характерными	особенностями:		могут

иметь наибольш ие ж есткости D mn (сре ди пластин с аналогичным набором


схем	арм ирования); изгиб			не	сопро
вождается		деформированием			средин
ной поверхности. В этом случае реше-
няем	(5.13) будет		um n = v m n=			0.
5 .3 .1 .		Изгиб пластин с учетом дефор
маций поперечного сдвига. В качестве
начальной поверхности вы бирается сре
динная плоскость			пластины	(е =		h/2).
При	подсчете изгибны х			жесткостей
[(см. (5.6)] можно воспользоваться						вы
ражением

k/2

(тп = 11, 12, 22, 33),

где координата г отсчитывается от срединной плоскости . Смешанные жесткости Стп = 0.

& т п — [Ртп»	0» 0]^ 1
		(5 .1 7 )
где ртп вы числяется	согласно	(5.14).
Реш ением системы	линейны х	ал ге

браических уравнений (5.13), сформи рованной с исходными данными (5.17), будет

wmn ~	(^22^33 ^2з) >
tyxmn =	(^28^13 — ^12^8в)»
“ФуШП =	(^12^23 — ^ 13^22)»
где	(5.18)
где

К = ^11^22^13 4" 2^x2^23^33 —^?з^22 —

&23^11 — ^12^33»

= [ ^ п + K t i Р 1 2 + 2 д ,з ) +

+	^	22] - г - ;
*12	— [	tfrfiw “ “
—	( ^ 12	+ 2 0 33)] - 5- I

^13 — \r~tfp22 “

(5.18)

при

Кх -*- °°*»

Ку-*- ©о,

а также

(5.16)

при

С ц =

£1 =

6 2 =

0 .

-XLKP12+ 2^33)] 4 -;

5 .3 .3 .

Реш ение задачи об изгибе тон

кой пластины методом приведения к

обыкновенным

дифференциальным

*22 =

( ^

1 1 +

+ ^

)

^ / 4 ;

уравнениям .

Рассмотрим

пластину,

которой

а >

Ь.

Д л я

получения при

^28 = ^7п^п(^12 4" ^8в) 0^/4;

ближ енного

реш ения

воспользуемся

методом

приведения

обыкновенным

*33 =

№

22 +

t o

+ *

/ 4 -

дифференциальным уравнениям

[ 1 , 2 ].

Представим прогиб пластины и кри

О тличительной

особенностью

п олу

визны

следующем

виде:

ченной

м атр и ц а

Жтп является то,

w = W (x )f(y);

что ж есткости на поперечный сдвиг Кх

и Ку

входят

только

диагональны е

Хдо — ---

(Pw

— Г 7 ;

коэффициенты

£33. В этом

случае

дхР

реш ение системы

допускает устойчи

dPw

(5 .21)

вый предельный переход к решению

*, —

тонких

пластин . П ри

оо;

Ку-*-

- 3 3 - - - * / * * ;

-*■ оо

получим фх =

0 .

дф

<Pw

5 .3 .2 .

И згиб свободно

оперты х

тон

3C*v =

— 2

— 2 Г 7 * .

дхд у

ких пластин . Исходными данными дл я

ф орм улировки

задачи

(5.9),

(5.13)

являю тся:

<•>'—

з г < > ‘

| г <

»;

Ъсу\Т>

е =

[я » .

х у ,

f (g) — ф ункция,

вы бранная так ,

что

ж = [ М х, М у ,

Мхг,]т ;

бы были удовлетворены по крайней

х = М ;

р =

1р \\

<?* = [/>*];

мере геометрические граничны е усло

вия

на

продольны х

к р а я х .

- D n

D 12

Д л я

определения

ф ункции

W (х)

получим

разреш аю щ ее

уравнение

на

основе

ф ормулировки

принципа

воз

мож ных

перемещ ений.

Д л я

случая

отсутствия

внеш них

сосредоточенных

сил и силовы х факторов иа контуре

запиш ем

(в**Л1х +

бХуМу +

бХхуМху -

Реш ением

алгебраического

уравне

где

— 6wp) dgdx =

0 ,

(5 .22)

ния (5.13)

[разм ерность

матрицы

Ж тп

Л4» = — DxlfW" — D12f* *W ;

( 1 X 1) 1, сформулированного с учетом

исходных

данны х

(5.19),

будет

М у = — D 1%f W ' — D 22f ” W ;

(5 .23)

Wmп = - ЕР ~ ,

(5.20)

M xy =

2D99f* W ' .

где

«11

учетом

(5.21)

ф ормулировку

за

^11 =

^ т Р \\ +

2^m^rt ( ^ 12

2^ з з )

дачи (5.22) представим в следующем

виде:

(— 6W "Mx — 6 W M y —

р тп вы числяется

согласно

(5.14).

Р е

шение

(5.20)

соответствует

решению

В (5.24) введены обозначения

мх=| fMxdy;

Mv= J f**Mvdg;

(5.25)

М ху = J f*Mxy dg\

сР= J fp dy.

После интегрирования (5.24) по ча стям получим

\ т ( л ? ; + м д - 2 л т ;у + ср ) А* +

+[ в т г 'З Д н -

+ [ 6 W7 ( 2Ж „ — ж ; ) ] - = 0 . (5.26)

Из (5.26) с учетом (5.23), (5.25) сле дует разреш аю щ ее дифференциальное уравнение

Г 1У — 2k\W* + k \w = kpy (5.27)

где

2^88c4 — ^ ia ga *?■ D nCi

.4 __ D22C3 .	t	CP
2 ~~DllCl ’		D llCl
Здесь
6	b
ci = J P d y \ c2 =	J
о	о
6
* a = j( / * * ) a ^ ;		(5.28)
о
6

Граничны е

условия

д л я

уравнения

(5.27) записы ваю тся

при

х =

= а

следую щим

образом .

Е сли

запрещ ен

прогиб

w ,

то

W =

0 .

Если

прогиб

разреш ается,

то

(-4D eaC 4 +

^ )

W' +

D ^ W " =

0 .

