-Т Г £«*Т*) + -1Г l i r * * r +

—е ' —е

+ п f - p - ( w

Г л а в а 3

V

+ Щ ръ l ^ r - b xHj> .

Входящие сюда параметры Я, Не были приведены в обозначениях к фор­ мулам (2.42).

Список литературы

1. Васильев В. В. Механика конструк­ ций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

2.Прочность, устойчивость, колеба­ ния. Т. 1. М.: Машиностроение, 1968. 831 о.

3.Тарнопольский Ю. М., Хитров В. В. Стержни из композитов для ферменных конструкций//Меканика композиционных материалов. 1986. № 2. С. 268—268.

4.Krause Н., Schelllng Н. Mehrachslg

beanspruchte Drei — Richtungs— Wickelrohre aus V erstlrkten Kunststoffen//Kunststoffe. 1969. Bd. 69. H. 12. S. 911—917.

6. Snell M. B. Strength and elastic responce of symmetric angle—ply cfrp// Composites. 1978. Vol. 9. N 4. P. 167— 176.

более высокий коэффициент внутриструктурного трения позволяет ре­ ализовать схемы армирования в более широком диапазоне геодезического отклонения.

Однако «сухой» способ требует более сложного технологического оборудо­ вания. Поэтому чаще употребляется «мокрый» способ намотки. При этом армирующий материал проходит пропитку связующим непосредственно перед укладкой на оправку. Изготов­ ление стыковочных увлов произво­ дится путем подмотки ткаными лен­ тами. Неполярные отверстия полу­ чают посредством прорезания с под­ креплением периметра ткаными сал­ фетками.

J.I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ

КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК

ВРАЩЕНИЯ

Основной расчетной схемой при анализе напряженно-деформирован­ ного состояния конструкций типа бал­ лонов давления является слоистая безмоментная оболочка вращения. Оболочка нагружена постоянным внутренним давлением р и осевыми силами Q0, равномерно распределен­ ными по краю полюсного отверстия радиуса г0. Осевые силы могут изме­ няться от значения Q0 = 0 для баллона с открытым полюсным отверстием до значения Q0 = p r j 2 , соответству­ ющего полюсному отверстию, закры­ тому жесткой силовой крышкой. В чис­ ле слоев могут быть изотропные типа внутренней герметизирующей обо­ лочки и слои из композита, образо­ ванные нитями, уложенными под уг­ лами +ф* или —ф* к образующей. Учитывая взаимодействие между слоями, уравнения равновесия слоя при осесимметричном нагружении можно записать в виде [14]

i r ( f l ^ fc)- w efe- ^ - + ^ p ofe= 0 ;

-|г (в л г а „*) +

+ ^ оВЙ- ^ - + ДВррЛ = 0; (3.1)

радиусы кривизны, вычисляемые с по­ мощью соотношений

В общем случае для оболочки, со­ стоящей из одного изотропного слоя и нескольких пар армированных сим­ метричных слоев с углами укладки ±Фг, на каждый из них будут действо­ вать нагрузки q0, qt и р0, pi (рис. 3.2). При этом удовлетворяются соотно­ шения

п

Знаки «+» или «—*» соответствуют углам +ф* и —Ф/. Между армирован­ ными слоями действует кольцевая само-

уравновешенная для каждой пары сло­ ве нагрузка ± т ;, т. е. p ft= do

Таким образом, для нитяных слоев гистема (3.1) приводится к виду

■ w (rN*‘) ~ Nh +

+ г 1 / 1 + (г')а - | - = 0 ;

f - s r < ' I " W ± ' , / T + < 7 > 4 - 01

(3.2)

Т Щ г П + ' Н -

- г 1 / 1 + (г')* -§ -= 0 .

Интегрировав первое и третье урав­ нения системы (3.2) и проведя некото­ рые преобразования, можно записать зависимости для определения безмоментных усилий с учетом осевых сил Qil2 , действующих на отдельный слой по параллели с радиусом /■<,*:

В пределах каждого слоя модель композита можно представить в виде системы гибких нитей. Тогда толщина слоя, уложенного под углом +<р* или —<р*, может быть выражена через число нитей tit!2 , образующих отдель­ ный слой, и приведенную площадь сече­ ния нити f (с учетом связующего):

Равенство (3.4), в сущности, пред­ ставляет собой технологическое огра­ ничение, выражающее условие не­ прерывности намотки — постоянство числа нитей, проходящих через любое поперечное сечение оболочки.

В соответствии с механикой нитяных систем связь безмоментных усилий с напряжениями в ленте выражается через напряжения в ленте с помощью равенств

N % t = ± о и Ц - Sin ф, cos ф, =

Ountf

= ± - i f c r s m b .

Здесь оц — напряжения в нитях i-го слоя (в силу симметрии намотки одинаковые для слоев ± ф *). Непосред­ ственно из формул (3.3) и первых двух равенств (3.5) вытекает условие, что безмоментные усилия Nat и N$t вос­ принимаются одним семейством нитей только в том случае, если между фор­

мой оболочки 2 (г), траекторией арми­ рования и нагрузками Q*, pt (г), qt (г) существует зависимость

z*

2 ' [ 1 + ( 2 ')2] **

___________ Р £ _____________

г

Qt'ot + J (z'Qt +Pt)rdr

гоt

(3.6)

Соотношение (3.6) может быть на­ звано условием существования обо­ лочки вращения, образованной си­ стемой гибких нитей. При невыполне­ нии этого условия оболочка превра­ щается в механизм, т. е. не воспри­ нимает внешней нагрузки в рамках гипотез нитяной системы.

