Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1480.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

29.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

ных материалов. М.: ЦАГИ, 1978. Вып. VI.

С.153—160.

6.Мнткевич А. Б., Протасов В. Д. Равновесные стеклопластиковые баллоны давления минимальной массы при негеоде зической намотке//Механика полимеров. 1976. № 6. С. 983—987.

7.Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977.

144с.

8.Применение конструкционных пластмасс в производстве летательных аппаратов/Под ред. А. Л. Абибова. М.:

Машиностроение, 1971. 215 с.

9. Ривлин Р., Пипкин А. Проектиро вание сосудов давления, усиленных нерастяжнмыми нитямИ//Прикладная меха ника (ASME). 1983. № 1. С. 123—129.

10. Росато Д. В., Грове К. С. Намотка

стеклонитью. М.: Машиностроение, 1969.

348о.

И. Хартунг Р. Сосуды давления, полу ченные методом плоскостной намотки нитей//Ракетная техника и космонавтика.

1963. № 12. С. 159—160.

12.Черевацкий С. Б. О произвольных нитевых оболочках вращения, нагружен ных давлением//Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машино строение, 1966. Вып. 4. С. 20—30.

13.Шурч Г., Бурграф О. Аналити ческое исследование оптимальной формы сосудов давления, навитых из стекловолокна//Ракетная техника и космонав

тика. 1964. № б. С. 33—47.

14. Bunakov V. A., Protasov V. D., Cherevatskll S. В. Optimum Design of Memb rane Composite Shells of Revolution//Mechanics of Composite. Moscow, MIR Publisheres. 1982. P. 252—280.

Г л а в а 4

МНОГОСЛОЙНЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ о б о л о ч к и ВРАЩЕНИЯ

Среди многослойных конструкций, вы полненных из композитов, оболочки вращения занимают особое место, по скольку они весьма технологичны при изготовлении естественным для во локнистых композитов методом — ме тодом намотки. С точки зрения расчета многослойных конструкций, оболочки вращения являются достаточно про стыми объектами исследования, по скольку модельное представление о рас пределении деформаций в трансверсаль ном направлении и периодичность решений по окружной координате поз воляют свести решение трехмерной задачи теории упругости к последова тельности решений одномерных крае вых задач. При расчете на ЭВМ наи более удобной формой представления разрешающих дифференциальных урав нений одномерных задач являются системы дифференциальных уравнений первого порядка, или канонические системы. Для таких систем разрабо таны стандартные программы интегри рования, а также различные вычисли тельные приемы, обеспечивающие до статочную точность решения [1, 2, 5, 7].

4.1. СТАТИКА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

4.1.1. Вариационно-матричный способ получения канонических систем диф ференциальных уравнений. Рассмотрим многослойную оболочку вращения. Ко ординатные оси а, р направлены со ответственно вдоль меридиана и па раллели; материалы слоев ортотроп* ные, с осями упругой симметрии, совпадающими с направлениями коор динатных осей. В этом случае при получении разрешающих уравнений можно пользоваться соотношениями, записанными для амплитудных значе ний л-й гармоники разложений функ ций в 1)яды Фурье по угловой коорди нате р.

Процедуры получения канонических систем разрешающих дифференциаль ных уравнений для рещения задач статики многослойных оболочек вра щения общего вида приведены ниже.

Рассмотрим кольцевой оболочечный элемент, ограниченный нормальными коническими сечениями а = а х и а = а 2 (рис. 4.1). Ось а направлена вдоль меридиана; угловая координата Р оп

ределяет плоскость меридиана; ко ордината у направлена вдоль внешней нормали к базовой поверхности обо лочки; радиус параллели г (а) равен параметру Ламе Ла (а). Будем счи тать, что в пределах кольцевого эле мента геометрические параметры, жесткостные характеристики и внешние поверхностные силы изменяются не прерывно.

Математическая формулировка принципа возможных перемещений для кольцевого оболочечного элемента имеет вид

а, 2л

	J		6er\| J f A 1At dfida —
	oti	О
	а, 2я
	-	J	X rfJA 1At6 d p d a -
	at О
	2	2я
" 2		J		= ь	(4Л)
	1=1	о
где	е — вектор-столбец			обобщенных
деформаций;			Иг— вектор-столбец		вну
тренних		обобщенных силовых факто
ров,	сопряженных с е ;			X — вектор-

столбец обобщенных перемещений; / — вектор-столбец распределенных сил, со пряженных с Л; «Т» обозначает опе

рацию	транспонирования;	Х ( = Х
(а = а*)	(i = 1, 2) — обобщенные пе
ремещения торцовых сечений;		(t =

= 1,2) — вектор-столбец внешних тор цовых погонных силовых факторов (считается, что положительные направ ления X i и ti совпадают); величины, перед которыми стоит знак б, счи

таются	произвольными		кинематиче
скими	факторами,	не	нарушающими
внутренних и внешних			связей, т. е.
это произвольные		достаточно гладкие

функции, удовлетворяющие кинемати ческим (главным) условиям.

Связь обобщенных внутренних си ловых факторов и деформаций уста

навливается на основе	соотношений
упругости	(4.2)
Л = £>е,	(4.2)

где 3) — симметричная, положительно определенная матрица, содержащая интегральные по толщине жесткостные характеристики.

Воспользовавшись периодичностью решений по угловой координате Р, кинематические и силовые факторы можно разложить в тригонометриче ские ряды и представить в виде

оооо

ф= 2 РфпФп+ 2 В*»*». (4-3)

п=0 п—0

где Ф = (е^./Р, X , / , X it tt), а матри

цы Рфп» Рфп содержат тригонометри ческие функции sin лР, cos лР. Коэф

фициенты разложений Фп и Фп соот ветствуют симметричным и кососим метричным (относительно нулевого ме ридиана Р = 0) составляющим реше ний и являются функциями коорди наты а . Специальный выбор знаков

при коэффициентах матриц РфП и

|£фП позволяет формировать одинако вые системы разрешающих уравнений как для симметричных, так и для кососимметричных составляющих. По этому в дальнейшем, если не указы вается принадлежность к симметрич ным или кососимметричным составля ющим (отсутствуют символы с—» или с~»), то подразумевается, что такая запись справедлива как для симме тричных, так и для кососимметричных составляющих. Нижним индексом л будет отмечаться принадлежность к л-й гармонике разложения.

После подстановки (4.3) в (4.1) и интегрирования по угловой коорди нате Р получим следующую одномер

ную вариационную формулировку:

а*

J K ^ n - e ^ / n ) A xA , d a -

ctl

м )

где

Ж п = 2>е».

(4.5)

Для того чтобы записать связь ком понент вп с перемещениями, коэффи циентов вектор-столбца Х п оказы вается, нан правило, недостаточно, поскольку необходимо располагать также некоторыми производными dlda от коэффициентов Х п (например, про изводными от перемещений или углов поворота). Эти производные удобно сгруппировать в отдельный векторстолбец Yn. После этого можно пред ставить связь Вп с перемещениями следующим образом:

= LlnX n + L2nYn. (4-6j

Особенностью записи (4.6) является то, что матрицы L%n, L2n не содержат дифференциальных операторов dlda, поскольку все необходимые производ ные от обобщенных перемещений Х п содержатся в вектор-столбце Yn .

