том сжимающего напряжения материал не ужесточается, как это наблюдалось

вслучае полуфабриката (см. рис. 7.2),

астановится более податливым. После полимеризации у материала возрастает жесткость при сжатии в трансверсаль­ ном направлении и появляется сопро­ тивление на поперечный отрыв.

Объемная изотермическая физико­ химическая усадка даже у эпоксидных связующих согласно эксперименталь­ ным данным составляет около 6%, что соответствует 2% -ной линейной усадке

ние кинетики усадки, так же как и роста упругих, вязкоупругих и проч­ ностных свойств.

В процессе охлаждения происходит ужесточение материала, о чем свиде­ тельствует сравнение диаграмм попе­ речного сжатия а8 — е3 одних и тех же композитов при различных температу­ рах (см. рис. 7.3). Диаграммы попереч­ ного растяжения о8 — е3 практи­ чески линейны, кроме тех случаев, когда применяются податливые свя­ зующие с большими предельными де­ формациями. Модуль упругости при растяжении поперек волокон Е8 нели­ нейно возрастает с понижением тем­ пературы, особенно при температуре ниже температуры стеклования связу­ ющего. Зависимость прочности при поперечном отрыве # $ от температуры также характеризуется существенной

ности и соответствующих напряжений

линдрических изделий, а также их расчета на эксплуатационную нагруз­ ку во многом базируется на решении

величина у определяется не оо текущим значением х в момент времени t, а всей временной историей х (О от t=^'—oo до / = f •

7.2. ПЛОСКАЯ

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА

в себя одно нетривиальное уравнение

где Qr — радиальная проекция объ­ емной силы, не зависящей от коорди­ нат 0 и г. Из шести соотношений Коши в данной задаче (в рамках малых де­ формаций) понадобятся только два:

из которых следует уравнение со­ вместности

Уравнения состояния цилиндриче­ ски ортотропного тела можно за­ писать в одной из следующих весьма общих форм, выражающих либо де­ формации в виде функционала*

либо напряжения в виде функционала

Здесь индексы i, / пробегают значения,

лярных параметров, таких, как, на­

C q 1)" — совокупность m тензоров раз­

личных рангов, записанных в ма­ тричных обозначениях, характеризую­ щих свойства среды. В общем случае

структурных и других скалярных па­ раметров х (п)-

Плоская задача характеризуется од­ ной из трех следующих упрощающих гипотез:

1) осевые напряжения равны нулю (кольцо):

2) осевые деформации равны нулю (цилиндр с зафиксированными тор­ цами):

3) осевые деформации равны кон­ станте (бесконечный цилиндр либо цилиндр, сопряженный по торцовым плоскостям с днищами):

которая находится из интегрального условия равновесия (интегрального граничного условия на торцах) для осевого направления

где Fz — осевая сила, зависящая в об щем случае от времени; гв и гн — соответственно внутренний и наруж­ ный радиусы цилиндра.

Система уравнений (7.1)—(7.5) вме­ сте с одним из трех упрощающих предположений (7.6)—(7.8) сводится к уравнению второго порядка относи­ тельно напряжения аг, перемещения иТ или функции напряжений, имеющей в данном случае вид гаг. При рас­ смотрении, например, варианта за­ дачи для плоского напряженного со­ стояния подстановка (7.6) и уравнения равновесия (7.1) в уравнения состоя­ ния в форме (7.4), а затем результата

вуравнение совместности деформа­

ций (7.3) приводит к

/t

Zj лt дг

Это в общем случае аналог нелиней­ ного дифференциального уравнения второго порядка относительно напря­ жения сгг, в котором коэффициенты, выраженные в виде функционалов, зависят от радиального напряжения а г и от его первой производной по радиусу дот/дг. Граничные условия могут быть заданы либо в напряже­ ниях

CTr U r , = - р в W;

(где рв (t) и рп (t) — внутреннее и наружное давления, изменяющиеся в общем случае во времени), либо в ра­ диальных перемещениях

ит \г=гъ = “в (0; urlr=rH= “E (0-

(7 .1 2 )

Кроме того, одно из условий может быть задано в напряжениях, а другое в перемещениях (смешанная задача), либо одно из условий может быть задано в виде функциональной связи между напряжением а г и переме­ щением иг, характеризующей жесткостные свойства элемента конструк­ ции, с которым контактирует рас­ сматриваемое кольцо на данном ра­ диусе. Вводя дискретизацию процесса по времени, можно получить для каждого момента времени —с» < т* < < t нелинейное обыкновенное диф­ ференциальное уравнение относитель­ но аг при постоянных для данного малого отрезка времени граничных условиях. Решая эту краевую за­ дачу одним из численных методов (спристрелки», методом последователь-

ных приближений, квазилинеаризации и т. д.), можно найти значения а г для данного момента времени, через них с помощью уравнения равновесия (7.1) — значения OQ, далее с помощью уравнений состояния (7.4) — деформа­ ции и радиальные перемещения со­ гласно (7.2), после чего можно перейти к следующему моменту времени т*+*

ит. д.