Е сли

запрещ ен

угол поворота w 't то

W ' = 0 .

Е сли

угол

поворота разреш ается, то

DftCiW" +

D -i^ W =

0 .

Реш ение

уравнения

(5.27)

можно

записать

виде

w =

2 СтФт. (5.29)

т = 1

Здесь

№0 — частное

реш ение.

Ф ун к

ции

Фт

определяю тся

так:

если

k \ <

k\y

Ф ± =

ch rx

cos tx\

Ф2 =

rx sin

tx\

Фа =

ch rx sin tx;

Ф4 =

sh rx cos tx,

где

‘

если

k \y

Фх — ch r-xx;

Фа =

ch rax;

Ф8 =

sh rtx;

Ф4 =

sh r2x,

где

г ,.,

J / ^

= F

] / * * — k \ .

П остоянны е

Cx— C4 находятся из

граничны х

условий .

Д л я

случая

равномерного давления

частное

реш ение

Wo — Рос/ФпСъ)*

где

<ч = f (/)dy.	С
b

5 .1 . Вид функций

Граничные	ПУ)	Р(х)
условия

	ф — 2Ьф + &у	0 1 ^ 2 — Ф^Ф\
- I "	ф — 2Ьф + &у	ф хф ; — ф 2Щ
- I "		ф хф ; — ф 2Щ
0	X

th0	_х	ф гф'2 — Ф2Ф[
	ф — 2Ьд*	+ Ь*д
		ф , ф ' - а д

ш иш иш	Ф\Ф2 — ^ 2 ^ 1
	у ' ф - у ) *
гтттш ш	ФгФ2 — Ф2Ф'{
гтттш ш	х

n m tfm u ij	Ф\Ф2 — Ф2Ф{
	у* (ь — у)*
	ФХФ2 - Ф2Ф[
/ / / / / / / / / / / / /	х

П р и м е ч а н и е . Ш триховой линией отмечены стороны свободно опер

тые, штриховкой — защемленные. Верхней чертой для функций фи фи ф1 отме чены значения соответствующих функций и их производных, вычисленных при х = а!2. Вид функций ф\ приводится в пояснениях к (5.29).

Если	продольны е	к р ая	свободно
оперты,	аппроксимирую щ ую		функцию
/(у ) можно вы брать		в виде

f = g * - 2 b y * + Ь*д.

Соответствующие константы с* (5.28) и с (5.30) будут равны

Cf = 0,04925е;

сл = — Cj = — 0,48657;

Сз = 4,6656; с = 0,256.

Д ля защ ем ленных продольны х краев аппроксимирующую функцию f (у) можно задать в форме

f = v 4 b - v ) \

соответствующие ей константы с% (5.28)


и с (5.30)		будут		равны
	Cf =		0,001595е;
	с4 =		—Cj =		0,01957;
<4 =		0,85е;		с =	0,033356.
Д ля	приближ енного					определения
прогиба	тонкой			слоистой			пластины
симметричного строения,						нагруж енной
равномерным			давлением			р 0,	с зак р еп

ленными сторонами по контуру можно воспользоваться формулой

■ (* . Р ) = 0 . 0 4 1 7 - ^ 4 1 - F ( x ) ] f ( g ) ,

где вид функций F (x)t f (д) зависит от граничных условий (табл. 5.1). Координата х отсчитывается от сере дины пластины .

5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ СВОБОДНО О П ЕРТЫ Х ПЛАСТИН

Одним из распространенны х видов на гружения слоистых пластин, работаю щих в качестве силовы х элементов кон струкций, является воздействие нор

мальных сж имаю щ их	или	касатель
ных усилий, которые	могут	привести

к потере устойчивости плоской формы равновесия.

В ариационная форм улировка задачи устойчивости прям оугольной пласти ны записы вается следующим образом:

а	ь
[	[ (6eT J f — Л 60т Л°0е) d y d x = о,
о

где е — вектор-столбец обобщенных деформаций; J r — вектор-столбец обоб

щ енных внутренних	силовы х ф акто
ров; А — параметр	нагруж ени я;

№х,		№ху — начальны е			погонные
усилия в		пластине, определяю щ иеся
решением		задачи статики		при Л = 1
{нагруж ение			предполагается		пропор
циональны м).
С	использованием соотношений
			е = L X \
		J f	= 2>е = 3>LX\		(5.32)
			Р = R X ,
где	X — вектор-столбец			обобщенных
независимых перемещ ений; L					— м атри

ца свяви деформаций с перемещ ениями; 2D— м атрица соотношений упругости;

R — матрица	связи	углов	поворота
с перемещ ением, ф орм улировку				зад а
чи устойчивости (5.31) можно				зап и
сать через перемещ ения			—
а ь
JJ((L6JT)T		SDLX
о о
— Л (/?6X ) T J f0R X ) dg dx =				0.
				(5.33)
П олученное	уравнение в		вариац иях

(5.33) соответствует условию стацио нарности ф ункционала изменений пол ной потенциальной энергии

A=5 _HS((L*)Tа Ь S>LX~

оо

-Л ( Л Л ') Т J f0R X ) d y d x ,

т. е. б (ДЭ) = 0, и может использо


ваться	к ак дл я точного реш ения,					так
и дл я	построения			приближ енного		ре
ш ения	задач		устойчивости		пластин .
5 .4 .1 .		У стойчивость толстой пласти
ны . Рассмотрим				последовательность
реш ения		задачи		определения крити
ческих		нагрузок		свободно	опертой
слоистой		пластины несимметричного
строения		при	двухосном равномерном

сж атии . Расчет проведем с учетом де формаций поперечного сдвига. В этом случае дл я ф ормулировки (5.31) будем иметь

со	II	н°	со		й2	нХ	8
		Хху»		Фх»
II		н		аи	а» Н		н	а»
		M Xyt		Qx> Qy\ T »
KJO	гро.		t f ° =		—. T ° -			№хд = о.
iVX ■—	1 X)		t f ° =		—. T ° -			№хд = о.
iVX ■—	1 X)					gy