Между коэффициентами Х п и Yn по определению существует дифферен циальная связь, которую в общем виде можно представить тан:

~A ^~daX n ~ ClXn ~ СгУп ~ ° :

1 £ Ж 6Х п~ Cl6Xn ~ С»6К" = °- ■ (4.7)

Для того чтобы в формулировке задачи (4.4) коэффициенты Х п и Yn считать независимыми, нужно допол нительные условия связи (4.7) ввести в (4.4) с помощью множителей Ла гранжа. В результате этих процедур с учетом (4.5), (4.6) получим

а*

j ( ( i,„ 6Хп + L2nbYn) r SD (Lln X n +

«1

+ L 2nr n) - 6 X l f n) AlA2da +

- C 26Yn) \ nA l da +

«а

- С 2К „ ) л , Л х -

- 2 бАГ^ ^ ( ^ ) = ° .

(4-8>

где Зьи — множители Лагранжа. Вариационная формулировка (4.8)

позволяет:

получить [1 ] искомую канониче скую систему дифференциальных урав нений

	_ L A			p 4
	Ах da			[ Х.„J
Г ^ ц	Д 12 - \| Г Х П ]					Г Я 1 ]
1.Л 2 1	АжJ \|_ &>n J					LЯ 2 J ’
где							(4.9)
где
	Л1 2		— ЬС2 I
Л®1 = S n —
	^ 2 2 =						(4.10)
	^ 2 2 =
	Ь =		C2S 22 \
	d =		Sjl ^22 I
$il —				In	(*»	I — 1*	2);
							(4.И)
	=	0;	W2 =		-	A*fn,	(4.12)
ввравить компоненты вектор-столб-
a a Yn :							(4.13)
У п = Ч 2		(	C	l K	- S	2 i X n ) ,	(4.13)
сформулировать				силовые граничные
условия
при а =	Ox		Xln =		— t lnAt («х); 1
при а =	а 4		W	=	tinAt (ос»),		J
							(4.14)

где %.щ= К (ад (» = 1, 2).

Кинематические граничные условия могут задаваться на компоненты векто ров Х 1п и Х 2п- Как следует из записи

силовых	граничных		условий	(4.14),
множители Лагранжа			представляют
внутренние		силовые	факторы,	умно
женные	на	радиус	параллели.
Полученная вариационно-матричным
способом	система дифференциальных

уравнений (4.9) в качестве неизвест ных функций аргумента а содержит компоненты векторов обобщенных пе ремещений Х п и обобщенных силовых факторов кп . Соотношения (4.10)— (4.12) определяют алгоритм получения коэффициентов канонической системы. В качестве исходной информации вы ступают: матрицы Lln, L2n [см. (4.6)], определяющие кинематику де формирования; матрица 2D [см. (4.5)], характеризующая приведенные жест кости многослойного пакета; матри цы Ci, С2 [см. (4.7)], устанавливающие дополнительные внутренние связи; век тор /п [см. (4.12)], определяющий коэффициенты разложения в ряды Фурье внешних распределенных сил и

моментов. Конкретное		содержание ис
ходной	информации	для	различных
моделей	деформирования		приводится
в последующих разделах.
После решения краевой задачи и
определения Х п и ^		в сечениях вы

вода результатов согласно (4.10), (4.13) определяется

Yn = b*kn — d? X n .

После этого с использованием (4.6) восстанавливаются значения обобщен ных деформаций еп и осуществляется пересчет результатов для точек вывода (4.3). В точках вывода производится суммирование решений по отдельным гармоникам.

Рассмотрим особенности получения разрешающих уравнений для случая совместного силового и температур ного нагружения. Исходная вариа ционная формулировка остается преж ней, т. е. (4.4). Изменяется запись связи обобщенных силовых факторов с деформациями. Согласно изложен ному в п. 1.3.5 можно записать вместо (4.2) J f — SDE —A J f T , где вектор-стол бец A определяет дополнительные внутренние силовые факторы, обуслов ленные температурными деформациями.

Для п-й гармоники разложения за пишем

— AJPтп. (4.15)

Такое представление внутренних си ловых факторов приведет к изменению вектор-столбца свободных членов в си стеме дифференциальных уравнений (4.9). Вместо (4.12) получим

#1 = МГ2; Я 2 = — N x + dN 2, (4.16) где Ni = А2 (fn “Ь LinAJCтп); N2 =

=Tn. Кроме того, вместо

выражения (4.13) следует воспользо ваться зависимостью

Уп = ЬТК - d TX n + S ^ N 2. (4.17)

Значения обобщенных деформаций вычисляются согласно (4.6), для опре деления внутренних силовых факторов

необходимо		использовать				выражение
(4.15).		Построение матриц жесткости
4.1.2.
кольцевых		элементов.			Матрицу		же
сткости	отдельного кольцевого						эле
мента, деформирование					которого		опи
сывается	системой			дифференциальных
уравнений (4.9), можно получить с ис
пользованием			матрицы		фундаменталь
ных решений [1]. В силу линейности
исходной	задачи компоненты вектора
состояния		(обобщенные			перемещения
Х п и внутренние силовые факторы кп)
в сечении а —			можно связать с ком
понентами вектора состояния в сече
нии а —о* следующим образом:
Г^2П 1 _ Г®11				®12\| Г т 1 +
L ^2П J			\| _	®® 2 12 j	L ^171 J
			Y ч а с т и "
			л п			(4.18)
			\ ч а с т я

где tbt] — блоки				матрицы		фуйдамен-
тальных	решений.				фундаменталь
Заполнение			матрицы

ных решений можно представить так. Решается задача Коши для элемента при Н г = Н 2 = 0 (см. 4.9) при на чальных условиях, когда только /-я компонента вектора состояния в пер вом сечении (а—с^) равна единице, остальные компоненты — нули. В ре зультате интегрирования (4.9) в сече нии а —eta получим определенный век тор состояния. Этот вектор заносится

как /-й столбец в матрицу ©. Получив решения всех 2т (т — размерности векторов Х п и кп) задач с единичными начальными условиями, полностью за полним матрицу фундаментальных ре шений. Вектор частного решения по лучается после интегрирования неодно родного уравнения (4.9) при нулевых начальных условиях.

При численной реализации процедур заполнения матрицы фундаментальных решений для моментных оболочечных элементов участки выбираются доста точно короткими, если не применяются приемы ортогонализации [2, 5, 7]. Это связано со спецификой разреша ющей системы дифференциальных урав нений, для которой возможны быстровозрастающие и быстрозатухающие ре шения, а также с неизбежными погреш ностями округления при вычислении на ЭВМ. При большом участке инте-^ грирования, если не применяются спе циальные приемы, векторы решений в © при расчете на ЭВМ могут стать практически линейно зависимыми или вычисляться недостаточно точно. Дли ну участка интегрирования необхо димо выбирать, ориентируясь на соб ственные значения матрицы разреша ющей системы и соответствующие дли ны зон краевых эффектов.

Связь векторов состояния в сече ниях а—а%и а—о&а, представленная вы ражением (4.18), и силовые граничные условия (4.14) позволяют выразить силовые факторы А2 (ai)tlnE А2 (ch)t2n

(их можно рассматривать как реакции

отсеченных	частей оболочки) через
перемещения	сечений и приведенные
к сечениям	нагрузки

К 12 —	®\21\	К\\ — "” ^12®11»
^21 =	К\2>	%22 = ~~ ®22^12э
	r'l—П\2Лп >
	о	ь г у ч а с т и .

P2=- C CTH- ‘>22*V

(4.20)

Полученная матрица [АГ*./] [см. (4.19)] представляет матрицу жестко сти конечного кольцевого оболочеч ного элемента; вектор [Р* ] определяет приведенные к торцам элемента внеш ние распределенные силы. Дальнейшее решение краевой задачи выполняется' с использованием стандартных опера ций метода конечных элементов [6].