Вслучае плоского деформирован­

ного состояния {гипотеза (7.7) или (7.8)] есть два пути. Можно восполь­ зоваться формулами (7.5), подставить в них уравнения совместности дефор­ маций (7.3) и результат — в урав­ нение равновесия (7.1), после чего получится уравнение второго порядка в перемещениях, аналогичное урав­ нению (7.10) в напряжениях. Также можно выразить oz с помощью соот­ ношения (7.4) и выбранной гипотезы (7.7) или (7.8) и подставить его в остальные соотношения (7.4), получив таким образом

*1 = в f (ar. o e,eI. 7 \ x (,0,Sj7:>.);

Дальнейшие выкладки полностью аналогичны приведенным для кольца; в итоге получается то же самое урав­ нение (7.10) с несколько иным смыслом входящих в него функционалов де­ формаций.

7.2.2. Линейно-упругое решение.

В случае линейной упругости соот­ ношение (7.4) можно переписать в виде

состояния (7.6) дает с учетом симме­

Уравнение (7.15) характеризует пло­ скую осесимметричную неоднородную линейно-термоупругую задачу для кольца. Уравнение для цилиндра имеет аналогичный вид, если заменить вхо­ дящие в него термоупругие константы на термоупругие константы для пло­ ского деформированного состояния по схеме

и дополнить левую часть (7.15) сла­ гаемыми

гости свелась к краевой задаче для обыкновенного линейного дифферен­ циального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В об­ щем случае ее решение проще всего получить численными методами с по-

мощью стандартных процедур на ЭЦВМ. Для нескольких частных за­ висимостей свойств от радиуса задача решается аналитически, в том числе и для однородной цилиндрически-ор- тотропной упругой среды

У И - 4 + ( ! - ^ ) * +

,, «$— ? .

а в случае цилиндра в формулах (7.19), (7.20) производится замена констант по схеме (7.16) и в (7.20) добавляется слагаемое (7.17) с учетом, что dSij/dr = = 0. Рассмотренные далее частные решения, непосредственно вытекающие из приведенных выше зависимостей, представляют собой важнейшие при­ меры для расчета толстостенных из­ делий.

7.2.3. Кольцо под внутренним и на­ ружным давлениями. Подстановкой граничных условий (7.11) в соотноше­ ния (7.18)—(7.20) при отсутствии объ­ емных сил, а также структурно-уса­ дочных составляющих деформаций можно получить

ог = Aprk~ ' + Bpr~ k~ l ;

о0 = Apkrk~ l — Bpkr~k- >; (7.21)

где

известные формулы Митинского—Лех- ницкого [15]. Для других граничных условий (в перемещениях (7.12) или в виде связи между радиальными на­ пряжениями и перемещениями) при­ менимы те же формулы (7.21), но тогда внутреннее (рв) и (или) наруж­ ное (рЕ) давления находят из соответ­ ствующих линейных соотношений. В частности, пусть кольцо посажено на упругую оправку, свойства кото­ рой характеризуются параметром еоп» равным отношению радиального пере­ мещения ее наружной поверхности (или внутреннего радиуса гв насажен­ ного кольца) к наружному давлению, вызвавшему это перемещение, или же относительной податливостью оправки

Действие наружного давления рн на кольцо, посаженное на оправку, при­ ведет к напряжениям и перемещениям в нем, вычисляемым по формулам (7.21), (7.22), где на границе раздела между кольцом и оправкой давление

Ш - |7й|

7.2.4. Термоупругая задача для коль­ ца. Подстановка нулевых граничных

условий (7.11) в напряжениях при

отсутствии объемная сил, но сохра­ нении температурная и структурноусадочная составляющих деформаций в соотношения (7.18)—(7.20) дает ре­ шение термоупругой задачи. В част­ ном случае однородная теплофизи­ ческих и структурная характеристик и однородного температурного поля

181:

U f (*Sgg& -j- S g r ) A ^ Г *—

- ( S 9ek - S er) B Tr - k +

+ ( S e e + S g r ) D T ,

При совместном нагреве (охлажде­ нии) кольца с оправкой должна выполниться условия

упругие свойства и размеры оправки. Он равен отношению перемещения наружной поверхности оправки (в до­ лях ее наружного радиуса) к перепаду температур, вызвавшему это переме­ щение. В случае изотропной кольце­ вой оправки а 0п совпадает с темпера­ турным коэффициентом линейного рас­ ширения материала оправки при усло­ вии однородности в ней поля темпе­ ратур. Напряжения и перемещения

определяются теми же формулами

(7.26), (7.27), но константы Ар и Вр будут иметь иной смысл:

где т) определяется по формуле (7.25),

усадочных деформаций, а также при нулевых граничных условиях в на­ пряжениях аг из (7.18)—(7.20) полу­

X | (Seek + S0r) rk [Q (г) + Л40] Ч-

+ г» kS *%- S e j _ +

Ъ+ k

+(S00 * - S 0r ) r - fc X

х ( ^ - т р г ) } + * « •* * .