Вкачестве компонент вектор-столб

ца X примем

X =	[w , rf*. Ч>„, и, V ? .
М атрица	соотношений	упругости 2D
соответствует (5.10).		М атрица связи

деформаций с перемещ ениями соот

ветствует		(5.11) при		^ = ^		2 =	0 . М а
три ца	R	имеет	следующий				вид:
		— д/дх	0	0	0	0*1
		— д/дд	0	0	0	0_Г
В оспользовавш ись				разлож ением ре
шений	в	двойные	тригонометрические
ряды (5.12), получим для						т ,л - й гар
моники	волнообразования				следующую

однородную систему линейных алге

браических		уравнений:
где	т л	— ASmn) Х тп =				0,	(5.34)
где
		L	i n	i n	' ,		(5.35)
							(5.35)
§mn =		~
В этом	случае
		^ m n =
~	0	0	0	—			0	-
	0	0	0		0	-	к
	0	0	0		К
		—	0		0		0
		0	------^71		0		0
—	2Хпкт				0		0
	0	1	0		0		0
	0	0	1		0		0	_

„	Г---^7П	0	0			0 0
К т п ~	\| _ ^	0	0	0		0
						0
	Г г ®		о	1
Л°о =			T l J			;
	[ о		T l J
Атп =	т я / а ;	\ п =			п п /Ь .
М атрица	системы	(5.34)				имеет		сле
дующую структуру:
	mn — Л $ т п =
(ku — Лsu ) ^12			ki3			k\i	klb	I
			^28			^24	^26
=			^88			^84	^85	»
						^44	kAh	»
						^44	kAh
_СИМ.							kbb__
							(5.36)
где an =(T°X°m +		Г°А,°) ob/4 -					един,

ственный ненулевой коэффициент ма трицы Sm n; kij — коэффициент матри ц у Ктп- Определитель матрицы (5.36) будет линейно зависеть от параметра нагруж ения Л , т. е.

det ( X тп — Л $ т п ) = d0 — Adlt (5.37)

где
d0 = det	(ЛГт п );
^22	^28	^84	^18
di = 8ц det	^88	^84	^85
di = 8ц det		К	^4B
		К	^4B
СИМ.			^В5__

И з (5.37) находится значение пара метра нагруж ения Л = Л т п , при ко тором определитель равен нулю:

Л т п = do/di.

(5.38)

П араметр нагруж ения, соответству ющий критической комбинации нагру зок, определяется минимизацией по всем гармоникам волнообразования:

		Л Кр =	m in Л т п			(5.39)
		( т .п )
Т	х кр	== Т ° А *	Т	кр	__ г°л
		J дгжкр»	* у		1 у**Кр-
Соответствующие			Л кр	номера		гармо
ник т и п		будут характеризовать форму
потери устойчивости.

Основная трудоемкость расчета за ключается в вычислении определите лей высокого порядка. Необходимость использования ЭВМ здесь очевидна. Приближенные оценки критических нагрузок можно получить, используя метод минимальных ж есткостей, т. е. положить

Dи тп - 1/(2)тп —			0)	»•	ис т п	—— ио
			ТПП			(5.40)
						(5.40)
(здесь	т п =	11,	12,	22,	33) и	вы пол
нить	расчет	как	для	пластины		с сим

метричной структурой.

Рассмотрим последовательность ре шений задачи определения критиче ских нагрузок свободно опертой слои стой пластины, имеющей симметричное строение многослойного пакета. В этом случае при потере устойчивости дефор мации срединной поверхности и ее пе ремещения и, v будут равны нулю . Поэтому дл я формулировки задачи (5.31) достаточно воспользоваться сле дующими переменными:

в =	[яв,	Ир, fay, фя, фр]т »
=	[Л4Ж,	Л1 у,	M ay t Q*, Q p]^ >
	X =	[Ю.	If*.

Матрица соотношений упругости 2D бу дет содерж ать следую щ ие жесткостные

характеристики:
D u	^ i i	0	0	0

i=\

[для метода минимальных	ж есткос
тей см. (5.40)]; координата г	отсчиты

вается от	срединной плоскости; k —
число слоев.
Разреш аю щ ая система		однородных
линейных	алгебраических	уравнений

будет иметь вид (5.34). М атрицы У£тп,

Smn, формирую щ ие обобщенную зад а чу на собственные значения, опреде ляю тся согласно (5.35) при

	*2.	—	0	■
		0	---^71
Lтп —	—2XnXm
	—2XnXm
	0	1	0
	0	0	1
R	- Ь т	0	01
R	. - * П	0	o j -
	. - * П	0	o j -

С труктура матрицы системы уравне ний (5.34) будет иметь следующий вид:

x m n -	—
(kn — Л 5 ц )	k%2 kis

=k22 &28

сим.

^ 88-

где коэффициенты kt] определены ра

нее дл я (5.18),		a sn	— дл я (5.36). З н а
чение	критического		параметра н агр у
ж ения	будет	определяться согласно

(5.38), (5.39) путем минимизации по

гармоникам		т и п :
	Л кр =			m in {d0/di)t		(5.43)
				m, п
где	d0 = К;	d1 =		slx (k22k33— k%3) [см.
обозначения		к	(5.18)].
Д л я случая			равномерного одноосно
го	сж атия	свободно			опертой	толстой
слоистой		пластины			симметричного

строения значение критического погон ного усилия можно определить, вос пользовавш ись выраж ением [2 ]

Тх „р = m in

(m, n)

где

Ктп —

dmn = Dutfn +

o J ;

dfim =

D22tfi +

£*33tfn\

AK= ^12 4" £^88»

dm r& +

dnmtft + 2dK

что

соответствует

(5.39),

(5.38)

при

С труктура матрицы системы уравне

dg == d\ (5.43)

Г® =

ний (5.34) будет аналогична (5.42).

5 .4 .2 .

У стойчивость

тонкой

пласти

Коэффициенты

ktj

определяю тся вы

ны .