4.1.3. Тонкие многослойные оболоч ки. Исходные данные для получения разрешающей системы дифференциаль ных уравнений (4.9) имеют следующий вид.

Обобщенные деформации е и ма

трицы разложения реп и реп в триго нометрические ряды запишем в виде

е = [еа . ер, уар, ха , х0, Хаз]7»

Реп = Г*п, сп» sn»			сп»	сп»	snJ>
Реп =Г. sn —c n t			s n>	sn» —сп~1»'
					(4 . 21)
где Yap =	еа р+	ера ;	Хар =		*ар +
+ кра'»	Sn =	sin ^P;		сп =	cos

Здесь и в дальнейшем угловыми скоб ками Г*j обозначаются диагональные матрицы.

Внутренние силовые факторы J f и матрицы разложения */1° в тригономе трические ряды имеют вид:

J f = [ N a t N р, N а р,
Ма* Л4р, Мар]^»	(4. 22)

Р*Гп = Реп» Pjvn == Реп

Обобщенные перемещения X и ма трицы разложения X в тригонометри ческие ряды имеют вид:

X = [и, о, о/, ©а]т;		\
Рхп = Гсп»	snt сп, спJ,	\| (4.23)
Рзсп = Г*п.	cnt sn»snJ*	J

Компоненты вектор-столбца Y и матрицы разложения Y в тригономе трические ряды имеют вид:

гг	1 д	_т.
	Руп = Гсп, sn»	cnJ»	(4.24)
	Руп ==fsn. -Cnt snJ*

Компоненты вектор-столбца внеш них распределенных сил f и матрицы разложения/ [см. (1.19)] в тригоно метрические ряды имеют вид:

	г а	;				(4.25)
	Р/n —	Ржп!		Р/п —	Ра
Компоненты			обобщенных			перемеще
ний	на торцах		X t (I =		1,	2) имеют
вид,	аналогичный			(4.23).			Я.,
Обобщенные			силовые		факторы
сопряженные			с	перемещениями			X
(4.23), можно			записать		в	виде	}
b = A 2 [Na , N 'aр. Q;, M J T;
	Ря,71 =	Рхп»		Pxn == Pxn»
где						(4.26)

	^ap =		WaP + k2Mafi\

Матрица приведенных жесткостных характеристик многослойного пакета 3> имеет следующую структуру:

"£ ц В12	0	Сц	Сха	о -
В22	0	Ci2 С22		0
2> =	^88	0	0	С88
2> =		Я ц D 12		0
		Я ц D 12		0
			D 22	0
СИМ.				09 00

(4.27)

где коэффициенты Ви, Cij, Dtj вы числяются согласно (1.34) (т. е. без учета изменения метрических харак теристик) .

Для амплитудных значений n-й гар моники разложения связь еп с Х п и Yn [см. (4.6)] устанавливается на основе соотношений:

llan = ^ i		Un+kiWn;
е3п =	Фг«п +	flvn + k2wn\
Л,	л	, 1	d
Va3n —	ЙМ\|\| — фа^п Ч~		vn>

(4.28)

1 d	CDQ
— ‘Лх da

И0п = kbilVn + Я2шп + фаШап»

Харп = 2 ( —<pa£aon — фаЯа1„ —

	~ * a>an +	k * i i ; i E x>n) ’
где	Я = n/A2\	фа =	1	dA%
			AXA2	da

Тогда для выбранных последова тельностей компонентов е (4.21), X (4.23) и Y (4.24) матрицы Lln и Lan (см. 4.6) будут иметь следующие коэф фициенты:

	^171 ==
■0	0	kx	0	*
Фа	Я	^а	0
—Я	—фа	0	0
0	0	0	0
0	м	Яа	Фа

0 —2фа&а —2фаЯ —2й

(4.29)

—о

О2k2

Матрицы связи Ci и Са [см. (4.7)] можно записать в виде

“ 0	о	о	О
0	о	о	о
0
Сх =	0 0 —1
	0 0 —1
Г" о	о	о	о
	'1	0	0"	(4.30)
2 —	0	1	0
2 —	о	о	о
	о	о	о
	_0 0 1_

Компоненты вектор-столбца допол нительных внутренних силовых фак торов, обусловленных температурными деформациями, упорядочены следую щим образом:

т = [^1т» ^зт* 0, DlT, DaT, 0]т (4.31)

(см. 1.2.5). Матрицы разложения A JfT в тригонометрические ряды совпадают

Компоненты вектор-столбца К

- • е- 0р]Т-

(4.35)

Матрицы разложения Y в тригоно метрические ряды аналогичны матри цам разложения X :

сматрицами Реп и pen-

4.1.4.Учет деформаций поперечного сдвига. Обобщенные деформации е

иматрицы реп» Реп имеют вид

Р у п = ? х п »

Р у п = ? х п *

Компоненты вектор-столбца внешних распределенных сил / [см. пояснения н (1.19)] следующие:

® = [8сс» е0» ?<х0» ^а» Ир, 5Са0»

^О. (4.32)

Реп = Сп» *п» Сп» СщSni Св, SnJ»

Pen = Un, sn> — Cn , sn> sn> — cTi)

Sn. —CnJ-

Внутренние силовые факторы

J f = [#а» Np, Nap, Ма» Мр, Мар,

Q«. Qp]T-

(4.33)

Матрицы разложения J f в триго нометрические ряды совпадают с ма

трицами Реп и Реп:

Ptfn = Реп» Pwn = Реп*

Обобщенные перемещения X и ма трицы рхп и рхп имею® вид

/ = С/а» ^0» /у» т а» ^0]

(4.36)

Матрицы разложения / в тригоно метрические ряды совпадают с ма

трицами рхп и рхп:

Р i n = P x n l

P / n — ^ x n -

Обобщенные силовые факторы Я., со пряженные с перемещениями Л (4.34), имеют следующие компоненты:

Я» = J42 [Wa , Wa 0, Qa , Л4а , М а р]^

(4.37)

Матрицы разложения Я. в тригоно метрические ряды имеют вид

х	=	[ы, п, wt 0a ,		0р]т ;					Рхп = Рхп»		Рхп == ?хп*
Р х п	=	Г с п» s n»	с п»	с п»	s n J »	(4.34)		Матрица		приведенных ж^сткостных
							характеристик многослойного пакета 3>
Р х п =	Г * п . ---- Сп *		s n »	Sn *	---- ^ nJ*		имеет		следующую		структуру:
			_ Вп В 12			0	Сп	С\2	0	0	0 “
					В 22	0	Си	с аа	0	0	0
						B 3 3	0	0	^38	0	0
							D n	D 12	0	0	0
								D 2 2	0	0	0
									D 3 3	0	0
										Кг	0

_сим

Коэффициента матрица 2D(4.38) вы числяются на основе соотношений (1.34).