(7.34), где наружное давление рн = 0, а внутреннее давление рв находится из равенства на радиусе гв суммы пере­ мещений диска от действия давления и от действия центробежной силы

с центральным валом или ступицей либо по внутренней поверхности (за счет предварительного натяга или дру­ гих методов соединения), либо по наружной поверхности (за счет ра­ диальной обмотки и т. д.), либо по торцовой поверхности (хордовая об­ мотка), т. е. граничные условия могут отличаться от соответствующих (7.32)— (7.34). Может встретиться и комбини­ рованный случай. Упругая связь диска с осью через его торцовую поверх­ ность практически не укладывается в расчетную схему плоской осесим­ метричной задачи. При упругой связи диска с осью по его внутренней ци­ линдрической поверхности в расчете необходимо учитывать две характе­ ристики этой связи: относительную податливость у0п согласно формуле (7.23) и относительные перемещения на радиусе гв свободной (без диска) упругой связи под действием центро­ бежных сил

X-

+ r l k )

(7.36)

Аналогично характеристикам упругой связи по внутренней поверхности ди­ ска (7.23), (7.35) можно ввести харак­ теристики упругой связи по наружной поверхности диска,, рассчитать ана­ логично (7.36) наружное давление рн и определить напряжения и перемеще­ ния в диске как суперпозицию ре­ шений (7.21), (7.22) и (7.32)—(7.34). Подробности расчета вращающихся дисков рассмотрены в гл. 6.

7.2.в. Цилиндр под действием осевой силы. Для случая нагружения цилин­ дра только осевой силой Fz на осно­ вании формул (7.9), (7.16)—(7.20) мож­

И‘ { , + - ^ Г 7 Г *

задач, приведенных в пп. 7.2.2—

ki — степень анизотропии /-го слоя из однородного линейно-упругого ма-

< /? - а « - ' » х

x [ i % T r !- W + l- ' i +1)*+

Здесь, как указывалось выше,

!/2 __ / ^гг — S ~rzlS zz \ l/2

\^00 ““ ^0z/^zz /

(7.39)

Остальные случаи нагружения ци­ линдра находятся методом суперпо­ зиции. Некоторые частные решения получают с помощью аналогии между плоским напряженным и плоским де­ формируемым состояниями.

7,2.7. Слоистые кольца, диски, ци­ линдры. Основываясь на решениях

+ [ P i + l 'f i l 1 - P t ' l

* { 4 |0 <г)+* г ^

Pl = 2

l - ( r t/r u i)2ki ’

P i - \ri—\p i - \ + Pi (Gi—i — $ег 1)) г<+

f = 2, 3, ...» N (N — число слоев в па­ кете).

Кроме N — 1-го уравнения (7.42) относительно N + 1 давления pi ис­ пользуются два граничных условия на радиусах гх и г^+1, выраженных через давления или перемещения (т. е. в виде линейных форм от пар давлений рх и р2 или от р ^ и PN +I)- В результате система N + 1 линейных уравнений относительно pi замыкается. Решение системы уравнений производится стан­ дартными численными методами на ЭЦВМ.

При плоском деформированном со­ стоянии производится замена кон­ стант по схеме (7.16), в правую часть (7.20) добавляется слагаемое (7.17), а степень анизотропии (7.19) заменяется на (7.39). Число неизвестных, если задана осевая сила, а не деформация, увеличивается еще на одно неизвест­ ное ez = const. Система линейных уравнений дополняется еще одним (7.9):

2пN 1 V^^

/=1 5 я

что и в (7.14); в аг и ое войдут кон­ станты плоского деформированного со­ стояния согласно (7.16). Результаты подстановки (7.40) в (7.44) с учетом перечисленных выше видоизменений при переходе от кольца к цилиндру ввиду громоздкости здесь не выпи-

Рис. 7.4. Аппроксимация нелинейных диа­ грамм сжатия о%—6 » поперек армирующих

слоев:

деформационной теории с зависящим от

кусочно-линейная аппроксимация; в, г — диаграмма нагрузки — разгрузки после

(а) и до (г) достижения предела пропор­ циональности о*

ванного состояния от внутреннего давления рв > pi-

Ситуация несколько осложняется, если в кольце имеется система на­ чальных напряжений. В этом случае дополнительные напряжения, вызван­ ные действием давления, не могут вы­ числяться независимо. В соотношениях (7.45), (7.46) а* заменяется на (аг —

— ст”), ГД© а г — начальные радиаль­

ные напряжения, а также в (7.20), (7.40)—(7.43) для той части кольца,

соотношения (7.14), в которых S rт заменяется на 5^..