Рассмотрим

последовательность

раж ениям и:

реш ения

задачи

устойчивости тонкой

свободно

опертой

слоистой

пластины

*11 =

[ ^

1 1 + ^ . * 5 ( ^ 1 2 +

несимметричного строения при двух

осном равномерном

сж атии. Д л я

тон

Н” 2^ 33) +

^ ^

22] а */4 »

ких

пластин,

которые

не

содерж ат

*12 ~ [“ t f r f i ll

(С12+

слоев с низкой трансверсальной сдви

говой ж есткостью , учет деформаций

2Сзз)]а6/4;

поперечного сдвига

не

вносит

сущ е

ственных уточнений. Поэтому при рас

(5.44)

чете можно сразу положить фх =

'Фу =

*13 =

1~~ ^п^22

(^12 +

=0 . В этом случае в ф ормулировке

задачи	(5.31) будут участвовать сле	+ 2Сзз) ] ^ / 4 ;
дую щие	переменные:

® = [е*. 8у» У х у » я х» Ку, %ху]***>

Jf =	[Ад;,		Nху,		Мх, Му, Мху\^ »
		X = [Ш1,			и,	о]т .
Разреш аю щ ая				система			однородных
линейных		алгебраических					уравнений
(5.34)	будет		формироваться согласно
(5.35)	с	помощью			исходных			матриц
			0		—		0	-
			0			0	---^71
			0				Хщ
L>mn —						0	0	1
						0	0
						0	0
		_—%XmXn				0	0	_
	В ц		Bla	0		C ll	Cia	0 *—
			B2a	0		Cia	Caa	0
2) =				^88		0	0	CB]в
2) =						£>11	D 12	0
						£>11	D 12	0

*22	=	(^m5 ll +	зз)
*28	=	(^12	4“ ^зз) а /4 »
*33 =		(^л^22 4"	Зз) а/4

Критический параметр нагруж ения вы числяется согласно (5.43) при коэффи

циентах		(5.44).
Д л я тонкой			пластины симметричной
структуры		(Стп =		0)	решение задачи
значительно			упрощ ается			(итп =
= ^mn =		0), поскольку вместо систе
мы	(3X 3)	получаем			одно	уравнение
		*П — t e n			— 0 »
отсюда Л шп =			кц/&ц.		В развернутом
виде	критический			параметр		нагруж е
ния	определяется			минимизацией вы
раж ения
			t o	l	+ 2
Акр — min			X (D 12 + 2°3з) +
				+ ^nD22
	(m, n)

toto

__сим.

0 ,s _

где Xm = mn/a\ Xn = rm /6.

Выражения (5.45) можно использо вать также для оценки критических нагрузок тонких пластин несимметрич

ного строения при жесткостных харак теристиках D mn (5.40).

Список литературы

1.Бидерман В. Л. Механика тонко стенных конструкций. Статика. М.: Ма шиностроение, 1977. 488 с.

2.Васильев В. В. Механика кон струкций из. композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

Г л а в а 6

ИНЕРЦИОННЫЕ НАКОПИТЕЛИ ЭНЕРГИИ (МАХОВИКИ) ИЗ КОМПОЗИТОВ

Типичные характеристики композитов, применяемых для маховиков, пред ставлены в табл. 1. Они обладают дву мя достоинствами: высокой удельной прочностью при нагружении вдоль во локон, что приводит к потенциальной возможности аккумулирования боль ших количеств энергии на единицу мас сы и относительно безопасным, безосколочным разрушением в правильно спроектированной конструкции. Раз рыв у композитов сочетается с расслаи ванием, послойной размоткой и тре нием отделившихся слоев о корпус защиты. Меньшая опасность разруше ния приводит к уменьшению массы защиты, которая может составлять лишь 15—30% от массы защиты для металлических маховиков.

Анализ исследований [19—22] сви детельствует о том, что «абсолютно лучшей» конструкции маховика из ком позита типа равнонапряженного диска для металлов не существует. В зави симости от назначения и условий ра боты (маховики для стационарных или подвижных установок, работающие в условиях плавного или импульсного съема мощности, маховики для быто вых нужд или для изделий новой тех ники и т. д.) конструкция маховика и используемый тип композита могут быть самыми разнообразными. Кроме того, проектирование по энергоемко сти не укладывается в рамки тради ционных методов расчета деталей ма шин. Поэтому рассмотрим общие прин ципы проектирования энергоемких эле ментов маховиков, затем основные их типы, характерные для композитов, и

методы повышения их энергоемко сти.

6.1. Характеристики однонаправленных композитов [13, 14]

		Значение	характери
		стики для
Характе	стекло пластика	углепла стика	боропластика	органо пластика
ристики


vf		0,72	0,70			0,50	0,54
PV*IO- 8,		2,13	1,61			2,02	1,36
кг/м8		6,07	18,14		20,13		8,43
Е в - Ю-4,
МПа		2,44	17,53			9,27	17,43
E Q/E T
E QIGTQ		5,07	26,43		37,43		29,66
я $ - 1 0-»,		12,90	14,94		13,73		11,86
МПа		606	928			680	872
Я $ д у
кДж/ кг		28,0	37,3			24,6	108,2
п т
п у п гВ		28,0	22,1			21,8	43,0
Vr0		0,23	0,28			0,17	0,32
ct0*10е,		3,78	0,02			6,12* —2,88
градус- *		0,02	0,001			0,02	—0,05
a Qlar
П р и м е ч а н и е .					Принятые обо
значения:		Vj — объемное				содержание
армирующих волокон;					E Q, Е Г— мо
дули	упругости		соответственно вдоль
и поперек		волокон;		/7J,		Я+ — проч
ности	на	растяжение			соответственно
вдоль	и	поперек		волокон;			П г е —

прочность на сдвиг; vr0 — коэффициент

Пуассона; а 0,	а г — температурные
коэффициенты	расширения	соответ
ственно вдоль	и поперек	волокон;
Ру — плотность	материала.__________

14 П/р В. В. Васильева

6.1. ПРЕДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГОЕМКОСТЬ И МОЩНОСТЬ

ВРАЩАЮЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Оптимальное проектирование враща ющихся конструкций по энергоемко сти ставит своей целью достижение максимальных значений удельной мас-

м W

совой энергоемкости W = — (где

W — предельная кинетическая энер гия, запасаемая вращающейся кон струкцией; М — масса конструкции) и (или) удельной объемной энерго-

емкости W = тт— (где V0 — объем,

' о

необходимый для размещения враща ющейся конструкции). Эги характери стики являются комплексными: они зависят от предельной скорости вра щения конструкции, ее геометрической формы и плотности материала.