Если связь формы образующей обо­ лочки, схемы армирования и условий нагружения соответствует равенству (3.6), то напряжения в нитях опре­ деляются однозначно с помощью фор­ мулы

При этом усилия взаимодействия вну­ три пары слоев вычисляются непосред­ ственно из второго уравнения системы (3.2) с учетом равенств (3.5) и (3.7):

(3.8)

Второе условие технологической реализуемости конструкции сводится к условию равновесия ленты на оправ­ ке в процессе намотки (условию несоскальзывания нити), которое опре­ деляется неравенством

Здесь kT — располагаемый коэффи­ циент трения нити на поверхности оправки; 0 * — угол геодезического отклонения нити /-го слоя (угол между нормалью траектории и нормалью по­ верхности оправки), тангенс которого выражается формулой

неравенство (3.9) представляется в форме

± ( r s l n b )

1 Г? cos2 ф,

•"Г + (г Т +*'51па Ф,

(3.10)

Выражения (3.6)—(3.10) являются общими соотношениями, позволя­ ющими проектировать широкий класс баллонов давления при различных схемах армирования.

В случае оптимального армирования композитной силовой оболочки бал­ лона давления без несущего гермети­ зирующего слоя по критерию мини­ мума массы целевая функция опреде­ ляется равенством

п

о = 2 PJV S H - t=i

Здесь Su — длина нити /-го семейства; Pi — плотность материала.

Ограничениями в задаче проектиро­ вания являются условия существова­ ния слоя оболочки как нитяной си­ стемы в форме (3.6), которые допол­ няются условиями прочности:

нити /-Г0 слоя

+ J (z'<7i + Pi) r dr

roi

связующего при межслоевом сдвиге

~УГ+ (z')a ~ З Г + г У 1+ (z')s

— соответственно нормальная и гео­ дезическая кривизны кривой на по­ верхности. С учетом выражений для главных радиусов кривизны Ri и Rf

(где djf, fl2i — прочность материала /-го слоя при нагружении в направле­ нии армирования и при сдвиге), а так­ же условиями технологической реали­ зуемости:

непрерывности армирования

ritf — const|

ными по краю полюсного отверстия радиуса г0. Кроме того, в окрестности полюсного отверстия находится метал­ лический фланец радиуса т— Ъ (рис. 3.3). Оболочка образована намот­ кой одного семейства нитей, уложен­ ных по геодезическим линиям поверх­ ности. При этом в окрестности фланца

ющей к фланцу, определяется реак­ цией со стороны фланца. При дополни­

по радиусу, соответствующие нагрузки

формы меридиана (3.6) с учетом усло­ вий нагружения и закона армирования (3.13) приводится к виду на первом участке

Уравнение (3.14) допускает разделение переменных; его первый интеграл имеет вид

г(г2 — tp

Уa2 (r*-r%)

— гг (а2 — rg) (г2 — ф 2

(3.15)

Постоянная интегрирования в ра­ венстве (3.15) определена из условия параллельности касательной к обра­ зующей оси вращения Ог при г = а.

При численном интегрировании ра­ венства (3.15) следует учесть, что соответствующий интеграл является несобственным в окрестности г = а.

-с*

Рис. 3.8. Характер нагружения оболочки

Его оценка может быть записана в фор­ ме

y i — йа"*(*’ Ч>+

+ У Г = Л ь Е (к , л), (3.16)

где F (kfx\),Е (k, Т))—эллиптические ин­

образующая оболочка может быть по­

стояние образующей до оси вращения и только для оболочки со свободным отверстием (Q = 0 ) совпадает с ра­ диусом г0. Это и вызывает необходи­ мость достраивать меридиан на участке фланца (см. рис. 3.10, штри-

' + У ' + т % >

Уравнение для построения образу­ ющей на участке г0^ г ^ .Ь получается непосредственно из (3.14) при tQ= г0, его первый интеграл

Ч = г У ^ 7 | ( б г - Ш 1 / Н ^ г §

V a 2 { V - r D (а2— tl)2 — * *

(3.17)

При этом постоянная интегрирова­ ния определёна из условия сопряжения участков образующей при г = 6 , т. е. г\ (ь) = Zg №)• Уравнение (3.17) также допускает решение в эллиптических интегралах

^г

У т1 + т 2

Постоянная С определяется ив условия сопряжения двух частей оболочки при

Зависимости (3.16), (3.18) представ­ ляют семейство образующих оболочек вращения, зависящих только от двух безразмерных параметров f0 = rja и Qo/pr0. При этом уравнение (3.16)

днищ при различных радиусах полюс­ ного отверстия и значениях параметра Qo/pr0. На рис. 3.5 показана зависи­

баллона, от параметров г0 и Qo/pr0. Проектная толщина оболочки на эква­ торе

h _ Р (а2 — rl) + 2Qr0

°2 ad1 cos2 <pa

Внутренний объем оболочки находится численным интегрированием выра­ жения

результаты расчета показаны на рис. 3.6. Масса силовой оболочки без учета фланца

s.- | - J L - jy rn Z F »

на нити от экватора до полюсного отверстия.