Можно аналогичным образом решать вадачу для материала кольца, ха­ рактеризующегося кусочно-линейной

диаграммой ое — ее. Во многих слу­ чаях — при нагружении наружным и внутренним давлениями одновременно, при нагружении давлением и суще­ ствовании начальных напряжений, не­ линейности по двум направлениям г и 0 и т. д. — приходится рассматри- - вать совокупность нескольких зон, разделенных движущимися границами.

деформирования, практически утрачи­ ваются.

7.2.0. Нелинейно-упругие и нелиней­ но-вязкоупругие материалы. Если ци­ линдрическое изделие представить как многослойное из большого числа очень тонких слоев, то в пределах слоя на­ пряжения можно считать меняющими­ ся слабо и свойства материала принять постоянными, соответствующими, на­ пример, средним арифметическим ме­ жду значениями напряжений на вну­ треннем и наружном радиусах слоев, соответственно. Для решения нели­ нейно-упругой задачи можно восполь­ зоваться одним из трех следующих методов.

1. М е т о д с е к у щ и х м о д у ­ л е й (рис. 7.4, а). Пусть имеется неноторое первое приближение &j к иско­ мому напряженному состоянию. Тогда

закон деформирования

е, = 8j(ajt Ту, I, I + + г , 0, г,

(7.49)

заданный в виде совокупности трех непрерывных функций от трех на­ пряжений и температуры, можно при­ ближенно записать в виде (7.14). В этом случае под податливостями подразумеваются секущие податливо­ сти, например,

а под температурными коэффициен­ тами линейного расширения a * — се­

кущие по температуре значения а}с).

Подставляя значения секущих подат­ ливостей и температурных коэффици­ ентов линейного расширения в закон состояния (7.14), а результат в гото­ вое решение задачи для многослойного цилиндрического тела (см. п. 7.2.7),

мер, (7.50) может быть записан в виде

гаемых (7.51) можно трактовать как дифференциальный аналог структур­ но-усадочной деформации в соотно­ шениях (7.14). Таким образом, если заданы начальные условия, изменение граничных условий во времени, а также система уравнений с соответ­ ствующими начальными и граничными условиями для процессов теплопро­ водности и термохимической кинетики, то можно, в принципе, с помощью теории течения в сочетании G ите­ рационным уточнением (см. в п. 7.2. 1) численно решить плоскую осесимме­ тричную эадачу механики твердого деформируемого тела. Причем нара­ щивание числа слоев во времени (на­ мотка) естественным образом вклю­ чается в алгоритм. В численном реше­ нии задачи для тела с произвольным законом деформирования центральным эвеном алгоритма является решение однородной линейно-упругой задачи.

7.3. АНАЛИЗ ПРОЦЕССА НАМОТКИ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

7.3.1. Основные проблемы. Знание зависимости между параметрами си­ ловой намотки (или дополнительного уплотнения) и полями напряжений и деформаций позволяет оценивать и эффективно управлять:

распределением межвиткового дав­ ления, которое в свою очередь опре­

деляет степень монолитности и ка­ чество изделия;

давлением на оправку, которое не должно превышать критического дав­ ления потери устойчивости в случае тонкостенных оправок или прочности толстостенных оправок; это давление является основной характеристикой предварительно напряженных неразъ­ емных соединений;

распределением натяжения армату­ ры внутри намотанного тела; как правило, нежелательно, чтобы из об­ ласти предварительного натяжения ар­

устойчивости в виде искривлений, так как при этом образуются зоны про­ валов прочности;

распределением начальных напря­ жений после этапа намотки, которые составляют одну из главных частей начальных технологических напряже­ ний;

конечной (деформированной) кон­ фигурацией изделия.

Задачи силовой намотки более спе­ цифичны, чем задачи о дополнитель­ ном уплотнении (которые представляют чаще всего контактные задачи, за­ дачу Ляме и т. д.), поэтому в даль­ нейшем внимание будет сосредоточено на анализе силовой намотки.

7.3.2 Линейно-упругая модель. В кольцевой модели процесс намотки представляется в виде последователь­ ного надевания тонких кольцевых слоев вначале на оправку, а затем друг на друга с натягом, соответству­ ющим натяжению наматываемой лен­ ты. Линейно-упругая кольцевая мо­

ных свойств полуфабриката. Эта мо­ дель качественно, а в некоторых слу­ чаях (намотка с малым или очень большим натяжением) количественно описывает процесс.

