и В0, которые определяются по форму­ лам (2.3) и (2.14).

2.2.ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ

Наиболее перспективно применение композитов в тонкостенных стержнях (рис. 2 .8), которые изготавливаются намоткой или выкладкой одно­ направленной или тканой ленты под различными углами к оси и исполь­ зуются в качестве элементов фермен­ ных конструкций, подкосов, лонжеро­ нов, винтов самолетов и вертолетов, приводных валов и т. д.

сечения осуществляется на основе гипо­ тез балочной теории, согласно которым принимается, что поперечное сечение не деформируется и при растяжении, сжатии, изгибе и кручении стержня перемещается и поворачивается как жесткий диск. При нагружении к стен­ ке стержня возникают осевые нормаль­ ные усилия Nz (z, s) и касательные усилия Nza (z, s), которые сводятся к осевой силе Р (z), поперечным силам Qx (z) и Qy (z), изгибающим моментам Мх (z), Му (г) и крутящему моменту Mz (г) (см. рис. 2.8). Силы и моменты,

по в. Решение уравнений (2.15) ана­ логично решению (2 .6):

стержень дополнительно действуют со­ средоточенные нагрузки, в правую часть равенств (2.16) добавляются сла­ гаемые, аналогичные составляющим

(2.7).

Стержень с однозамкнутым контуром поперечного сечения для усилий Nz и Nza является статически определи­ мой системой. Эти усилия выражаются через силы и моменты, действующие в сечении с помощью условий равно­ весия элемента стержня, показанного на рис. 2.8. В частности, продольные

Рис. 2.9. Элемент оси стержня с приве­ денными к оси силами и моментами

D°x = D x - ! f o S '> D °y = D « - * 0 S >

у = у — Уо — Пу(х — х0). (2.20)

Входящая в формулы (2.17) и (2.19) величина В обозначает жесткость стен­ ки стержня при растяжении или сжа­ тии в осевом направлении. Если контур сечения не деформируется (т. е. при­ нимается, что е8 = 0 ), то

где k — число слоев стенки; hi — суммарная толщина элементарных слоев с углами армирования ±<р* (структура материала считается сим­ метричной); <р£ — угол между осью

основного армирования слоя и_обраэующей стержня (см. рис. 2.8); Е[1\ —

соответствуют направлению основного армирования и ортогональному на­ правлению' в плоскости слоя); Е, G, v — соответственно модуль упру­ гости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона.

Иногда вместо условия е8 = 0 вво­ дится условие отсутствия контурных напряжений (а8 = 0 ) . В этом случае

На практике формула (2.21) исполь­ зуется для коротких стержней, а также в случаях, когда жесткость контура сечения обеспечивается упругим за­ полнителем, поперечными ребрами или стенками. В случае длинных пустотелых стержней продольная жесткость определяется по формуле

(2.22).

Суммы в равенствах (2.19) учитывают продольные подкрепляющие эле­ менты. Число таких элементов в сече­ нии обозначено через m\Ej, Fj, xjt yj — модуль упругости, площадь и коорди­ наты центра поперечного сечения /-го элемента. Напряжение в /-м продоль­ ном элементе определяется формулой, аналогичной (2.17), т. е.

Величина 5 является осевой жестко­ стью стержня, величины S*, S y и Dy>Dxy (2.19) являются жесткостными параметрами, аналогичными стати­ ческим моментам и моментам инерции сечения. Индекс «0» в равенствах (2.18) обозначает характеристики, соответ­ ствующие осям, параллельным задан

ннм и проходящим через точку о коор­ динатами *о и у0, аналогичную центру тяжести сечения. И наконец, коорди­ наты х и д (2 .2 0) соответствуют цен­ тральным главным осям.

Формула (2.17) записана для произ­ вольной системы координат дс, у , к ко­ торой отнесено сечение стержня. Если контур сечения имеет ось симметрии, например ось х (рис. 2.10, а), то S x =

Если сечение имеет две оси симметрии (рис. 2.10, б), то дополнительно S y = = 0 и

(2.23)

В продольных элементах

В ( Р 1 МХ , Му \

0 ' ~ 4 s + D > + D , * ) ■ (2.24)

Сдвигающие усилия определяются следующим образом:

Nzs = N l ( z , s) + < . (2.25)

Составляющая

N* = - * [ - § | - <s) + - Щ - SB <«>]

(2.26)

Рис. 2.10. Сечение с одной (а) и двумя (б) осями симметрии

в соотношения (2.27), учитывают про­ дольные подкрепления, через т8 обо­ значено число подкрепляющих эле­ ментов, расположенных на рассматри­ ваемом интервале (от s = 0 до теку­ щего значения s).