Соответствующие графики показаны на рис. 3.7. Формула (3 .2 0) может быть преобразована к виду

рис. 3.8. Из графика следует, что только при малых радиусах полюс­ ного отверстия &ф = 3. Для больших полюсных отверстий и разгруженных днищ (QJрГо _^о) его величина может

существенно отличаться от значения полученного • с помощью энергетиче­ ского подхода.

z„/a

Рис. 3.5. Зависимость высоты днища z j a от радиуса полюсного отверстия r ja и па­ раметра нагрузки <?о/рг0

У/а1

V

?*

1,5

I*

1,3

%г V 1%о

зической намоткой, от радиуса полюсного отверстия г0/а и параметра нагрузки Q jpr^

Одним из способов изготовления баллонов давления, связанным с ис­ пользованием высокопроизводитель­ ного оборудования для намотки — станков планетарного типа, является плоскостная намотка [1 1 ], основное достоинство которой — технологич­ ность и простота исполнения. При такой намотке спиральный виток ле-

Рис. 8.8. Зависимость коэффициента фор­ мы днища Аф, образованного геодезиче­

ской намоткой, от радиуса полюсного от­ верстия r j a и параметра нагрузки Q0/prо

жит в одной плоскости, составляющей угол у с осью вращения (рис. 3.9). Непосредственно из очевидных соотно­ шений геометрических

х = г cos Р; у = r sin Р; * —

=У ctg у

идифференциальных

следует зависимость для определения закона изменения угла армирования

tg Ф 1/1 + (Z')aУ г* ctga7 — z2 (3.21)

Условие существования равновесной формы меридиана оболочки, образованной намоткой одного семейства нитей (3.6), для баллона давления имеет вид

где на участке фланца следует при­

следует из равенств (3.21), (3.22),

Форма образующей строится числен­ ным интегрированием уравнения (3.23) при начальных условиях на участке /:

Кроме того, определение тангенса угла наклона витка при заданном радиусе полюсного отверстия г0 требует при­ менения метода последовательных при­

Лра

а2 d! cos2 у ’

Условие технологической реализуе­ мости проекта контролируется усло­ вием несоскальзывания нити (3.9),

т о ч к а п е р е к л ю ч е н и я н а г е о д е з и ч е с к у ю н а ­ м о т к у ); 3 — г е о д е з и ч е с к а я н а м о т к а r J a =

=0 ,2 6

которое для плоскостной намотки при­ нимает вид

Напряжения в ленте армированного материала в соответствии с равенством

ющей для баллона давления с пара­ метрами г0/а = 0,25, tg у = 0,4 пред­ ставлены на рис. 3.10. На рис. 3.11 показаны значения тангенса'угла гео­ дезического отклонения для различных точек меридиана, а на рис. 3 . 1 2 — изменение напряжений в ленте. На этих же рисунках показаны значения соот­ ветствующих параметров для равно­ напряженной оболочки, образованной геодезической намоткой. Имеющиеся различия в большой степени зависят от радиуса полюсного отверстия; для г0/ а < 0 , 1 они становятся несуществен-

dt . 2 Z'( r « - e » ) t g e ,

dr r* — tl

0 (3.26)

^ - у г + < ? р .

При этом граничные условия задачи

и в случае плоскостной намотки, инте­ грал для определения формы контура является несобственным, сама обра­ зующая состоит из двух участков, для

В зависимости от заданного угла на­ мотки на экваторе <р = (ра необходимо выбрать знак отклонения от геодези­

диуса г — г0 появляется необходимость перехода на геодезическую намотку. Точка переключения экстремали опре­

рис. 3.12 дан закон изменения напря­ жений в нитях для оболочки с пара­

лочки на экваторе для этого случая

чение толщины оболочки в районе фланца при возрастании внутреннего давления. При этом исходные соотно­ шения теории безмоментных оболочек перестают быть справедливыми. Кро­ ме того, в некоторых случаях появ­ ляется необходимость варьирования формой меридиана с целью приближе­ ния ее к заданной. Такая задача ре­ шается проектированием равнонапря­ женной оболочки вращения, состоя­ щей из нескольких семейств нитей.

г

Рис. 8.13. Схема образования многослой­ ной оболочки вращения

При этом каждое семейство опреде­ ляется углом намотки фа* и толщиной hai на экваторе и заканчивается на радиусе r0* = a sin фа*. Последнее ра­ венство является следствием требова­ ния намотки по геодезическим линиям поверхности, что обеспечивает равнонапряженность системы. При возраста­ нии угла фа£ от семейства к семейству образуется система слоев (рис. 3.13). Такая намотка, получившая название многозонной (элемент оболочки при г0, 1 < г < г0, t иногда называют зоной), не позволяет получить обо­ лочку заданной формы, однако обла­ дает ббльшими возможностями, чем рассмотренная выше схема армирова­ ния одним семейством нитей.