В момент, когда на текущем ра­ диусе г находится наружный радиус

тяжным устройством. Эти напряжения

изменяются от давления каждого из последующих витков:

толщина слоя, радиус и текущий наружный радиус. При определении приращений напряжений Даг и Дое уже намотанное кольцо считается квазиоднородным цилиндрически-орто- тропным телом, а на границе с коль­ цевой или сплошной оправкой (той же ширины) выполняются условия не­ прерывности радиальных напряжений и перемещений или, что то же самое,

<ч + 1)-7Г

X --------z~ — —£— ; Pi = r i !r в (7.54)

IIP* + Pf

и в соответствии с (7.21), (7.22) напряжения и перемещения будут про­ порциональны а§ (г^) АГ[. Для пол­

ностью намотанного кольца они сум­ мируются следующим образом:

Так как Дг очень мало, то целесооб­ разно при большом числе витков сум­ мирование заменить интегрированием:

°г (', гв) = — (т)р*- 1 + р- *-1) / (р, 6);

ao (r' rm) = a6 — k x

X (т)р*+‘ - р - * - 1) J (р, 6); (7.56)

“г (г. Гд) = —5 00 [(* — vr0) IIP* —

— (k + vr0) P 7*] J (p, 6),

q0 (y) d9

к наружному радиусу гя число сла­ гаемых в (7.55) уменьшается и ошибка от замены суммы интегралом воз­ растает.

Интеграл (7.57) для отдельных про­ грамм намотки а§ (г) может быть

взят аналитически в замкнутом виде либо в быстросходящихся рядах. В об­

ние дискретного варианта (7.54), (7.55). Согласно энергетическому подходу к расчету процесса намотки прини­ мается, что напряжение CJQ (г*, rt) в текущем наружном f-м витке не равно напряжению а§ (г^), создавае­

мому натяжным устройством. Вели­ чина ае (rt, г{) находится из баланса энергии:

+ W2, (7.58)

где W0 — потенциальная энергия рас­ тянутой напряжением о§ ленты дли­

ной с очередной виток; Wf — прира­ щение энергии деформирования в си­

ся в последнем витке. Выражения для

с использованием (7.54), куда вместо

: ы

а0 (ri) определяется порядком вели­

чины k Artги которая может достигать ~ 10“8— 10“*. Физическая природа от­ личия подходов состоит в том, что силовой подход соответствует намотке без трения последнего слоя о пред-

последний, а энергетический — намот­ ке с бесконечно большим коэффици­ ентом трения. Реальная ситуация, оче­ видно, соответствует промежуточному случаю. Из (7.59) следует, что намотка с постоянным натяжением в энерге-

Рис. 7.6. Зависимостьдавлениярна жест­

кую оправку (в долях от напряжения о§

в наматываемой ленте) от текущего отно­ сительного наружного радиуса Ь =» гд/гв

кольца при различных значениях степени

анизотропии кг

кривые 1—8 для k, равного соответствен­

но 10; 15; 20; 30; 50; 70; 90; 110

тическом подходе соответствует на­ мотке с медленно убывающим натяже­ нием в силовом подходе. При Аг* О оба подхода совпадают, поэтому в даль­ нейшем будет использован силовой подход.

Перемещения каждого элементарно­ го кольца начинаются неодновременно и отсчитываются с момента надевания его на ранее надетые и уже просевшие кольца. Это обстоятельство не позво­ ляет представить предварительное на­ тяжение аналогом некоторой объемной силы, а деформацию, связанную с ним, — аналогом некоторой усадоч­ ной (например, термоупругой) дефор­ мации. Точнее, можно воспользоваться и аналогией с термоупругостью, но при условии, что свободная деформа­

ция &0, входящая в соотношение Коши

8е = ее + учитывает просадку ранее надетых колец:

е0 (Г) = ■See0'? (') —

Г

—7 “ J ег (у, г) dy.

гв

При этом решение задачи не облег­ чается. Поэтому можно считать, что задачи механики растущих тел пред­ ставляют собой самостоятельный класс задач механики твердого деформируе­ мого тела.

Отличие намотки полуфабрикатов композитов от намотки изотропной металлической ленты отчетливо про­ является на зависимостях давления на оправку от числа намотанных в оди­ наковых условиях витков (рис. 7.5): значительная часть давления от вновь накладываемых витков не передается на оправку, а расходуется на процесс деформирования ранее надетых колец, что связано с существенной анизотро­ пией материала и, в частности, с вы­ сокой податливостью полуфабриката при сжатии поперек волокон.