Среди подходов, позволяющих об наружить общие закономерности в на капливании вращающимися деформи руемыми телами кинетической энергии, можно выделить анализ связи между кинетической энергией, накапливае мой в объеме тела, и напряженным состоянием этого объема £9J. Резуль татом явилось следующее соотношение между кинетической энергией W %на копленной во вращающемся деформи руемом теле, интегралом по его объему от первого инварианта тензора напря жений /j (Т0) — Oifiij (где бtj — сим вол Кронекера) и вириалом поверх

ностной нагрузки ^ p r ds (где г —

радиус-вектор; р — распределенная по поверхности s сила), который может трактоваться как работа, совершаемая поверхностными силами при переносе точек их приложения в начало коор динат:

Щ	I l (Ta)dV = 2W + \| \| prds.
J v	S
	(6. 1)

Для вращающегося однородного те ла, свободного от поверхностных на

грузок, получим следующее значение его массовой энергоемкости:

	h ( T a)dV
~ V p v	2КРу
^1т ( Т а )		(6 .2)
2Ру	’	(6 .2)
2Ру	’

где Ру — плотность материала; / 1ш —

среднее по объему значение первого инварианта тензора напряжений.

Из анализа соотношений (6.1) и (6.2) вытекают приведенные ниже след ствия.

1. Заданному значению кинетиче ской энергии и вириала нагрузки вра щающегося тела должно соответство вать одно и то же значение интеграла от первого инварианта тензора напря жений по объему этого тела, не завися щее от его формы, объема и свойств материала.

2. Разность между интегралом по объему от первого инварианта напря жений и вириалом нагрузки, поделен ная на квадрат скорости, равна по лярному моменту инерции вращающе

гося	тела: поскольку W ^	-g - J p <о2,
где	J p — полярный момент	инерции

вращающегося тела; Ф — Угловая ско рость вращения, то

3. Чем выше отноШенИе среднего значения первого инварианта тензора напряжений по объему вРаЩающегося тела к плотности его материала при том же вириале нагрУзки» тем выше удельная массовая энергоемкость этого тела.

4. Максимально возМожн°е значение массовой энергоемкости конструкции из однородного материала Достигается, когда обеспечивается максимальное значение / г (Та) в каЖД0^ точке мате риала конструкции.

Следствие 4 требует уточнения вели

чины	max /j (Та). Естественно, что
max /1	(Та) должна удовлетворять кри
терию	прочности Ф (оа) = 0,	однако
требование достижения шах		(Та) в

каждой точке является более узким, чем условие равнопрочности конструк ции (одновременного разрушения кон струкции по всему объему). Напря женное состояние в каждой точке

должно быть не	просто	предельным,
а соответствовать	вполне	определен

ному сочетанию напряжений на пре дельной поверхности Ф (оц) = 0. Это сочетание определяется точкой касания

предельной поверхности	плоскостью
первого инварианта (сги +	сга2 + (Jsa =

= const), наиболее удаленной от на чала координат. В случае плоского напряженного состояния это поясняет ся рис. 6.1, а. Максимально возмож ная массовая энергоемкость будет до стигаться в конструкции с напряже ниями а{, а$ в каждой ее точке. К кон струкциям такого типа можно отнести равнонапряженный вращающийся диск

переменной толщины из	изотропного
материала, в котором а* =	а2 = const.

Такой диск будет обладать максималь но возможной массовой энергоемко стью. Вид предельной кривой Ф(сг^) изотропного материала при этом несу

ществен, поскольку для		любого вы
пуклого	критерия	прочности
шах /* (Га)	будет достигаться вслед

ствие симметрии на направлении ах = = аа (см. рис. 6.1, б). Для анизотроп ного материала профиль должен вы бираться из условия создания в каж дой точке а?, а? (см. рис. 6. 1, а).

Таким образом, эффективность вра щающейся конструкции при оптималь ном проектировании по энергоемкости может оцениваться следующим функ ционалом:

Г = 2 J J J M W K -

В случае проектирования по WM функционал (6.3) необходимо относить к массе конструкции (Л4), при проекти

ровании по W V — к объему (V0), необ-

Рис. 6.1. Схема определения компонент однородного напряженного состояния, обе спечивающего максимальную массовую энергоемкость вращающегося тела (опти-. мальные сочетания Oi, о*):

а — анизотропный материал; б — изотроп ный материал

ходимому для размещения конструк ции.

Представляет интерес исследование некоторых свойств конструкций с одно родным напряженным состоянием


(Ii (Т а,) =		max	It		(Т0) = const).
Из анализа (6.3) для равнонапряжен
ных конструкций				следуют		выводы.
5.	Если		равнонапряженные				кон
струкции		нагружены			поверхностной
нагрузкой,		имеющей			положительный
вириал	^ J J prds> 0 j , то их массовая
энергоемкость				меньше,		чем	W^

у свободных от внешней нагрузки (самоуравновешенных) равнонапряжен ных конструкций из того же мате риала:

WM__ m ax /!(Г д)

р -

2Ру

max 11 (Tо) л

< w g

2р^

6. В случае, когда поверхностные нагрузки на равнонапряженную кон струкцию создаются присоединенными массами (балластом), общая энерго емкость конструкции с учетом энерго емкости балласта равна энергоемко сти (W0) равнонапряженной конструк ции того же объема без балласта:

р= тсоаг0;

/х (Га) = const = max 1г (Т0);

14*

2W0 = max It (Та) V = 2W р +

+ J J mm*r0r ds = 2 (Wp + Wm),

где т — масса, распределенная по ци линдрической поверхности з радиу сом r0; Wp — энергия, накапливаемая самой конструкцией; Wm — энергия, накапливаемая присоединенной мас сой. При V = const е Wp + Wjn = = const (сами Wp и Wm могут ме няться).