Коэффициенты обобщенных дефор маций Вп выражаются через переме щения следующим обраэом:

	1	d		,	.	*
е<хп ~	‘ЛГ *3а “n +				klWnt
ерп = Фа“п +			Лоп +		k2wn ;
Vapn = — ^ ип				Фаvn +
	,	1	d
	+	1 7 d ^ l’n:
	_	1	d	ft
Кап~~А ^~Ж °an:
x0n =			+	Я0рп;		^
Xapn = — Я0ап — фа^Эп +
	,	1	d		.
	+ 'д Г Ж 0рп’
	Фал =		®on +
,	1	d		.
Фрп == ®Pn —			*u>n —		k2vii'

На основе соотношений (4.39) за

полняются матрицы				Ьщ ,				Lan	(см.
	О		0	kx			О	О	-
	Фа		A	k2			О	о
	— А	—фа		О			О	о
L\ii	0		0	0			0	о
L\ii	0		0	0			фа	А
	0		0	0			фа	А
	0		0	0		—Л —фа
	— kx		0	0			1	0
	0	— k2—Л					0	1
		—1	0 0					(4.40)
		—1	0 0			0 О—
		0	0	0		0 0
		0	1 0		0		0
	L 1 =	0	0	0			10
	L 1 =	0	0	0		0 0
		0	0	0		0 1
		0	0	1 0			0
		__о	о	о		о о

Матрицы связи С* и Ca [(см. (4.7)] можно записать в виде

С1 = °(бХб)1 С2 = ^(бХб)» (4*41)

где 0 (бхб) и £ (бх5) — нулевая и еди

ничная матрица размерности (5X5). Компоненты вектор-столбца допол нительных внутренних силовых фак торов* обусловленных температурными деформациями, упорядочены следую

щим образом:

АЛРт = [BIT * /Зат» 0» 01т» ^ат»

О, О, 0]т

(4.42)

(см. п. 1.2.5). Матрицы разложения АЛ>Т в тригонометрические ряды сов

падают с матрицами Реп и Реп*

4.1.5.		Учет изменения			метрических
характеристик. Обобщенные деформа
ции	е и матрицы		реп.	Реп:
в =	[Вц,	ер, 8(хр,	8ра , Kg, Кр* хар,
		« З а »	Ф	а »	Ф	р ] Т »‘
Р е п ^ Г ^ п »		тг. sn	sn*	cnt сп *		sn* sn»

On* snJ>

Pen — TsП» Sn. —cn* —On, sn , sn|

—cn> —On% sn, —CnJ.

Внутренние силовые факторы

Wp, N a p, Wpa, iWa, Mp,

Map. A4pa . Qa. Qp]T • (4.44)

Матрицы разложения ЛР(4.44) в три гонометрические ряды определяются так:

PjVn Реп» Рдтп " Реп*

Коэффициенты матрицы приведен ных жесткостных характеристик мно гослойного пакета 2D определяются

с учетом изменения метричесния свойств [см. (1.22)]::

Вц В12	0	0	Сц	С и	0	0	0	0
В22	0	0	Си	Саа	0	0	0	0
	pH	р12	0	0	с п	с п	0	0
	^33	^33	0	0	с 33	с 33	0	0
		р22	0	0	Г \2	г 22	0	0
		^33	0	0	с 33	и 33	0	0
				D 12	0	0	0	0
				D 22	0	0	0	(4.45)
				D 22	0	0	0	0
					п п	D 12	0	0
						и зз
						п2 2	0	0
						и гз	0	0

сим.

Для п-й гармоники разложения коэф фициента вектор-столбца обобщенных деформаций е выражаются через пере мещения следующим образом [см. (1-26)]:

®ап - ЛГ da “n + klWn''

8Эп=4>»«п+ я»п +

_ 1 d

е0ап = — Ли» — ф*®а» _ 1 d я

Хап~" л Г Ж иап;

Ирп == Фг^ап 4" ^0pnI

Ха*Л

Крап = — Л0ап — Фабрп!

Фап = 9<хп +

, 1 d

tyn = Арп — Аи>п —

Ha основе соотношений (4.46) за полняются матрицы Lln, L2n [см. (4.6)]:

				К.!		О
					^2—
-	0	0		21		0	0 ■■
	Фа	я		21		0	0
	0	0		0		0	0
	— Я —Фа			0		0	0
	0	0		0		0	0
	0	0		0		Фа	я
	0	0		0		0	0
	0	0		0	— Я —фа
	- * 1	0		0		1	0
	0			—я		0	1
							(4.47)
		- 1	0	0	0	(Г ~
		0	0	0	0	0
		0	1	0	0	0
		0	0	0	0	0
		0	0	0	1	0
		0	0	0	0	0
		0	0	0	0	1
		0	0	0	0	0
		0	0	1	0	0
		_ 0	0	0	0	0 _
Представление			компонент				векторов
X , К,	/ ,	X.	дается		выражениями

ц и а л ь н н х

уравнений д л я

реш ения

эа-

дач

устойчивости

колебаний:

Аг d

- l K

ГА ц

А12]

Г Х п 1

:Ual

^aaJ L

J ^ (4.55)

где

А\1 — С\ ~ & $ 2Ь

А\2 =

^ 2

^21 =

$ ц — **$2Ь

(4.56)

^22 =

- А

ТЬ

Ь =

C2S 2^ l\

е*Т о*—1.

— <>21

**22

S'l, =

А2 (L lS > L ,n +

A R jnJP0Rjn -

- 4 > 2F]nMF,n)

( 1 . 1 =

1 .2 ) .

(4.57)

С учетом того, что обобщенные пере

мещ ения

Х п и

силовые

факторы

Хп

являю тся

дополнительными,

гр а

ничные

условия

на торцах

рассм атри

ваемой

оболочки

такж е

будут

одно

родными.

О тличие

процедур

получения

кано

нической системы (4.56) от процедур

получения

матрицы

разреш аю щ ей

си

стемы

дифференциальных

уравнений

д л я

реш ения

задачи

статики (4.9) за

клю чается

вычислении

матриц

S*j

[см. (4 .5 7 )]. К ак

видно

из

вы раж ения

(4.57),

матрицы

Sfj

содерж ат

кроме

ж есткостны х

характеристик информа

цию о начальном напряж енном состоя нии, а так ж е инерционные хар акте ристики системы.

П олученная система дифференциаль ных уравнений (4.55) позволяет для многослойной оболочки вращ ения ре ш ать задачи устойчивости и определять

критический		парам етр	н агруж ени я .
П ри этом	в	вы раж ении	(4.57) следует
полож ить	©а = 0. Д л я		определения

частот колебаний оболочки вычисле

ние матриц	S*j вы полняется при А	=
= co n st. В	частном случае при А =	0

определяю тся частоты ненагруж енной системы.

П оскольку искомый парам етр соб ственного значения Я (или ©а) входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных уравнений, то коэф


фициенты	матрицы фундаментальных
реш ений,	а следовательно,			и	коэффи
циенты матрицы			ж есткости	кольцевого
оболочечного		элемента будут				иметь
нелинейную		зависим ость		от	Я	(или
©а). В	случае		разбивки		оболочки

на короткие элементы дл я каж дого эле мента можно применить прием линеа ризации матрицы ж есткости по пара метру собственного значения и выде

лить	для элемента				м атрицу,			аналогич
ную матрице приведенны х начальных
напряж ений			(или		матрице			приведен
ных масс) конечного элемента в ме
тоде	конечных			элементов (М КЭ).
4 .2 .2 .		Устойчивость и колебания тон
ких многослойных оболочек. Исход
ными данными для получения разре
шающей системы будут матрицы Ьщ,
Ь2п (4.29);			м атрица приведенны х						же
сткостны х характеристик £>(4.27);									ма
трицы связи			C j, Ся (4.30); матрицы J?1П)
R 2n [см. (4.50), (4 .5 3 )], которые можно
представить			в	виде
	Я ш				о	о	п
					k2	a	o	J ;

			Я2п — 0(2X3)»					(4.58)
где	0 (2x 3) — нулевая					м атрица			раз
мерности		(2 X 3 );			матрица		начальных
погонных		усилий				01
			_ Г<
		•^ 0 = 1			“	№в \	\|;	(4.59)
				[ о			’
						Р '
матрицы		Рщ ,		Fin [см. (4.52),
				“ 1	0	0	0“
				0	1	0	0
	Рщ =			0	0	1	0

				0	0	0	1
				_ 0	k2	л	0 _
			Ъ п = ° ( б х з ) ;					(4.60)

м атрица приведенны х инерционных ха рактеристик Af, определяем ая выра жением (4.51).