Одним из вариантов конструкции баллона давления с полюсньГм отвер­ стием, закрытым жесткой силовой крышкой, является оболочка враще­ ния, образованная намоткой несколь­ ких семейств нитей, первое из которых доходит до горловины баллона, а все остальные располагаются вне фланца. Тогда оболочка на участке первого слоя состоит из двух частей; для первой давление определяется реак­ цией со стороны фланца, для второй оно соответствует внутреннему давле­ нию баллона. Согласно равенству

Рис. 3.14. Изменение контура оболочки вращения, имеющей многослойную схему армирования, в зависимости от числа слоев £, образованных углами

При этом условия сопряжения всех участков выполняются тождественно. Ввиду того, что рассматриваемые обо­ лочки являются днищами баллонов давления (в том числе и при нулевой длине цилиндрической части), необ­ ходимо потребовать, чтобы на экваторе касательная к образующей была па­ раллельна оси оболочки. Это требо­ вание может быть записано в форме условия прочности оболочки на эква­

торе

k

2 n j cos y ^ ^ n p c fi/d ^ (3.27) i= l

Выбор числа нитей, составляющих каждый из слоев оболочки, доста­ точно произволен. Пределы измене­ ния ttj определяются при выборе числа нитей всея предыдущих слоев (/ — 1 ) условиями, что, с одной стороны, предельное давление воспринимается только нитями /-го слоя:

/ пра2 _

с другой стороны, на участке /—1 -го слоя оболочка вырождается в цилиндр

(njf) min =

У То. /+1 - го/

X п Р ' о, №

Для произвольного участка оболоч­ ки, состоящего из / слоев и содержа­

При этом число нитей, образующих каждый слой, во-первых, должно быть целым, а, во-вторых, для одного слоя, например последнего, число нитей в нем не может быть выбрано произ­

Соответствующим выбором числа слоев, их расположения и количества нитей в них форма меридиана может изме­ няться в достаточно широких пределах. При этом, однако, следует учитывать конечность толщины элементарного слоя, вытекающую из условий техно­ логической реализации конструкции. Поэтому для баллонов больших давле­ ний, когда потребное число слоев до­ статочно велико, может быть постав­ лена задача построения оптимальной равнонапряженной оболочки заданной формы. Теоретически ее решение тре­ бует предположения о непрерывной зависимости толщины от угла армиро­ вания, т. е. бесконечности числа слоев [7, 9, 1 2 ].

Исходными предпосылками является связь безмоментных усилий в оболочке баллона давления, определяемых фор­ мулами

где R2t Rx — главные радиусы кри­ визны поверхности заданной формы с напряжениями нитей, которые могут быть записаны в виде интегральной суммы

Используя условие непрерывности намотки и закон геодезической уклад­ ки нитей в слоях, эту связь можно представить в форме интегрального уравнения, в котором неизвестной функцией будет закон изменения тол­ щины оболочки на экваторе в зависи­ мости от распределения углов арми­ рования по слоям:

Здесь срач — угол армирования первого слоя, определенный величиной полюс­ ного отверстия (sin <pal = Го/a).

Решение этого уравнения имеет вид

где г = г!а.

Например, для сферического бал­ лона (R2 = R± = а) искомое соотно­ шение определяется равенством

dha __ 2 ра_______ sin фа_______

Отсюда находится зависимость распре­ деления числа нитей в отдельных слоях от угла армирования каждого слоя:

(3.28)

Найденное непрерывное теоретиче­ ское распределение нитей по слоям и углам армирования должно быть пред­ ставлено в форме конечного разбиения. При этом возможны различные ва­ рианты технологического исполнения. Например, задаваясь равномерным распределением зон на поверхности оболочки (Дг0* = const), из зависи­ мости (3.28) следует выбрать мощность армирования каждой зоны. Или при постоянном числе нитей в каждой зоне из (3.28) определяется величина угла армирования на экваторе, а следовательно, и радиус полюсного отверстия отдельного слоя. Оконча­ тельно найденное решение в зависимо­ сти от числа выбранных слоев должно корректироваться по формулам, по­ лученным для оболочек, образованных конечным числом семейств нитей. Есте­ ственно, что форма оболочки будет отличаться от заданной, приближаясь к ней при увеличении числа слоев.

Конструктивные особенности балло­ нов давления, образованных намоткой армированной ленты, определяются на­ личием оболочки переменной толщины,

составленной из слоев гетерогенного материала. Это обусловливает суще­ ственную анизотропию механических свойств, сложность процессов дефор­ мирования и разрушения конструкции. При оценке прочности и деформативности определяющими являются за­ дачи выбора расчетной схемы и соот­ ветствующей модели материала. Как правило, в качестве расчетной схемы используется безмоментная оболочка вращения, так как моментное состоя­ ние имеет локальный характер и появ­ ляется в окрестности закрепленных краев и линий возмущения. Выбор модели материала связан с особенно­ стями разрушения конструкций из композитов, для которых разрушение начинается с нарушения сплошности связующего. При этом разрушающий­ ся слой поддерживается в предельном состоянии за счет связи с соседними слоями [2], и зависимость напряже­ ний в нем от соответствующих дефор­ маций может быть описана законом, аналогичным диаграмме идеально-пла­ стического тела. При таких допущениях на диаграмме деформирования появ­ ляются хорошо подтверждаемые экспе­ риментальными данными точки излома.