Таким образом, использование бал ласта в равнонапряженных конструк циях, свободных от иной поверхност ной нагрузки, не увеличивает предель ной величины запасаемой ими энергии (при сохранении объема равнонапря женной конструкции) и, следователь но, уменьшает их массовую энергоем кость. Использование балласта в рав нонапряженных конструкциях может оказаться целесообразным лишь для уменьшения предельной скорости их вращения.

где M it wf* — соответственно массы и

предельные массовые энергоемкости элементов конструкции.

Полученные результаты позволяют в ряде случаев получить оценки энер

гоемкости маховиков,	не прибегая
к громоздким расчетам,	сопоставить

эффективность различных способов по вышения энергоемкости, проверить (с помощью следствия 2) точность рас четов напряженного состояния вра щающихся конструкций. Использова ние функционала (6.3) при оптимиза ции конструкции маховика может ока заться более удобным, чем прямое вы-' числение ее предельной энергоемкости. Рассмотрим общий подход к оценке возможности реализации с помощью маховика данной конструкции, тре буемого импульса мощности, заданного

в форме W = W (t) и преобразованно

го интегрированием к виду W ( W), Решение этой задачи заключается в оп ределении предельно возможных соче

таний мощности W и энергии W махо

7.Если вращающаяся конструкция вика и основывается на расчете пре

образована из	набора I элементов
с однородным	напряженным состоя

нием, то ее массовая энергоемкость меньше или равна среднему взвешен ному из массовых энергоемкостей ее элементов. Поскольку 1ц (Т0) постоя нен по объему каждого из элементов, то общая энергоемкость конструкции

г	Vtiu ^ 4 ” 2 V‘ max h i '
i	i

где шах 1ц — предельные значения первого инварианта, обеспечивающие максимальную массовую энергоемкость в 1-м элементе. Отсюда получаем

2 v iPv< ^

VtmaxIu (To)

2 к,рг< ( 2У(Ру/ )

2 ViPvt

2 M tw f i

дельных напряженных состояний в эле ментах маховика под воздействием центробежной силы и силы инерции вращения. Определяя эти состояния с помощью линейных критериев проч ности и полагая, что угловая ско рость © и ускорение © постоянны во всем объеме маховика, получим, что любая допустимая пара значе ний © и © должна удовлетворять не равенству

рv(o2b2ktdt + pva>b2k2d2 < Я, (6.4)

где б*, д9 — безразмерные напряжения от центробежных сил и сил инерции; klt &2, Я — параметры, зависящие от прочностных характеристик материа ла; b — характерный радиус маховика. Пусть цПр = соПрb — предельная ок ружная скорость при © = 0. Предель ная окружная скорость маховика дан ной конструкции определяется проч ностью и плотностью его материала не зависит (при сохранении подобия), от размера маховика. Введем харак

^ 1

терное время соотношением Т ---------

м	и безразмерное время I —	= /©Пр
м

(b2kidi + (bk2d2 = — —о— = П .

Pv^np

Так как оПр не аависит от b, то, следо

вательно, от Ь не зависят и Я, со, со. Подставив эти значения в выражение для текущей массовой энергоемкости

WM =	—	£ и массовой		мощности
WM =	(0(ob2J p ^где Ур =			— без
размерный		момент	инерции),	получим
		WM =	;	(6.5)
bW м = co(bco3 b3J„ = 2(b(h(oTir,bW					м
		пр		пр~ ,г пр>
				(6.6)
где		WМ
		пр •
Из	(6.5), (6.6)		следует,	что	WM

и bWM являются инвариантными ха рактеристиками по отношению к изме нению радиуса маховика. Таким обра зом, следующие системы координат фазовых плоскостей не зависят от аб

(о)6, ©6а), (W , bWM). Предельные режимы разгона-торможения, описан ные в этих координатах, могут быть использованы для характеристики ма ховика данной конструкции независи мо от его размеров. Любой режим тор можения или разгона, не выходящий за предельную кривую, может быть реализован (рис. 6.2).

Из инвариантности характеристик

и bWM следует, что при ^-кратном увеличении размеров маховика, сопро вождающемся увеличением массы в № раз, его предельная энергоемкость увеличивается в k8 раз, а предельно достижимая мощность лишь в k2 раз-

Положив k8 целым числом, рас смотрим агрегат, реализующий мощ

ность W и состоящий из п -■=kB махо виков с массой каждого М 0, радиу

Рис. в.2. Предельная мощность при под

воде и съеме	энергии:
1 — предельная	кривая; 2, 3 — допусти

мые кривые при разгоне и торможении

сом V	Для маховика, входящего
в агрегат,	получим

b0W/n _ b 0W

bWM

Для одного маховика того же типа, эквивалентного по массе и мощности агрегату, получим

kb0W	b0W
bWM	k2M 0 •
к>*М0	k2M 0 •

Следовательно, при реализации одной

и той же абсолютной мощности W фа зовая траектория агрегата на плоско

сти (W , bWM) лежит ниже фазовой траектории одного маховика такой же

/ b0W	b0W \	„
массы		Из 9ТОГ0

следует, например, что в импульсе постоянной мощности у агрегата реа лизуется больше энергии, чем в одном маховике той же массы (рис. 6.3), т. е. время торможения при той же по стоянной мощности у агрегата будет больше. Следовательно, в случае, когда нужно обеспечить заданную мощность в течение заданного интервала вре мени, для уменьшения массы накопи теля выгоднее использовать агрегат из нескольких маховиков, чем один

маховик.