При вычислении

коэффициентов

В р,

(4.63); матрица приведенных инер

Ср, D p (см. п .

1.2.8)

иэменение

метри

ционных

характеристик

(4.51)

ческих характеристик можно не учи

коэффициентами

В р,

Ср,

D p,

опре

тывать

считать,

что

деленными

учетом изменения метр и-

ческих

характеристик

(см.

п.

1 .2 .8).

Вр =

j p d y ;

Ср =

J PVdy;

4 .3 . РАСЧЕТ

Ц И Л И Н Д РИ Ч ЕС К И Х

— в

—#

О БО Л О ЧЕК

^ P = j p v * r f v -

(4.61)

Оболочки

цилиндрической

формы

ш и

— е

роко применяются в различных от

Если

расчет

проводится

бее

учета

раслях

техники

качестве

резервуа

ров,

баллонов

давления,

трубопро

инерционных

составляю щ их,

связан

водов,

корпусов

летательны х аппара

ных

углам и

поворота

сечений,

то

тов

других

силовых

конструкций.

в матрице

М (4.51)

можно

полож ить

Математический

аппарат

расчета

тон

Ср =

D p =

в, Л®, X ,

ких

изотропных

цилиндрических

обо

Компоненты

векторов

У,

лочек

разработан

достаточно

полно.

fc определены

в п .

4 .1 .3 .

Расчет

цилиндрических

оболочек

из

4 .2 .3 .

Устойчивость и колебания тон

ких

многослойных

оболочек

учетом

слоистых

композитов

обладает

р я

дом

особенностей,

и далеко

не

всегда

деформаций

поперечного

сдвига.

И с

удается

воспользоваться

известными

ходными данными

для

получения

р а з

решениями.

Кроме

того,

даж е

для

решающей

системы

(4.65)

будут

ма

простых

расчетных

схем

аналитиче

трицы

Ь щ *

п (4.40);

м атрица при

ские

решения

для

оболочек

из

слои

веденных

ж есткостны х

характеристик

стых композитов, как

правило, теряю т

(4.38);

матрицы связи С»,

С2 (4.41);

матрицы

R lnt R 2n

[см. (4.50),

(4 .53)]:

свои

основные

преимущ ества,

заклю

чающиеся

простоте

расчетных

зави

0 1

симостей и обозримости аналитических

* ln

L.O

ft,

0 J

’

вы кладок.

этих

случаях

оказы

вается

удобней

использовать

более

общий математический аппарат и про

* - - [ S

1 '

2 ] ‘

<*•“ >

водить расчеты на ЭВМ.

4 .3 .1 .

Задача статики свободно опер

матрица

начальный

погонных

уси

той слоистой цилиндрической оболочки.

лий Л®0 (4.59); матрицы

F2n [см.

Рассмотрим замкнутую круговую ци

(4.52,)

(4.54)]:

линдрическую

оболочку,

свободно

F\n =

Е (БХб>;

F2n в

0 (бхб)1

опертую

по

торцам

х =

(рис. 4.2), нагруж енную

нормальными

(4.63)

силами

по

внутренней и

внеш-

матрица приведенных инерционных ха рактеристик М (4.51) с коэффициен

тами Вр,	Ср,	D p (4.61).
Компоненты		векторов	е,	Л®, ЛТ,
К, к определены в п.			4.1.4.
4 .2 .4 .	У стойчивость		и	колебания

многослойных оболочек с учетом дефор маций поперечного сдвига и изменения метрических характеристик. Исходны ми данными для получения разреш аю щей системы (4.55) будут матрицы L ln ,

Ц п (4.47);	матрица приведенных ж ест
костных	характеристик	(4.45);

матрицы связи Сх, С2 (4.41); матрицы *m , R 2n (4.62); матрицы F ln , F2n

Рис. 4.2. Круговая цилиндрическая обо лочка

ней поверхностям (рис. 4.3). Гранич ные условия свободного опирания пред полагаю т отсутствие на торцах нор мального прогиба ш, касательного перемещения v, угла поворота сече ния в плоскости торца, осевого усилия

N x и изгибающего момента	Мх. Т а
кие граничные условия [4]	прибли

ж енно моделирую т опирание края обо лочки на ш пангоут, ж есткий в своей плоскости и податливый при круче


нии и	изгибе из плоскости.
Д л я	реш ения		воспользуемся ва
риационной		формулировкой задачи,
основанной		на	принципе возможных

перемещений. С учетом граничных

условий		запишем
I 2nR
J	J	(в е т J f — 6 Х 7&>) dydx = О,
О	о						(4.64)
где							(4.64)
где	® — [®ж* ®у» ВХУ* ®ух> Я*»
	® — [®ж* ®у» ВХУ* ®ух> Я*»
	Ну, Хху, Ху*, фж, фу]^;
	JT =	INX, Ny. Nxy,			N yx,		(4.65)
	M x ,		My, M Xy , M yx ,
			Qx»
	X	=	[w, фх,	фу,	и,	п]т ;	(4.66)
		Ф = [р, О,		О,	О,	0]т .	(4.67)

Здесь р = ( 1 — e/R )p — (1 + s //? ) q\	[—е
я i — нормальные координаты	вну-

тренней и внешней поверхностей ци линдрической оболочки (см. рис. 4.3)].

Следует отметить, что вклю чение в компоненты вектора обобщенных пе ремещений Х (4 .6 6 ) средних углов по перечного сдвига фх, фу (а не углов поворота сечений 0Ж, 0 у) возможно только для граничных условий сво бодного опирания. В этом случае раз решающие системы алгебраических уравнений не содерж ат особенностей при переходе к тонким оболочкам и даю т результаты, соответствующие ги потезам К ирхгофа— Л ява. П ри вы боре обобщенных перемещений в виде

X =	[oi, 0Ж,	0у,	и, п ]т	определитель
разрешающей		системы		стремится к
нулю	при R/h		оо.
С вязь обобщенных деформаций с
обобщенными		перемещениями уста
навливается		согласно		соотношениям

(1.26); для	цилиндрической оболочки
		ди
** = Ж ’
	dv	w
ву ~	~ду	~ТГ ’
до		вух ~	ди
Bxv~ ~ d x ')		вух ~	ду	;
dQx		дух	d*w
1 / ----л -		дух	дх3
дх		дх	дх3
М ,			d*w
ду ~		ду	ду■	1

1до

+-ж ч ц ' »

			\у			афу
	?	1 гь			1		дх
							дх
		d*w		■	1		до
		дхду		1	R		дх ’
>	1	го	1				d*w
>	1	1	1	ду			дудх
	ух	ду		ду			дудх

где использованы соотношения

	0* = ^х	dw
	0* = ^х	Чх
		Чх
		dw
	0у = Фу + -ц-----
		W '

Связь внутренних силовых ф акто ров JT с обобщенными деформациями в определяется выраж ением JP = 2)в, структура матрицы 2D приведена в (4.45); коэффициенты матрицы 2D вы числяются согласно зависимостям (1.22) с учетом отсутствия кривизны

оболочки в меридиональном			н аправле
нии (k± =	0).
При симметричном		[относительно
плоскости	у = 0 (см.	рис.	4.2) ] н а
гружении	решение мож ет быть пред