Последовательность поверочного расчета можно представить в следу­ ющем виде. Предполагается, что в лю­ бой точке баллона известны безмоментные усилия Na и N р, пропорциональ­ ные внутреннему давлению, связь ко­ торых с соответствующими деформа­ циями определяется равенствами

Na = Вп га + Ви ев; (32д)

#3 — £ 1аеа + ^22®3»

где обобщенные жесткости на началь­ ном этапе нагружения имеют вид:

Здесь E[, E2, G*2— модули упругости

материала i-го слоя соответственно при нагружении вдоль армирования, по­

перек ленты и при сдвиге; [Xj2 — соот­ ветствующий коэффициент Пуассона; Щ =Е[/(1 - ц Э Д . £,Vf2 = 4 4

Разрешив систему (3.29) относитель­ но деформаций еа , 8 3, с помощью гео­ метрических соотношений, задаваемых формулами

е{ = еа cos2 q>, + % sin2 <p,;

e2 = e0 sln2 <pf +epCos2 q>i; (3.31)

8l2 = (ep — ea ) sin2<Pl,

найдем деформации в ленте, по кото­ рым согласно закону Гука

°\ — Е\ (81+ (А12е2)’» а2 = ^2 (е2 +

+ P21el)*) Т12 — ^12е12 (3-32)

вычисляются напряжения вдоль арми­ рующих элементов слоя (of), поперек

них (а2) и касательные напряжения

в ленте (х{2). В частном случае, когда

оболочка образована намоткой пары спиральных слоев, выполненных из одного материала, соответствующее ре­ шение может быть представлено сле­ дующими аналитическими зависимоотями:

« ■ - 1 S T { (" ■ + »«>

[ ' + т г >

+ 1 ± £ !2 - с08»Ф) - Л Г о ( - Ц ^ - Х

где 1 = 1 + Gla tg* 2Ф ( - 1- + >t*1 +

+-ЧР0 -

Для того чтобы установить значение внутреннего давления р1у при котором в наиболее нагруженном слое (напри­ мер, с номером k) происходит разруше­ ние связующего, можно воспользовать­ ся одной из известных феноменологиче­ ских теорий прочности однонаправлен­ ных материалов. Поверхность разру­ шения с учетом допущения, что проч­ ность при растяжении и сжатии счи­ тается одинаковой, в общем виде может быть представлена уравнением

^11^1 “Г ^*12^1^2 + F 22^2 + F 66^12 = 1 »

где Fij — тензор прочности IV ранга, компоненты которого определяются вы­ бором соответствующего критерия прочности.

При дальнейшем нагружении давле­ ние отсчитывается от значения pl9 а деформации — от уровня, соответ­ ствующего р = рг. Для определения упругих характеристик пакета при вычислении обобщенных жесткостей Вц следует в слагаемых, соответству­

ющих номеру k9 принять Е% = 0^2 —

расчет повторяется до достижения по­ рога растрескивания связующего дру­ гого слоя и так до разрушения связу­ ющего во всех слоях, когда оболочка окажется образованной системой ни­ тей. Условием разрушения конструк­ ции будет разрушение нитей хотя бы

симметричных слоев, исчерпание несу­ щей способности определяется разру­ шением связующего, если не выпол­ няется условие существования бал­ лона как нитяной системы.

Порог растрескивания связующего в существенной мере зависит от соот­ ношения жесткостей однонаправлен­ ного материала вдоль армирования и поперек волокон (Е±!Е^. Анализ применения высокомодульных угле­ родных, борных и других волокон и работа конструкции в условиях крио­ генных температур показывает, что в некоторых случаях разрушение свя­ зующего может наступить одновре­ менно с разрушением волокон.

Аналогичная ситуация может на­ блюдаться для более пластичных, на­ пример металлических, связующих. При этом возникает задача оптималь­ ного проектирования баллона давле­ ния с учетом несущей способности связующего [1]. Так как задача рас­ чета оболочки для общей модели ма­ териала является статически неопре­ делимой при нахождении напряжений в слоях армированного материала, одного условия равнопрочности уже недостаточно для получения конструк­ ции минимальной массы.

Дополнительным требованием, обе­ спечивающим оптимальность структу­ ры, является расположение волокон по траекториям главных напряжений внутри каждого слоя, эквивалентное

требованию т}2 = 0. Для баллона,

образованного укладкой пары сим­ метричных слоев, как следует из третьего равенства системы (3.33), это приводит к условию связи безмоментных усилий с параметрами армиро­ вания в виде

_

Na

Et (l+ N i) cos* ф+ i?i (1+Pia) sin*ф E2(1+щ х) sin* ф + £ х (1+Цм) cos* ф • (3.34)

При этом напряжения в ленте, опре­ деляемые из первых двух равенств

силовой крышкой, с учетом формул для безмоментных усилий Na, N$

а закон армирования, обеспечивающий равнонапряженность оболочки и вы­ текающий из совместного решения уравнений (3.34) и (3.35), описывается

зависимостью

1—Л

г COS* ф [1 — (1 — k) cos2 ф] 2 = const. (3.37)

г

Здесь

ь — ^ П + H'ai) £ i ( l + P u ) '

Входящая в (3.37) постоянная может быть выражена через угол армирова­

ляется численным интегрированием ра­ венства

совместно с законом армирования

ленного материала общего вида проект­

Так как укладка нитей производит­ ся не по геодезическим линиям поверх­ ности, существенным оказывается тех­ нологическое ограничение на несоскальзывание нитей при намотке. При построении оптимального управления с одной точкой переключения в окрест­ ности полюсного отверстия требуется переход на геодезическую траекторию. Параметры точки переключения опре­ деляются из системы

г* = r0/sin ф*;

г0

—^ = Sin ф*

1-Л

1 — (1 — k) cos2 Фа 1 2

1 — (1 — Л) COS2 ф* J

где г*, ф* — радиус сечения и угол армирования в точке переключения экстремалей.