При использовании нелинейных кри териев прочности, например квадра тичных, будет изменяться форма пре дельных кривых, однако основные ка-

Рис. 6.3. Графики торможения с постоян ной мощностью одного маховика (/) и агрегата из нескольких подобных махови ков (2) с одинаковой общей массой (3 ~ предельная кривая для маховика данного типа)

явственные результаты, связанные с по добием, останутся в силе (см. разд. 6.4).

в.2. НИТЯНЫЕ ОБОЛОЧКИ

ИДИСКИ

Одним из основных методов оптималь ного проектирования слоистых кон струкций из волокнистых композитов является подход, основанный на сете вом анализе. При таком подходе на правления армирования в каждом слое


совпадают с	траекториями		главных
напряжений;	принимается,		что ком
позит обладает		нулевой жесткостью
в направлении,		поперечном	армирова

нию, и работает лишь на растяжение вдоль волокон. В этом случае вычисле ние интеграла по объему от первого инварианта в зависимости (6.3) упро щается, так как а2 = а8 = 0. Очевид но, что максимальная массовая энерго емкость достигается в равнонапряжен

ных конструкциях	с	= const = П%
(/7J — прочность	однонаправленного

композита на растяжение вдоль воло кон).

Массовая энергоемкость вращающих ся равнонапряженных нитяных кон струкций из композитов не зависит от их формы и объема, а также от типов траекторий и схем армирования. Если армирующие волокна в самоуравновешенной (свободной от поверхностных

сил) конструкции равнонапряжены, то

еепредельная массовая энергоемкость

\{ \ ° ' i v

IVм	щ t_	(6.7)
	2pv
Щ Г ~

К числу таких конструкций относятся тонкие кольца и равнонапряженные стержни переменного сечения, равно напряженные нитяные диски, равно напряженные диски переменного сече ния с радиально-окружным армирова нием. Совпадающие результаты, полу ченные при исследовании их массовой энергоемкости,—это частные иллюстра ции описанного выше общего свойства равнонапряженных нитяных враща ющихся конструкций.

Если конструкция массой М обра зуется из i нитяных элементов, нахо дящихся в однородном напряженном состоянии, то ее массовая энергоем кость, как следует из следствия 7 (см. разд. 6. 1), не превосходит следующей величины:

м	_1_ S		M t n $ t
W'Ll	2	,	м <V« '

Таким образом, свободновращающийся тонкий обод, например, нецелесооб разно делать составным; тонкий обод и соединяющие его с валом равнона пряженные спицы целесообразно изго тавливать из материала с наибольшей удельной прочностью.

Присоединение масс (балласта) к равнонапряженным стержням и тонким кольцам, как следует из следствия 6, не повышает их энергоемкостей. Ис пользование балласта приводит лишь к понижению предельной угловой ско рости конструкции:

0)0

где G)m, (Do— предельные угловые ско рости кольца с балластом и без балла ста; / Ро — момент инерции кольца;

J D —- момент инерции балласта.

ИТП

Нитяные оболочки. К числу наи более распространенных нитяных кон струкций, рассчитываемых методом се-

тевого анализа, относятся оболочки. Рассмотрение с помощью функционала (6.3) энергоемкости, симметричной от носительно экваториальной плоскости вращающейся нитяной оболочки (рис. 6.4), с использованием уравнений равновесия приводит к следующему выражению для кинетической энергии вращающейся оболочки [9 ] (индек сом 1 обозначены значения параметров

на экваторе оболочки,	индексом «О» —
у полюсного отверстия):
W — 2 n a h 1	d z —
— COS^iQx ( г°	J ± - )
— COS^iQx ( г°	t g «0 ) '

Массовая энергоемкость нитяной обо лочки [9]

,— Oi cos3 (Pi ( Z0 — - T s - Л

WM = —				V		tg q 0/
2
Для равнонапряженной					оболочки С
о = П$ получим
	WM		I	" 1	,
			2 '	Ру
X			го cos3 ф ! \			(6 .8)
X			~z0 tg a 0		)	(6 .8)
			~z0 tg a 0		)
Из (6.8) следует, что массовая энер
гоемкость равнонапряженных						замкну
тых (го =	0)	или	с плавным			сопряже
нием на	полюсе		^ а 0 =			оболочек
в sin2 фх	меньше массовой энергоемко
сти тонкого		кольца.
Значение		<р2 = -g-		возможно лишь

при <р = -5- или при г = 0. В пер

вом случае оболочка должна иметь фор му цилиндра, во втором случае она вы

Рис. 6.4. Параметры тонкостенной обо лочки, симметричной относительно эквато риальной плоскости

рождается в плоский равнонапряжен ный диск. Для цилиндра и самоуравновешенного диска с волокнами, каса ющимися полюсного отверстия (<р0=

я\

=-g - 1, массовая энергоемкость равна

исоответствует (6.7).

Траектории армирования и формы

меридианов пустотелых равнонапря женных оболочек определяются зави симостями

sin <р =	] / "	sinaq>i-----(1 — r« );
	2	COS фх
		ум

X	— ascsin		Хг3 — sin3 ф! N
			X — sin ^ j. / ’
			(6.9)
где г =	г		г
	— , z	= ------- соответственно

аа

приведенные текущий радиус и осевая координата (а — радиус экватора обо-

лочки); X =	р„о) 2 а 2
	---------(а —■ заданное на

пряжение з направлении армирова ния).

Полный анализ условий существова ния решений при различных значениях параметра X приведен в [1]. Практи ческий интерес могут представлять лишь оболочки из семейств, определяе мых соотношением sin2 ф2 < X ^ < 2 sin2 ф2. В случае выполнения не-

равенств оболочки имеют полюсные отверстия определенного радиуса г0=

2 sin2 фх

1, по контуру кото

рого распределены осевые усилия с рав нодействующей Q = 2nhxaa cos2 фх. Случай Я = 2 sin2 ф* определяет зам кнутые оболочки с образующими, за висящими от параметра ф*, и траекто риями армирования, проходящими че-

1-Т	я	обо
рез ось вращения. При ф* =		обо

лочки вырождаются в плоские диски. В равнонапряженных оболочках свя зующее нагружено межслоевыми каса тельными напряжениями. Траектории армирования таких оболочек суще ственно отличаются от геодезических и при реальных значениях коэффи циента трения ленты о поверхность оправки намоткой можно изготовить лишь очень пологие оболочки (г0 ^ ^ 0,75). В остальных случаях необхо димо применять выкладку по расчет ным траекториям. Результаты иссле дований вращающихся оболочек, про веденных под руководством С. Б. Че-

ревацкого, приведены ниже.