ставлено в виде двойных тригоно метрических рядов

		Х у у
оо	оо	Р т п *	w m n
-ЕЕ М х тп»			Их т п
		N x mn>	8* т п
		H y m n *	& y m n X
т=1	п=0	№ утп* Иу тп<
		№ утп* Иу тп<
	X s i n	А т C O S ХлУ*

т=1 л=0

X c o s A m * c o s

(	°mn	) X
\ Q y m n t %		тп /

m =l n= 0

X sin Ят х sin Xnp;

(*xy, exy A^yx» 8yx

А4жу» иЖу A4yx* Xyx

^ х у т п * ъх у т п

-ЕЕ N у х т п * е#х тп

М-хутп* Ххутп

т=1 л=0

М у х т п * К у Х т п

X COS ХтХ Sin ХлУ

или в матричном виде

оооо

е =		2	2	Ре тапвтп»
	т=1		п=0
ЛР =	2		2	Pw тпНтп*
	т=1		п=-^0				(4.69)
							(4.69)
^ =		2	2		Рэе ттЛпп»
	т = 1		л=0
/ Р —		2	2		Р р т п&т п
	т —1		л—0
г д е
Ре тп —PiVтп =
= r^maAiy- SmxCny* стх?пу*
cm xsn y *		тх°пу			smxPny*
cm xsny*		°mx?ny*			^тх^пу»		(4.70)
		smxsnyJ*					(4.70)
		smxsnyJ*
Px тп == P pm’г=
— P ’mx^ny» <hnxc n y *						s m x ^ n y *
cm x ° n y *			smx5nyJ*
Здесь
smx —		^mJ cmx — cos ^т1
sny = ^		^пУ* cny =				cos ^пУ*	(4.71)
Xm =	nm//;			Xn =		n/R.

С учетом соотношений (4.68)— (4.71) можно представить связь амплитуд ных значений гармоник разлож ения етп и Х тп в следующем виде:

emn — L m n X m ny

(4.72)

		0	0	0	—		0 “
		HR	0	0	0
		0	0	0		0
		0	0	0	---		0
		£	—	0		0	0
		*	0	к		0	K / R
		*		к			K / R
			0			0	^m/R
			---	0		0	0
		0	1	0		0	0
		0	0	1		0	0 .
Д л я		Л*т п и	втпп	связь		устанавли
вается		приведенными			соотношениями
упругости
		J?mu =		^® m n«			(4*73)
П осле подстановки в					вариационную
ф ормулировку			задачи		(4.64) вы раж е
ний	(4.69)— (4.73) и выполнения опера
ций	интегрирования получим						систему
линейны х алгебраических						уравнений
дл я	т ,л - й гармоники				разлож ения
реш ения
где		тпХтп =			Ртп.		(4 .74)
где		X mn = L l nX>Lmn
		X mn = L l nX>Lmn					(4.76)

— приведенная матрица жесткости си стемы; &тп — вектор-столбец приве денных нагрузок. В ^рассматриваемой зад аче в векторе &тп содержится только один ненулевой коэффициент [см. (4.67)]

	l 2nR
о оI » ( « . » ) Л = Г Х
X сое			^ d y d x ,		(4.76)
где т = 1 , 2 ,	3,		...;	п = 0 ,	1 , 2 , 3,
{				при	п ф О ;
	n R l/2			при	п ф О ;
		nR l		при	п = 0;
т =		1 ,	2 ,	3,
m =		1,	2,	3,

Д л я случая равномерного давления

4р/{пт)	п =	0;
Р т п	т =	1 , 3,	б,
Р т п
0 ,	если	п Ф 0 .
П ри нагруж ении	оболочки		в	точке
х = //2 , у = 0 сосредоточенной				нор

мальной силой Р , совпадающей по направлению с внешней нормалью [4], коэффициенты ртп будут определять ся следующим образом:

		т +3
Рто =	( - 1 )		2	Р
Рто =	( - 1 )		2	nRl
				nRl
(т =	1,	3,	5,	...);
		т +3
Ртп= (-!)“				2Р
Ртп= (-!)“				яЛ /
				яЛ /
' т =	I,	3,	5,	...\
, л =	1,	2,	3,	.../

П ри		нагруж ении		оболочки системой
k	сосредоточенных			нормальных			сил
(симметрично расположенных						относи
тельно		плоскости		у =	0) для	вычис
ления		коэффициентов			ртп можно вос
пользоваться выражением
			k		mnxi
							х
					l

		X	cos	nnyt			(4.78)
				R

где	Pt — значение			нормальной			силы
(полож ительное			направление				вдоль

внешней нормали); xt, yt — координа ты х и у точки прилож ения I-й силы; dmn — коэффициент, определяемый из

вы раж ения (4.77).

После реш ения системы алгебраи ческих уравнений (4.74) и определе

ния	коэффициентов		вектор-столбца
Х тп вычисляю тся		с	помощью	соотно
шения	(4.72) компоненты г тп. Далее
согласно (4.69) производится				накоп
ление	результатов	в	точках	вывода

Рассмотрим один частный случай расчета, относящ ийся к тонким глад ким слоистым и регулярно подкреплен ным оболочкам, нагруж енным нор мальным давлением |4 ] .

При расчете таких оболочек можно не учитывать изменение радиуса кри визны по толщ ине и деформации попе

речного сдвига (ф* = ф» =			0).
Решением	д л я	/я,л-и	гармоники
разложения	будут	следую щ ие ампли

тудные значения перемещений:

итп =		^7Q 1 (^18^аа — ^la^ae) *
vmn =			(^la^ie — dndts);					(4.79)
wmn =		‘ (^11^ 2 2 — ^12)»
где
dtj =		cC) +	aij\		C1 1	=	0 ;
^12 =		(^ 1 2 “1“ Ces) ^m^nl
		*1. =	^	;
c22=
+ T		( 2 C ’ ’ + T > " :
Сад==( В м +				Т г ) ' 7 Г			+
+ "ft" (P\2 — 2 D 3 3)							+
1	7)aa A3.		_		# 2 2 .
•	"£~ЛП»		C88 =		^	2*
“/Г (^12^m + ^22^n)i
all =				+	^ЗЗ^л*			(4.80)
flia =		(^ia +		^ee)
fl22 = 5 33^m +					fi2 2 ^
		a 13 =	Cll^m +
+		(С12 +	2Сзз)		^	;
		a23 =	^ 2 2 +
+ ( ^ 1 2 + 2 C33)
		a33 =	D \\tfn		+
+ 4		Di2 +	ZD3s)b2X				+

+ ^22^л;

^ = ^33 ( ^ 11^22		^1 2)
		(4.80)
— ^11^23	^22^13 +

+2^12^13^23*

Дл я вычисления амплитудны х зн а чений гарм оник разлож ения обобщен ных деформаций можно воспользо

ваться	зависимостями					(4.72),		поло
ж ив фжудп		и % тп равными нулю .
4 .3 .2 .		Осесимметричная деформация
цилиндрических				оболочек.			Д л я	зам
кнуты х цилиндрических оболочек, на
груж енны х		внутренним				давлением р,
внешним давлением q и осевыми уси
лиям и	N =	const, не			изменяю щимися
по координате у (рис. 4.4), исходными
данными дл я проведения расчета будут
следующие		соотношения.
С вязь деформаций с перемещениями:
	е* =		/	By	=	w .
			и'\				1
	к* =	(й	Ф* =		0* +		“Л	(4.81)
где
Ф изические			соотношения:
	N х =		Вив* +		В12ъу \
Му = B\&x +				ВъчРу +		£ 12»»		™
	М х	— Ciaep +			D u K x \