Форма образующей на участке гео­ дезической укладки находится числен­ ным интегрированием выражения

Здесь Ci и С2 определяются из условия

(кривая 1) и при геодезическом арми­ ровании (кривая 2) для модели мате­ риала о учетом несущей способности связующего. Для сравнения приведена форма образующей баллона, построен-

^ис. 3.15. Образующие баллона давления для различных вариантов проектирования:

1 — равнонапряженная траектория; 2 — геодезическая намотка; 3 — геодезическая намотка система нитей

ная для модели в виде системы нитей (кривая 3).

3.3. КОМБИНИРОВАННЫЕ БАЛЛОНЫ ДАВЛЕНИЯ

Особенностью баллонов, работающих длительное время под давлением, яв­ ляется требование сохранения ими герметичности. Используемые способы герметизации композитных конструк­ ций не всегда отвечают этому условию. Так, резиновый слой с течением вре­ мени теряет герметизирующие свой­ ства вследствие старения, а слои термо­ пласта можно использовать в сравни­ тельно узком диапазоне температур.

Один из перспективных способов обеспечения герметичности — введе­ ние несущего металлического слоя, обладающего малой проницаемостью, стойкостью к агрессивным средам и позволяющего использовать металли­ ческую оболочку в качестве оправки при намотке баллона. Получаемая ком­ бинированная конструкция, состоящая из внутреннего изотропного слоя и на­ руж ного армированного слоя, как правило, оказывается тяжелев бал­ лона из композита, однако обладает по сравнению с последним рядом тех­ нологических и эксплуатационных пре­

имуществ.

Здесь о®, og — меридиональное и коль­ цевое напряжения в герметизирующем

кривой о( — е( [а} = (а® )2 — о»а£ +

+(erg)2 — интенсивность напряженийв

Вполимерных композитах связую­ щее разрушается на начальном этапе

нагружения. Тогда для модели мате­ риала в виде системы нитей с учетом равенств (3.5) и соотношений (3.38) физические зависимости для комбиниро­ ванной оболочки представляются в виде

— ВПга +

(3.39)

*р = 5f2ea + B22eр.

Здесь обобщенные жесткости имеют вид

!._______ 4E*Eoh0

11ЗЕ2 + (1 — 2|а) Я0 [2Я —

—(1 — 2р) Яс]

+2 htE{ cos'1 ф(;

Б , _ 2ЕЕ0 [Е — (1 — 2ц) Ec]hy

123 £ » + ( 1 - 2 ц ) £ 0 [2£ — +

-( 1 - 2 ц ) £ с]

— (1 — 2ц) £ с]

+ 2 hiE[ sl°4 Ф(,

где Ло — толщина герметизирующей оболочки; hi — толщина /-го слоя ар­ мированного материала.

Соотношения (3.39) могут быть ис­ пользованы при поверочном расчете комбинированной конструкции. По из­ вестным безмоментным усилиям и па­ раметрам структуры с помощью мето­ да последовательных нагружений опре­ деляются деформации пакета, с по­ мощью которых вычисляются напряже­ ния в слоях. При этом диапазон изме­ нения давления разбивается на уча­ стки; на начальном участке секущий модуль Ес принимается равным Е , а на каждом последующем Ес опреде­ ляется по интенсивности напряжений, найденной на предшествующем этапе нагружения.

В задаче оптимального проектирова­ ния комбинированного баллона давле­ ния следует потребовать равнонапря­ женности как герметизирующей обо­ лочки, так и слоев композита. В усло­ виях нелинейного развития пластиче­ ских деформаций в изотропном слое это требование, очевидно, можно вы­ полнить только при определенной на­ грузке р*, т. е. определенной степени упрочнения металла, которую в рас­ сматриваемой задаче можно оценить значением секущего модуля Е* (здесь

и далее величины, отмеченные звездоч­ кой, соответствуют нагрузке р = р*). Тогда условие равнонапряженности эквивалентно требованию постоянства деформаций всех элементов структуры:

В частном случае, когда баллон давления при полюсном отверстии за­ крыт жесткой силовой крышкой, безмоментные усилия связаны с главными радиусами кривизны оболочки равен­ ствами

(3.41)

При намотке одного слоя композита условием равнонапряженности его ни­ тей является намотка по геодезическим

где г0, а — радиусы полюсного отвер­ стия и эквиваториального сечения бал­

лона.

Закон изменения толщины армиро­

ванного слоя, вытекающий из усло­ вия непрерывности намотки (3.4), име­

ет вид

Из соотношений (3.39)—(3.43) сле­ дует уравнение, определяющее образу­ ющую комбинированного баллона [5]:

*— о

гП + (г')2]

Щ (°<)

Для баллона с постоянной толщиной герметизирующей оболочки (/ц, = = const) при граничном условии на экваторе г = a z/ = оо интеграл урав­ нения (3.44) имеет вид

Образующая баллона, вычисленная с помощью (3.45), соответствует опре­ деленной степени упрочнения мате­ риала герметизирующей оболочки, т. е. величине Е * при р = р*.