Форму и траектории армирования равнонапряженных оболочек можно определять не заданием Я и ф*, а при

помощи	эквивалентного Я параметра
Аа2	(А = та)2ап, где т — масса
сх = - у -	(А = та)2ап, где т — масса

единицы длины нити; п — число нитей в поперечном сечении оболочки, Т —

натяжение нити) и параметра с2= - Д г

п1

(где Q — пТ cos ф sin а), равного от

носительной величине	осевой силы:
sin2 ф =	г2 +

sin ос =	Ъ .
sin ос =	СОЭф ’
1
	a dr.
г

В связи со сложностью технологиче ской реализации равнопрочных оболо чек целесообразно рассмотрение вра щающихся оболочек, намотка которых не сопряжена с технологическими труд ностями, т. е. оболочек, намотанных по геодезическим и линиям предель ного отклонения (ЛПО). Натяжение нити в таких оболочках неравномерно, в выражения для сг и с2 подставляются предельно допустимые его значения. Для геодезических оболочек

sin ф =	-4Д-;
	г	’
sin а =	С2
sin а =	sin ф	*

Для оболочек ЛПО траектории арми рования и формы меридианов опреде ляются из решения системы

	X	sin2 a cos ф	sin ф .
		cos а	” 7 “		’

	-^(.sincc)		sin а
			— 5— X
			COS2	ф
х	( — г cos ф sin а			sin2 ф
				г	) .
	\ с2

где k — коэффициент трения между нитью и поверхностью. Знак коэффи циента трения определяет расположе ние траектории укладки нити по отно шению к геодезической, большая энер гоемкость соответствует k > 0.

Наличие осевой силы и неравномер ность натяжения нитей приводят со гласно изложенному в разд. 6.2 к су щественному падению массовой энер гоемкости по сравнению с предельной,

равной

Максимальные значения

массовой энергоемкости геодезических оболочек не превышают 55%, а оболо чек ЛПО —■65% от предельной, до стигаемой в свободновращающемся тон ком кольце или цилиндре, изготовлен ном окружной намоткой. Поэтому бо лее целесообразно использовать обо лочки не в качестве накопителей энер гии, а для связи энергоемкого обода

Рис. в.5. Маховики в виде оболочек с внутренним (а) и внешним (б) ободами

в виде кольца или цилиндра с валом. Сочетая оболочку, намотанную по гео дезической или по линиям постоянного отклонения, с расположенным внутри нее ободом (рис. 6.5, а), можно до стигнуть массовой энергоемкости, со ставляющей 0,865 от предельной. Уве личивая осевую ширину обода и рас полагая его снаружи, можно умень шить относительный вклад в энергоем кость малоэффективных в энергетиче ском отношении оболочек.

Такой маховик (рис. 6.5, б) будет состоять из энергоемкого обода-ци линдра, изготовленного окружной на моткой, расположенного под ним тон костенного цилиндра со спиральной намоткой, сочетающегося с двумя плав но переходящими друг в друга оболоч ками, намотанными по линиям постоян ного отклонения. Расчет составного маховика, приведенный в [1 1 ], пока зывает, что в такой конструкции можно достичь массовой энергоемкости, близ кой к предельной.

Вращающиеся оболочки обладают низкой объемной энергоемкостью. Ис пользование балласта в виде жидкости, заполняющей внутренний объем равно напряженной оболочки, рассмотрено в [2]. Оболочки с балластом имеют меньший осевой размер и в соответ ствии со следствием 6 (см. разд. 6. 1) меньшую угловую скорость. Траекто рии их армирования совпадают с траек ториями равнонапряженных пустоте лых оболочек.

Практически оценивая целесообраз ность использования оболочек в каче стве энергоемких элементов махови

ков, можно отметить следующее: ос новным достоинством маховиков-обо лочек является возможность использо вания намотки для их изготовления и простота соединения с валом; удельная массовая энергоемкость даже равнона пряженных оболочек меньше, чем у ко лец (неравнонапряженные оболочки уступают им еще более существенно); в полюсных отверстиях вращающихся оболочек возникают существенные уси лия, для восприятия которых могут понадобиться массивные ступицы, что еще более понизит массовую энергоем кость оболочек; оболочки требуют для своего размещения значительного объ ема и, следовательно, обладают низкой объемной энергоемкостью; их трудно балансировать, динамические характе ристики вращающихся оболочек прак тически не исследованы.

Нитяные диски. Методы сетевого анализа можно распространить и на проектирование равнонапряженных вращающихся дисков [11, 12]. Расчет ные зависимости получаются из (6.9) при углах армирования на полюсе и

экваторе, равных я

sin’ <p = 4 - " ’ + ( ! -----

Практический интерес представляют траектории армирования, соответству ющие 1 ^ А, ^ 2 (рис. 6.6, а, б). При X = 1 диск вырождается в тонкое кольцо, при X = 2 армирующие нити образуют сплошной диск — в соответ-

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202228.33 Mб511473.pdf
#
15.11.202228.38 Mб81474.pdf
#
15.11.202228.78 Mб131476.pdf
#
15.11.202228.84 Mб841477.pdf
#
15.11.202229.52 Mб41479.pdf
#
15.11.202229.77 Mб31480.pdf
#
15.11.202229.98 Mб191481.pdf
#
15.11.202230.47 Mб221483.pdf
#
15.11.202230.67 Mб51485.pdf
#
15.11.202231.03 Mб31486.pdf
#
15.11.202231.03 Mб31487.pdf