Q x == ^хФж*

К оордината начальной поверхности е выбрана так, чтобы смеш анная жест-

N, 0	' 1 Н	П 1 П 1 1 1	Щ
	J	X	— Y
			— Y
		, т
		Р
Рис. 4.4. Осесимметричное			нагружение
цилиндрической ободочки

кость	C i! обращ алась в	ноль. В	этом
случае [см. (1.40)]
В ц =	^ 12 = ^15^*	^ 2 2 =	^22) »
С12 — Л(2}		'И М ? ;

D n

= /}р —t{.■* ]! •

jjO)

’

К х =

Кг,

е =

n v

К аноническая

система

разреш аю

щ их дифференциальных

уравнений

имеет следующий

вид:

В,

т/-ЛГх;

ЯВгг

#11

W* =

— 0 Ж +

к л Q x \

Cia

w -

• M x*

RDX

N 'X= 0;

(4.83)

j__ [

"12

W +

~~ R2

\ В ц

■Nx

M x — p;

R B u

" *

RDX

M 'X= Qx,

где В =

Bn B22 — В^2 <

Если в качестве вектора состояния

принять Z =

[и, w, 0Ж, N Xt QXt М Х]Т,

то матрицу разреш аю щ ей

системы

(4.83)

[в

п. 4.1.1

эта матрица представ

лена

блочном

виде

(4.9)] можно

представить

виде

—012

014

— 1

025

А =

—082

085

’

052

012

082

где	^12
	^12			““ = в 11
“И ==Ж Зц ;				““ = в 11
025 =	1		“82		СИ
025 =	к х ;		“82		RDX
	а* * ~ ж					(4.85)
	а* * ~ ж
____ I			_ <	ъ _
ап	- ф	\ в и			Dx
в = в пв22 — в\2.
Т аким		образом,			исходную	систему
(4.83)	запиш ем			так:
где			Z ' = AZ + Н,			(4.86)
где

Z' = -gj- [к. W, Вх, Nx, Qx, Mx]r \

Н = [0, 0, 0, 0, - р , 0]т;

матрица А определена таблицей (4.84). Будем искать решение системы (4.86)

в форме

Z = Z* -|- Z4acTH,

где Z*— решение однородной систе мы Z' = AZ; Z4aoTH— частное реше ние неоднородной системы (4.86). Для однородной системы с постоянными коэффициентами решение запиш ем в

виде Z = Cevx. Д л я определения коэффициентов v получим характерис

тическое		уравнение		det (А — vE) = О
или	в развернутом			виде
	— V	— f lj2	0		О	О
	о —V		— 1	0	Оав	О
det	о	— я 82	— V	О	о	a3Q
det	0	0	О—V		О	О
	0	0	О—V		О	О
		052		012 —V		082
	о	о	о	о		1-V
=	v2 (v 4 — 2k\v2 + kQ = 0,
где

2k2 = 2а32 + а2ба5 2»

или

*1 - 2RDX Х

[ Ci2 ( 2 м т ) +

BDх

(4.88)

RBn Kx ]:

k% = R*Bn Dx

В— в п в 22 —в \ 2 .

Два нулевы х корня реш ения (4.87) соответствуют осевому смещению обо лочки как твердого тела и равномер

ному	растяж ению						вдоль		оси	х.
При k\ <			Щ
Vi,2 =			—г ±			it;	va,4 =		г ±	it,
где
		' =		l /	4	-	(*! +		*?);
					_____________					(4.89)
		< =		У
При k\ >				k\
	Vi =		— гг ; v2 =					— r2;
где		v8 =		rx\ v4 =				ra,
где
	/-1,.		=	У k \ ^						(4.90)
При постоянном давлении р и осе
вой	растягиваю щ ей							силе	N	полное
решение		можно				представить				в виде
		и = г Г - X
				ВЦ
X			^	J	w dx^J + и0;
			NX =		N;
		4
w =		2	c & w t			(х)		+ щ ;
	i=\									(4.91)
			4							(4.91)
			4
	Эх =		2	С*Ф0< (х);
			/=1
			4
	Q * =		2	С,Фд< (X);

м х = 2 с ,ф ш w + Mo.

где к 0 — осевое	смещение цилиндри
ческой оболочки	к ак	твердого тела;
w0 = -^ -(pR B 11- N B lt);
		(4.92)
М0 =
— частные реш ения;		константы	С*
определяю тся с	использованием		гр а

ничных условий задачи; функции Ф^*, Ф вь Ф ш имеют вид

Ф , = — 0",— Ч&Ф,;
wi	/7_	*	Л.»
	а62		ДБ2
		1	(4.93)
	Р,0' = ~	^	^ +
Д л я расчета		коротких оболочек,

края которых «влияют друг на друга», удобно пользоваться ф ункциями в следующем виде:

при k\ < k\

Фх = ch rx cos tx;

Фа = sh rx sin fx;

(4.94)

Ф3 = ch гх sin tx;

Ф4 = sh rx cos tx,

где г и	t	вычисляю тся			согласно	(4.89);
при	k\ >		k\
Ф 1	=	с Ь	^ :	<#<a =	c h r a* ; J
0 3	=	s h r 1x;		0 4 =	s h r ax,	J
где rx,	r2 вычисляю тся				согласно	(4.90).
Д л я расчета длинны х оболочек, края
которых		практически «не влияю т друг

на друга», используется запись через экспоненциальны е функции:

при k\

Фх = ё~гх cos tx;

Фа = e~rx sin tx;

ф8 = erx cos tx;

ф4 == еГХ sin tx;

4 .1 . Формулы ДЛЯ функций 0 1 и их производных

* 3				Формулы при
К £
и 5
S о										*1
л в я				Al < k\						*1	> *1
О и и
Ф1			е~~гх		cos tx					e-	r*x
ф »			e~~rx		sin tx					e-	r*x
ф (			i	£		**i $				— Т1Ф1
S			t 0 1 — Г02							—г,Фа
S		(r* — P) Ф1 +					2!•#>»			г\Фх
		(r2 — t2) Ф* — 2rtf>i								т\Ф2
ф Г		—r (r2 -				3t2) Ф1 +				-г ? Ф ,
		+	t (/* -			3r2) Ф*
ф Г		—r (r* — Щ					Ф» —			—*\|Фг
		— <(<* — Зг2) Ф1
при k\ > k\
Фх =			г-Г'х\			Фа =				(4.97)
			ег%х;					ег%х-		(4.97)
		Ф8 =	ег%х;			Ф4 =		ег%х-
Д л я	определения постоянных инте
грирования			Ci	( i =		1, 2,		3,	4)	исполь
зую тся		четыре		граничных				условия			за
дачи,	которые			при			х =	0	и	х = I
могут быть налож ены							на 0Я		(либо		на
М х), а		такж е		на		w (либо			на	Qx).
П ри	анализе краевого эффекта вбли
зи х =	0 д л я длинны х оболочек можно
воспользоваться функциями (4.96)											или

(4.97) (в зависимости от соотношения

параметров	k\ ,	AJ), полож ить С3 =
= С4 = 0 ,	а	коэффициенты С*,

определить из граничных условий при

* =	0.
Д	л я	удобства	проведения	вычисле
ний	в табл. 4.1		представлены форму
лы	д л я	вычисления функции		0 ; и их

производных; в табл. 4.2 приводятся вы раж ения дл я функций решений Фш ,

0 Q /, 0 wit	0QC,	в табл.	4.3 д а н а	вы
раж ения	д л я	функций	решения	при

х = 0

Примеры расчета краевы х эффектов слоистой композитной цилиндрической оболочки приведены ниж е.