Составляющая N%s, не зависящая

от 5 , компенсирует произвол в выборе начала отсчета контурной координаты и обеспечивает статическую эквива­ лентность усилий NZ6 крутящему мо­ менту MZt действующему в сечении. Тогда

где г — длина перпендикуляра, опу­ щенного из начала координат на каса­ тельную к контуру (рис. 2 .1 1 ); F — площадь, ограниченная контуром сечения. Запишем окончательную формулу для сдвигающих усилий

обеспечивает статическую эквива­ лентность усилий NZ8 поперечным си­ лам Qx и Qy, действующим в сечении. Функции sx (s) и sy (s) зависят от

начала отсчета координаты s и имеют вид

Координаты Jf и § определяются ра­ венствами (2.20). Суммы, входящие

Рис. 2.11. Геометрические характеристи­ ки сечения

где

р у (s> = - - B ^ L M e ) ~

—s*( s) r ds] -

Равенство (2.28) соответствует про­ извольной системе декартовых коор­ динат. Если сечение имеет ось сим­ метрии (см. рис. 2 .1 0 , а) и начало от­ счета координаты s принимается в точ­ ке пересечения контурной линии и оси симметрии, то контурный интеграл в функции Fx (s) исчезает. Если сече­ ние имеет две оси симметрии (см. рис. 2 . 1 0 , б), то целесообразно исполь­ зовать формулу (2.28) сначала для анализа реакции стержня на силу Qx, а затем — на силу Qy. Если в первом случае отсчитывать контурную коор­ динату от точки Л, а во втором — от точки Б, то в равенствах (2.29) исчезают оба контурных интеграла.

При Qx = 0, Qy = 0, т. е. в случае чистого кручения, из (2.28) следует известная формула Бредта:

Nza = Mz/2F.

Таким образом, нормальное и сдви­ говое усилия, возникающие в стержне при осевом нагружении, изгибе и кру­ чении, определяются равенствами (2.17) и (2.28). Приведем выражения для относительных деформаций стен­ ки стержня. Осевая деформация опре­ деляется в точке с координатами х, у следующим образом:

— углы поворота сечения вокруг осей

XИу.

Деформация сдвига имеет вид

где сдвиговая жесткость стенки

с - в . - ! ; * ,[ ( * ! '» + 4 ' » -

1=1

— 2 £{*Ч}2 *) sin2 ер, cos2 ф, +

По деформациям стенки могут быть найдены деформации армированного слоя в главных осях ортотропии

е12 = (е« — ег) sin 2Ф< + ezs “ в 2ф,.

Угол армирования слоя (гЬф*) под­ ставляется в эти формулы со своим знаком (см. рис. 2.8). Деформации ег и eZ8t входящие в равенства (2.35), определяются соотношениями (2.30) и (2.33). Для жесткого контура сеч* ния, когда осевая жесткость опре деляется по формуле (2 .2 1), контурная деформация е8 принимается равной нулю, а для податливого контура сече ния, когда осевая жесткость опреде­ ляется по формуле (2 .2 2 ), es - = —ezB12/B2а (при этом учитывается деформация контура сечения за счет эффекта Пуассона).

По деформациям слоя могут быть

Приведем выражения для переме­ щений точки стержня по осям х, у , г:

их = и + удг;

иу = v — xOz; uz = w + yOx + хду.

Здесь и, vt w — перемещения начала координат (см. рис. 2 .8 ) по осям ху у, z, причем w определяется равен­ ством (2.31), а « и у принимают вид

'г

“ = “ о + 1 Of* — 0»)

»= »о+ J Olty —0*) d2.

а

Выражения для углов поворота 0 Х, 0Уимеют вид (2.32), а углы сдвига tyx и фу при поперечном изгибе в пло­ скостях хг и угу а также угол поворота сечения относительно оси г опреде­ ляются следующими равенствами:

Фх = cx Q x + c x y Q y + c x z M z \

= CyXQx + CyQy + cyzMz; (2.38)

г

0z =? 0o + |*(czxQx + CzyQy + czMz)dz,

6

Ф°рму (2.29) и (2.34). Если сечение

В случав шарнирного опирания об­ ращаются в ноль перемещения опорной точки и моменты относительно осей, проходящих через эту точку.

Приведем некоторые полезные со­ отношения. Перемещения по касатель­ ной и по нормали к контуру сечения (см. рис. 2 .1 1 ) выражаются следующим образом:

и8 = и cos р — v sin Р + г0 2;

ип = и sin Р + v cos Р + tQz.

Здесь и, v и 0Z определяются равен­

отрезки нормали и касательной, пока­

занные на рис. 2 .1 1 .