Величины соответствующих напря­ жений описываются зависимостями

= о} =

_________ р*а_________ = const; 2[Л0 + Л а£ ,Л * (1 — /=2)]

т. e. величины of, oj, Л* не зависят

от координат на поверхности баллона при р = р* и оба слоя являются равнонапряженными.

Отметим некоторые частные формы записи полученного решения. При Я* = 0, что соответствует оболочке без герметизирующего металлического слоя, форма образующей определяется

Уравнением

г

Результат совпадает с формулой (3.15) для t0 = 0. При Я* -*■ оо, что соответ­ ствует чисто металлическому баллону, интеграл (3.45)

2 =

Т dr

- I У П = Т 5

определяет сферическую оболочку. При использовании в качестве ма­

териала герметизирующего слоя ме­ таллов с выраженной площадкой те­ кучести в качестве диаграммы дефор­ мирования допустимо использовать мо­ дель жесткопластического тела, т. е.

Рис. 3.1 в. Формы контуров оптимальных комбинированных баллонов при различ­ ных параметрах А, для ф = 10°

предполагать, что в момент, предше­ ствующий разрушению, напряжения в металлической оболочке равны пре­ делу текучести (<J° = org = o{= o T)t

а напряжения в нитях равны предель­ ным (о* = di). Тогда при принятых допущениях безмоментные усилия в оболочке связаны с напряжениями в слоях зависимостями

Na = атЛ0 + axh cos2 ф;

=атЛо + dxh sin2 <p.

Вэтом случае с учетом равенств (3.41)— (3.43) интеграл, определяющий равно­ весную форму меридиана, может быть приведен к виду (3.45) [7], где вместо параметра Я* следует принять величину

oTh0a

(3.48)

дА Y °2

Выбор модели материала гермети­ зирующего слоя определяется конкрет­ ным видом его диаграммы деформиро­ вания. Для материалов с большой степенью упрочнения можно потребо­ вать, например, чтобы равнопрочность конструкции существовала в предель­ ном состоянии при разрушении (р* =

ных баллонов давления для различ­ ных параметров Я при <ра = 10°.

Особенностью разрушения комбини­ рованных баллонов является, как пра­ вило, разрыв герметизирующей обо­ лочки в окрестности штуцера. Одним из конструктивных способов повыше­ ния несущей способности при больших давлениях является разнесение арми­ рованных слоев в окрестности фланца, т. е. превращение конструкции в мно­ гослойную, когда композитная оболоч­ ка образована несколькими семейства­ ми нитей, каждое из которых характе­ ризуется радиусом полюсного отвер­ стия roi.

Для модели материала герметизи­ рующего слоя в виде жесткопластиче­ ского тела и варианта конструкции баллона, когда полюсные отверстия всех слоев размещаются в пределах диаметра фланца, условие равновесия фланца может быть записано в форме (см. рис. 3.14)

р'лЬ12 = р”п (Ь2 — /QI) + o1h02nb sin abi

(3.49)

где Ъ— радиус фланца; аь — Угол наклона касательной к меридиану при

f

Здесь <p* — угол между нитями /-го слоя и меридианом (при геодезической намотке sin ф* = r0*/r); hi — перемен­ ная толщина /-го слоя (для геодези­ ческой намотки), связанная с толщи-'

няя равенства (3.49), (3.50) условием прочности баллона на экваторе, опре­ деляемое равенством

п

дг 2 hai cos2 фа* + атЛ0 = р'а/2

/=1

(3.51)

(где п — общее число слоев), и учиты­ вая, что в рассматриваемом варианте конструкции радиус полюсного отвер­

система зависимостей (3.49)—(3.52) при­ водится к уравнению, определяюще­ му форму меридиана комбинирован­ ной оболочки на участке между полюс­ ными отверстиями слоев k и k + 1. Его интеграл имеет вид

Постоянные А к определяются из условия непрерывности образующей, состоящей из отдельных участков: Ак= = zh- 1 (гол). Как и в случае много­ слойной оболочки без несущего гер­ метизирующего слоя, диапазон возмож ного изменения толщин отдельных

слоев ограничен зависимостями

г

При оценке верхней границы тол­ щины k-ro слоя на экваторе предпола­ гается, что все толщины слоев (до k — включительно 1) известны. Кроме того, оценка нижней границы не инва­ риантна по отношению к форме обо­ лочки. Поэтому может быть исполь­ зован метод последовательных при­ ближений, на первом этапе которого для фланцев небольшого диаметра сле­ дует принять sin аъ = 0.

Форма образующей комбинирован­ ной оболочки вне участка фланца определяется интегралом

Постоянная интегрирования Ап оп­ ределяется из условия непрерывности формы меридиана на границе участка фланца: Ап = 2п (/*=5), где гп опре­ деляется численным интегрированием (3.53) для k = п.