Зависимость относительного давле­ ния на оправку р/а§ = —аг (гв, rH)/og

при намотке с постоянным натяже­ нием от относительных размеров ко­ льца представлена на рис. 7.6.

С ростом толщины наматываемого изделия давление на оправку растет нелинейно, асимптотически прибли­ жаясь к некоторому предельному зна­ чению. Таким образом, простейшая линейно-упругая кольцевая модель хо­ рошо описывает основной качествен­ ный эффект при намотке полуфабрика­ тов композитов, отмеченный в экспе­ рименте (см. рис. 7.5). В рамках этой модели доказано, что основная при­ чина того, что давление на оправку составляет лишь небольшую долю от теоретической величины ag (b — 1) =

==(выведенной при условии

недеформируемости наматываемой ленты), — существенная анизотропия деформативности полуфабриката. Пре­ дельная величина давления на оправку р<х> = —о Т (гв, гн сю) и толщина кольца, при которой уже практически достигается предельное давление, рез­ ко уменьшаются с ростом показателя анизотропии материала k.

Оценки давления имеют вид: на податливую оправку

Рассмотрим напряжения, образую­ щиеся в результате намотки с натяже­ нием. Поскольку намотка с постоян­ ным натяжением наиболее распростра­ нена, то детальный анализ напряженнодеформированного состояния, возни­ кающего в этом случае, представляет значительный практическийинтерес. На рис. 7.7 приведены эпюры напряже­ ний ог и а 0 в долях от cxg. Окружные

напряжения существенно неравномер­ ны по сечению, более того, имеется область, где они меняют знак.

Так как в условиях переработки арматура может нести только растяги­ вающую нагрузку, то переход из состояния предварительного натяже­ ния в состояние сжатия чреват воз­ никновением искривлений. При этом свойства материала в направлениях г

«отроиии k относительных размеров коль­

ца, при которых предварительное натяже­ ние еще сохраняется (--------) или дости­ гается давление р = 0,9----- (-------- )

и особенно 0 меняются и описанная расчетная методика становится нера­ ботоспособной. Практический интерес представляет определение границ па­ раметров, при которых намотка с по­ стоянным натяжением может привести к искривлению витков. Условно уро­ вень OQ = 0 может быть принят в ка­ честве предельного. Пользуясь рас­ четными зависимостями (7.56) и (7.57), можно определить минимальные зна­ чения OQ mm Для любой заданной тол­ щины, степени анизотропии полуфаб­ риката и податливости оправки. Для жесткой оправки те сочетания b и k, при которых первоначально заданное натяжение падает до нуля, приведены на рис. 7.8. Если намотка производит­ ся при сочетании параметров, попа­ дающих в заштрихованную область, то возможно искривление волокон, и расчет напряжений и перемещений по рассмотренной выше модели ста­ новится некорректным.

Рассмотрим намотку о несколькими характерными законами изменения на­ тяжения: постоянным, возрастающим, убывающим и т. д. Сравним распреде­ ление напряжений в витках при раз­ личных программах а§(г), обеспечи­

вающих одно и то же давление на оправку. На рис. 7.9, а приведены такие программы намотки, а на рис. 7.9, б — соответствующие эпюры

радиальных и окружных напряжений. Здесь же представлен вклад напряже­ ний намотки в начальные, т. е. учтены напряжения от снятия давления на оправку для отвержденного материала

сk = 2.

Программа намотки с убывающим

усилием натяжения, а также проходя­ щим через минимум, как следует из рис. 7.9, а, приводит к нежелатель­ ным растягивающим радиальным на­ чальным напряжениям, которые вместе с термоупругими начальными напря­ жениями того же знака могут вызвать растрескивание намоточного изделия. Кроме того, при намотке по программе, имеющей минимум, может произойти (рис. 7.9, г) искривление витков. На­ мотка с возрастающим усилием натя­ жения позволяет в большей степени компенсировать радиальные термоуп­ ругие напряжения, а намотка по про­ грамме, имеющей максимум, — пред­ отвратить искривления.

Экспериментальное варьирование за­ кона натяжения в процессе намотки показало, что экстремальные значе­ ния начальных радиальных напряже­ ний (рис. 7.10, 6) в кольцах, намотан­ ных по различным характерным про­

в приведенном расчете (см. рис. 7.9, д). Так как вследствие больших ради­ альных деформаций толщина реаль­ ного кольца меньше величины nh, то может возникнуть вопрос: какова за­ висимость реальных размеров кольца при намотке его с натяжением от числа витков (или от размеров кольца, со­ держащего то же количество витков, но намотанного без натяжения). Ин­ тегрируя ег по толщине кольца с ис­ пользованием формул (7.54), (7.56), (7.57) и складывая с выражением для