В сечении произвольной формы мож­ но выделить центр изгиба, облада­ ющий следующим свойством: сила Qx или Qy, приложенная в центре изгиба, не вызывает закручивания стержня. Координаты центра изгиба имеют вид (см. рис. 2 .1 1 )

и = Cyjr/c25 Ь == cxzlc z .

Если сечение имеет ось симметрии, то центр изгиба лежит на этой оси. В се­ чении, имеющем две оси симметрии, центр изгиба совпадает с точкой пере­

является трехслойной и состоит из несущих слоев и легкого заполни­ теля — пенопласта (рис. 2.13, а). Несу­ щие слои образованы из углепластика

ральных слоев с углами армирования

веши продольными ребрами из боропластика с параметрами Ет>= 210 ГПа, Fv = Ю-* ма.

Для определения сил и моментов, действующих в сечениях стержня, вос­ пользуемся равенствами (2.16) и схе­ мой на рис. 2.12. В этом случае

P = Qx = M y = M2 = 0;

Qy = - Q ; Mx = Q ( l - z ) .

Жесткости стенки согласно (2.21) и (2.34) (контур считается жестким,

=66,4-10-» ГПа-м;

С= В88 = 2-0,6-10-» (180,4 + 6,21 -

—2,52) i - + 2 0,3-10-»-5 =

=55,6-10“ 8 ГПа-м.

Оси Ху у являются главными и цен­ тральными. В стенке и в продольных элементах в соответствии с (2.23) и (2.24) имеем

где в соответствии о (2.19)

12

D ^ & B y ' d s + Y i E p F p B ) -

= я . 66,4.10-». 10“» +

+ 210.10-*. 10-* ^2 + 4 А + 4 i - ) =

= 1,47-10-* ГПа-м4.

Таким образом,

Nt = 45,2QR ^ 1 ---- j - ) cos Р =

= 4,52-10-* ^1 — y ) c o s P ;

О] = 14310*Q1? ^ 1 ---- cos Ру =

= 14,3 ( 1 - 7 - ) cospy.

площади сечения элемента 7, последо­ вательно найдем

sj^ - 2 = 66,4.10- 3 -10~2 sin р +

+-i~210-10-*-0,1 = (66,4 sin Р +

+10,5) 10-* ГПа-м»;

Распределение относительных сдви­ гающих усилий по контуру сечения показано на рис. 2.13, в.

Перейдем к определению деформа­ ций. Из равенств (2.30), (2.32) имеем

Здесь Nz в Н/м; О] в МПа. Максимальные значения, усилий и

напряжений реализуются в сечении z = 0 . На рис. 2.13, б показаны отно­ сительные средние напряжения в стен­

ma

= BR%sin P + EpFpR ^ cos P^. i=l

Функция sx (s) вычисляется по уча­ сткам. Помещая начало отсчета коор­ динаты s в точке 7 (см. рис. 2.13, а) и относя к первому участку половину

QV-*) R cos р.

Dx

Из соотношения (2.33)

QSx (S)

eza DXC ‘

Рассмотрим наиболее нагруженное сечение г = 0. Например, в окре­ стности точки 7, т. е. при Р « 0,

1 0 »-10,5-10" 6 б»* — 1,47-10“*-55,6 -10“* -10*

= п 013-10-*.

Деформация в элементарных слоях

согласно равенствам (2.35):

в слоях с углами армирования ±45

*1 = "2 " (ег ± ега) =

= (0,34 ± 0,0065) 10”4;

еа = - у (ez ^ ега) =

деформация е8 = 0. Для пустотелого стержня согласно (2 .2 2 )

образованной из спиральных и коль­ цевых слоев, в формулах для коэффи­ циентов жесткости стенки Втп следует

вания, находятся по формулам (2.35), в которые подставляются ег согласно (2.39), е8 в соответствии с (2.40) (или полагается еа = 0 ) и принимается eZ8 = *= 0. Напряжения в слоях определяют­ ся с помощью закона Гука (2.36) для

работающих на растяжение или сжа­ тие, может быть осуществлена с по­ мощью структурных (см. гл. 5, ч. 1 ) или феноменологических (см. гл. 8 , ч. 1 ) критериев прочности слоистых

лой Р стержня, образованного из спиральных и кольцевых слоев. При растяжении первым разрушается кольцевой слой, в котором образуются кольцевые трещины. Критерии проч­ ности, соответствующие различным механизмам разрушения (разрушение связующего, нарушение #адгезионной прочности, поперечное *разрушение органических волокон), определяются равенствами (5.26)—(5.30) (см. гл. 5, ч. 1). Обсуждаемое разрушение коль­ цевого слоя не приводит к существен­ ному снижению несущей способ­ ности стержня. При дальнейшем воз­ растании осевой силы в кольцевом

2xRh Ю'г , МПа