На рис. 3.17 показана форма баллона с четырьмя армированными слоями. Приняты следующие параметры: f0i =

ного баллона с параметром X = 0,376. Применение зонной намотки позво­ ляет управлять формой контура ком­ бинированного баллона, варьируя рас­ положением отдельных слоев и их мощностью армирования. Для произ­ вольного случая когда все слои, за исключением первого, размещаются вне пределов диаметра фланца (r0k > Ь

Рис. 3.17. Форма контура оптимального комбинированного баллона:

1 — ч е т ы р е х с л о й н ы й б а л л о н с о с л о я м и , р а с п о л о ж е н н ы м и в п р е д е л а х ф л а н ц а ; 2 — и сх о д н ы й о д н о сл о й н ы й п р о т о т и п

где постоянные А \ выбираются из условия непрерывности формы ме­ ридиана: A k = 2k_i (foft).

Выбор взаимного расположения от­ дельных слоев и их толщин на эква­ торе можно осуществить, рассматривая оптимальную схему армирования теоре­ тически бесконечно зонной оболочки аналогично зависимостям, рассмотрен­ ным выше для оболочки без несущего герметизирующего слоя. Для приня­ тых моделей жесткопластического тела материала, изотропного слоя и нитя­ ной структуры композитной части бал­ лона решение соответствующего инте­ грального уравнения имеет вид

Здесь R2, — главные радиусы кри­ визны меридиана оболочки заданной формы; фа1 — начальный угол арми­ рования, определенный величиной ра­ диуса полюсного отверстия (sin <pal = = /-„/a).

В частном случае сферического бал­ лона (/?! = /?а = я) решение (3.56) определяется равенством

l/sin* фа — Sin2 фа1

Если в зависимости (3.57) вместо тол­ щины элементарного слоя dha ввести соответствующую ему мощность арми­ рования d (nf) — площадь сечения ни­ тей, образующих этот элементарный слой (dnf = 2па cos ya dha)t то реше­ ние уравнения (3.57) принимает вид

nf = 4а ——Д --— "j/sin2 фа —sin2 yai- ai

(3.58)

Равенство (3.58) представляет собой непрерывную зависимость мощности армирования nf от угла укладки ни­ тей ф0 элементарных слоев на эква­ торе. Реальные конструкции могут быть изготовлены намоткой достаточно большого, но всегда конечного числа слоев, задаваемого из конструктивных или технологических соображений. Применительно к сферической обо­ лочке, для которой композит должен быть теоретически распределен равно­ мерно по образующей, можно отметить два практически реализуемых вариан­ та распределения материала по слоям: 1) принимается, что параметр nf для всех слоев одинаков, т. е. каждый слой образуется одним и тем же числом нитей; 2) можно принять, что полюс­ ные отверстия слоев располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга; число нитей, образующих каждый из них, является переменным.

Рассмотрим сравнение двух вариан­ тов на примере баллона давления сферической формы радиуса а = 0,17 м,

рованный слой выполнен из стекло пластика с параметрами: дг = 1,4 ГПа,

Рис. 3.18. Распределение мощности арми­ рования n f в зависимости от угла намотки на экваторе <р сферического комбинирован­ ного баллона

Рис. 3.19. Форма оптимальной оболочки

при намотке пятью слоями г (г) и исходная сфера

кг/м8. На рис. 3.18 при­ ведено распределение мощности арми­ рования по углу (ра, построенное

спомощью зависимости (3.58) для г<д =

=sin фа1 = 0,1. Для оболочки, об­ разованной намоткой пяти слоев ком­

позита, распределение параметров структуры, соответствующих вариант там Anf = const и Дфа = const, при­

ведено в табл. 3.1.

Поверочные расчеты показывают, что для материалов с большой степенью упрочнения предпочтительнее исполь­ зовать второй вариант расположения слоев, так как при дискретизации структуры в первом случае оболочка оказывается недостаточно прочной в

3.1. Распределение параметров структуры

«яя

№я

кольцевом направлении на экваторе баллона. Форма оптимального контура должна быть уточнена для принятого расположения конечного числа слоев. Результат сравнения с заданной сфе­ рической оболочкой, построенный с по­ мощью численного интегрирования за­ висимости (3.54) для второго варианта, показан на рис. 3.19. Отметим, что для использованных материалов масса комбинированного сферического бал­ лона с наружным слоем из стеклопла­ стика составляет 9,2 кг, масса метал­ лического баллона 10,4 кг, теоретиче­ ская масса стеклопластикового бал­ лона без герметизирующего слоя 7,3 кг.

Список литературы

1.Бунаков В. А., Радовиискнй А. Л .

Копределению рациональной формы безмоментныя оболочек вращения, изготов­ ленный методом намотки нз высокомодульнын матерналов//Менаника полиме­ ров. 1976. № б. С. 822—828.

2.Васильев В. В., Дудченко А. А., Блпатьевский А. Н. Об особенностях де­

формирования ортотропного стеклопла­ стика при растяженин//Менаника поли­ меров. 1970. № 6. С. 144—146.

3. Блпатьевский А. Н., Васильев В. В. Прочность цилиндрическая оболочек из

армированных материалов. М.: Машино­ строение, 1972. 168 о.

4. Зиккел И. Равнопрочные сосуды давления//Ракетная теяника и космонав­ тика. 1962. № 6. С. 120—122.

б. Колеров Н. И. Расчет н проекти­ рование баллонов из композиционныя материалов//Проектирование, расчет и испытание конструкций нз композицион*