иг (гв, /н), можно получить зависи­ мость

Ъ

дМ гв)=, - * 5еегвУ °в(У) х

I

Xw2k — 1

процента формула (7.62) для намотки с постоянным усилием натяжения может быть аппроксимирована сле­ дующим простым выражением:

Л ' н ( ' н ) = - S 60CT0' B X

пень анизотропии k — ~[/EQ/ET (опреде­ ляемая через касательный модуль Ег) составляет 30—200 (k = X) до пре­ дела пропорциональности и 4—50 (k = = w) после него. Напряжения поряд­ ка о* соответствуют средним напря­

ка тонкостенных изделий. Давление на оправку в этом случае оценивается

вать по абсолютной величине от оправ­ ки к наружному радиусу. В противном случае (появление локального экстре­ мума или участка плато) на эпюре 09, связанной с эпюрой ог уравнением равновесия, имеется область сжимаю­ щих напряжений, что недопустимо вследствие искривлений. Если диа­ грамма сжатия полуфабриката аг— ет аппроксимируется, кусочно-линейной зависимостью, то кольцо может быть либо однородным по деформативности (если напряжения вблизи оправки не превысили предела пропорционально­ сти), либо неоднородным (если | сгг (гв, гн) | > | * |). Если внутренняя коль­

цевая область с анизотропией k = w сопоставима по размерам с наружной областью, характеризуемой анизотро­ пией k — X, то линейно-упругая мо­ дель неприменима. Если же эти об­ ласти значительно отличаются по раз­ мерам, то можно использовать ли­ нейно-упругую модель с показателем анизотропии соответственно k = % или k = w.

Пусть в момент, когда граница раз­ дела двух областей в композитном кольце находится на относительном радиусе р = р*, приложено бесконечно малое изменение наружного давления dpHt тогда приращения напряжений, например dor, могут быть формально записаны для этого случая так:

Эта запись означает, что при нагружении кольца давлением, сопровождаю­ щимся движением границы раздела в сторону наружного радиуса, прира­ щение напряжения может быть пред­ ставлено как сумма приращений на­ пряжений в составном кольце при неподвижной границе и приращении

напряжения от замены материала в тон­ кой полоске между предыдущим и по­ следующим положениями границы при конечных напряжениях и неизменных граничных условиях. В силу непре­ рывности деформаций и напряжений в точке перелома второе слагаемое

в(7.64) пренебрежимо мало.

Расчет напряжений в составном ани­

зотропном кольце приведен в пп. 7.2.7, 7.2.8. В данном случае задача отли­ чается только тем, что записывается в приращениях и удовлетворяет не­ сколько иным граничным условиям, аналогичным (7.53) и (7.23):

de0 = VonSee doT при г = гв.

Переходя к малым конечным раз­ ностям, можно для данного конкрет­ ного шага воспользоваться приведен­ ными в пп. 7.2.7, 7.2.8 соотношениями с положением границы раздела гх =

— р*гв, унаследованными от предыду­ щего шага. Приращение положения границы Ар* определяется из следую­ щих соображений. На движущейся границе раздела напряжения аг по­ стоянны и равны пределу пропорцио­ нальности. Математически это озна­ чает, что производная ог по направле­ нию р = р* равна нулю, откуда, пере­ ходя к конечным разностям, можно получить

Последовательность вычислений сле­ дующая. До некоторого значения гП= = rJJ намотка ведется принапряже­

ниях, не превышающих предела про" порциональности. Величина rj опре-

деляется при использовании дискрет­ ной формы кольцевой модели (7.54), (7.55) непосредственно или методом последовательных приближений при непрерывной форме (7.56)—(7.57). За­

давления на оправку p/ag от относитель­

ных размеров кольца Ь при различных уси­ лиях натяжения, заданных параметром

°*/а0:

кривые 1—S для сг’/сг^, равных соответственно 0, —0,02; —0,03; —0,04; —0,05; оо

положение границы раздела, а по соотношениям многокольцевой моде­ ли — приращения напряжений и пе­ ремещений. При суммарных напря­ жениях рассчитывается новое положе­ ние границы и т. д.

Идея метода напоминает метод Эйле­ ра численного решения дифференци­ альных уравнений; то же сопо тавление возникает и при анализе его точ­ ности. Точность может быть повышена двойным пересчетом; вначале напря­ жения определяются при предшеству­ ющем положении границы, затем вы­ числяются Ар* и новое положение границы, далее пересчитываются на­ пряжения при среднем арифметиче­ ском из двух крайних положений гра­ ницы, а ватем при уточненных напря­ жениях уточняется и Ар*. Можно воспользоваться и более точными ме­ тодами, например, аналогом метода Адамса—Башфорта с построением на­ чального отрезка аналогично методу Крылова. Другой способ решения 8а-

дачи намотни с кусочно-линейной диа­ граммой аг — ег рассмотрен в |18]. Эти методы соотносятся друг с другом аналогично методам теории течения и деформационной теории пластичности. Сопоставление численных результатов подтвердило эквивалентность этих двухметодов.

Рассмотрим некоторые численные ре­ зультаты по намотке с постоянным натяжением. На рис. 7.12 приведены зависимости давления на оправку (в долях от напряжения og) от наружного

радиуса, рассчитанные по линейной теории с показателями анизотропии Л = Х и £ = ю и п о нелинейной теории при различных усилиях натяжения. При малых усилиях натяжения, пока диапазон радиальных напряжений в изделии не выходит за пределы пер­ вого участка кусочно-линейной диа­ граммы аг — вг, рост усилия натяже­ ния не сопровождается изменением p/org. При выходе за этот диапазон

относительное давление на оправку р/о§ возрастает с ростом усилия на­

тяжения. При значительных усилиях натяжения рост этой характеристики замедляется, а затем вообще прекра­ щается, т. е. становится возможным переход к расчету по линейной модели с анизотропией k = со. В случае на­ мотки с переменным натяжением с ро­ стом уровня натяжения при неизмен­ ном законе его изменения наблюдается аналогичная картина.

Расчет окружных напряжений при намотке с постоянным усилием на­ тяжений показал, что усилие натяже­ ния существенно влияет на эти эпюры. На рис. 7.13 приведен пример рас­ пределений окружных напряжений (в долях от напряжения erg) в одинако­

вых кольцах, намотанных с различ­ ными усилиями натяжения. При ма­ лых натяжениях наматываемой ленты (в области применения линейной мо­ дели намотки с k = X) эпюра напря­ жений ое в долях от о§ не зависит

от erg. При увеличении натяжения

эпюра относительных окружных на­ пряжений искажается, причем ста­ новится равномернее по сеченню. При очень больших значениях og влияние

этой величины на распределение ха-

ракгериетики о0/о§ ослабляется, а аа«

тем! и вовсе прекращается. Это соот­ ветствует переходу в область примене­ ния Линейной модели намотки с ани­ зотропией k = со.

Таким образом, при намотке с боль­ шими усилиями натяжения предва­ рительное натяжение, в основном/ сохраняется, а при намотке с малыми значениями а§ происходит потеря зна­

чительной его части, а в некоторых случаях и появление сжимающих ок­ ружных напряжений, что связано с опасностью искривления волокон. Аналогичная картина наблюдается и при намотке с переменным натяже­ нием.

Сопоставим вклады напряжений на­ мотки в начальные напряжения при различных условиях натяжения. Для этого из напряжений намотки надо вычесть напряжения, возникающие при снятии с оправки отвержденного из­

напряжения растет с увеличением уси­ лия натяжения. Экспериментальные исследования влияния усилия натя­ жения на начальные напряжения об­ наружили, что уровень начальных напряжений при намотке холодной лентой на холодную оправку растет, а при намотке подогретой лентой на холодную оправку падает.

Для случая гладкой зависимости между напряжениями и деформациями применима многокольцевая модель. Пусть напряжения и деформации во всех точках уже намотанного кольца известны. Это значит, что известны и касательные модули и другие упругие характеристики в каждой точке коль­ ца. Если приращения, возникающие при намотке очередного витка, малы, то для расчета можно воспользоваться указанными характеристиками. Это означает, что для приращений напря­ жений кольцо рассматривается как линейно-упругое неоднородное. Глад­ кая неоднородность при большом числе слоев может быть заменена кусочной неоднородностью, т. е. используются зависимости (7.40)—(7.44). После сум­ мирования приращений напряжений и деформаций с предшествующими вновь определяются касательные упру-

Рис. 7.13. Эпюры относительных окруж­ ных напряжений при намотке с различны­ ми усилиями натяжения:

и т. д. Точность может быть повышена путем двойного пересчета, аналогично тому, как это делалось в кусочно­ линейной модели.

В работе [1] приведен пример ре­ зультатов расчета при следующей ап­

Данные расчетов, представленные

в| 6] и на рис. 7.12, аналогичны

экспериментальным (см. рис. 7.11): с ростом усилия натяжения давление на оправку, отнесенное к напряжению

внаматываемой ленте, увеличивается. Большие деформации допустимы

только в радиальном направлении, в окружном они не должны превышать малых деформаций предварительного растяжения, в противном случае про­ изойдет искривление арматуры.

Приращения деформаций, возникаю­ щие при намотке одного текущего витка, малы. Они относятся к теку­ щему деформированному состоянию, что приводит к естественному обраще­

нию к мере Генки для ег при описании конечного деформированного состояния.

Так как практически всю нагрузку в окружном направлении несут слои