О б щ и е	с о о т н о ш е н и я . Со
гласно (4.91)		решение записы вается
в виде
w =	0K7iCi + 0до£& +
0Я =		0 0 iC i +	0 0 гСа;
Qx =		0QlCl +	(4.98)
			0Q2^2l

М» = Ф м Л + ^M a^ 2 + Л1 0>

где ш0, Л40 определяю тся выраж ениями

(4.92);		вид		функций			реш ения			дается
в табл. 4.2; значения функций реше
ния	при х =			0 приводятся в табл. 4.3 .
Д л я		определения				напряж ений в					t-м
слое	оболочки				необходимо				выполнить
следую щ ие операции.
1 .	Вычислить
	_		N		В 1а	w .			_	w
R* - B TI ~ B ^ ~ R ’ *V ~ ~ R ;
		„			м х	Сц		w
			х ~		Dx	Dx		R
2 . Подсчитать деформации в t-м слое
	4		=	ъх + УРх'				4	= V
где	yt	— норм альная					координата				в
пределах			f-ro		слоя.
3.		С	использованием						соотношений,

приведенных в гл. 5 и 8 ч. I, пересчи тать деформации в системе координат слоя и воспользоваться законом Гука.

Пример 1 . Свободный край (см. рис. 4.4).

Граничные условия

Мя (0) = 0;

Qx (0) = 0

или о учетом (4.98)

ФМ1С1 + ФМ2С2 ~ —м о>

^Ql^l “Ь Ф(}2^2 =

отсюда

с , ------- ct = Mt ^ L

гда

4.2. Выражения для			функций решений
Функция						Выражения при условии
Функция								> *?
								> *?
< 4		Фх =		e~~rx	cos tx		0 i =	e~ flX
фм.		Фа =		e~~rx sin		tx	Фа =	г,д:
фь			—/Фа — Г01				—fltf>x
фь
фа.			/01 — fФа				—ГаФа
фа.
фш	Ч	^ - '	’’ -	а	+	Ч - H	L^a	aeaJ
	Ч	^ - '	’’ -	а	+	Ч - H	L^a	aeaJ
Фдаа							Г 2 1 _ ^ 1 ф а
Фдаа							L^ea	aeaJ
							L^ea	aeaJ

- [ ' - 4 : = а - ' ( г + - ) ] +

Фв1

[ £ ~ ( й +вм ) г1] ф1

фва

[ £ - ( й + °” ) г' ] 4’1

Согласно данным табл. 4.3 имеем:

1)	если	параметры			оболочки таковы
[см.	(4.88)],		что			то
ФЛ!1 =		1 ’»	ФМ2 =		°5	^ QI = —П
		Ф°д2 =		и	d = t;
	Сг =	—М 0;		С2 =		—Mor/t,

где г и t вычисляю тся согласно (4.89), коэффициенты системы определяю тся по табл. 4.3;

2) если k\ > k \t		то
< i = i;	< 2 = i ; <		— »-i
Ф ф , = '	d — \ -\|- Т\|Г
=	1	+ г Л	:
С . — М а .		~ Tl	*
'	° 1	+ Г 1Г,	*

4 .3 . Выражения для функций решений при х — О

Функция I

	Выражения при уояовии
k\ < ki	k\ >kl

фт

ФФ

—Г

—Г1

ф&

— Га

фы

г* —

aaa

j\_£§»

fl62

аб2

аЬ2

2rt

Л.

д»

аЪ2

flfti

а.в

Ф61

fl62

\ fl62

~ ( S

+ a “ ) ri

ФЬ2

ДБ2

\ ДБ2

где гг и г2 вычисляю тся согласно (4.90),

отсюда

коэффициенты

системы определяю тся

„

U ! Ф$2

п ФМ2.

по табл. 4.3 .

строе

с, = (М — м0)

~2--------Q

Д л я оболочки симметричного

ния (при С1а =

0) М 0 = 0

[см. (4.92)]

краевой эффект свободного края от

_1_ п Ф °м

сутствует.

(М

Пример 2 . Д ействие торцовый момен

C t —

— (М —

— HQ— ,

тов М и перерезывающ их

сил О

где

(рис. 4.5, а).

Граничные условия

М х (0) =

М;

Д альнейш ая

последовательность

ре-

шения

такая ж е, как

для

примера

Пример 3 . К раевой эффект в воне

подкрепления

упругим

шпангоутом

(рис. 4.5).

Ф*1С1 +

Ф°М2С2 =

М — М0;

Граничные условия

^ . C . + ^ 2C 2 = Q ,

М 0 ) =

(0) — Юн,

где

lpaK + 2QX (0)];

Як

Вк = EKhKaK — ж есткость кольца на растяжение.

С помощью констант С*, Сй гранич ные условия задачи запиш утся в сле дующем виде:

* e i C , + < C 2 = 0;

	(® £ ,	2 Я 8		л о \	~	,
	(® £ ,	в »		® « 0 С‘ +
		в »		® « 0 С‘ +
				<*& ) с 2 =
		R*paK
		в „
Решением системы				при	С1а =
'* оо будет
		Щ — рая&
Г . —				DK
Г . —				В к
		«52 \	^	Вк		)
		Са =	—C i\
		w =	w0 —
Щ	pgKfla
Щ	8RWXT* е rx(cosrx +					sin rx ).
И	8RWXT* е rx(cosrx +					sin rx ).
И	Вк
	Вк

Д ля анализа краевого эффекта для тонкой слоистой цилиндрической обо лочки коэффициенты разрешающей си стемы дифференциальных уравнений упрощаются:

а2ь = 0;

R*Bn Dx

Разрешающая система дифферен циальных уравнений (4.83) может быть сведена к следующему виду [4]:

NX = N;

wlv — 2k\w -f- k\w — kp (x),

				4
N	И	t И	И	И	И	t И
N f		> x
	Q
			p
				a)
				q
	И	И Н	И	Н	И	Н
			1 ^ *

Р	t .........	' ^
	-Л *	' ^


	'5 )

Рис. 4.5. Цилиндрическая оболочка:

a — нагруженная торцовыми силами и мо

ментами;			б — усиленная			шпангоутом
где
4 .3 .3 .			У стойчивость цилиндрических
оболочек. Рассмотрим						реш енйе задачи
устойчивости свободно опертой по тор
цам	(х =		0 , х =		/) многослойной			ци
линдрической				оболочки,			находящ ейся
в безмоментном осесимметричном на
пряж енном состоянии:
№х =		- Г ;		№у = —qR;			N°xg =	0.
Д л я		случая		«мертвых»			внешних	сил
воспользуемся				следующей вариацион
ной	формулировкой					задачи:
I 2nR
[	j	(бет Л° -			Л 60ТЖ О0) dydx =			0,
о	о						(4.99)
где
			0 =		[©ж,

А — параметр нагруж ения; компо
ненты векторов е, J f	представлены со
отношениями (4.65).	С вязь деформа
ций с перемещениями определяется

так ж е, к ак и при решении задачи ста

тики, вы раж ениям и (4.68).
Введем в		рассмотрение вектор-стол
бец обобщенных перемещений X			[см.
(4.66)].	В оспользуемся разложением
решений	в	тригонометрические	ряды

[см. (4.69)], в результате для т , л-й

гармоники

разлож ения

запишем

®тп == ^тп^тп»

3>*тп\

(4.100)

0m n — RmnXmn»

^*т — п т /l;

Кл — n/R\

матрица

Lmn

определена

дл я

вы ра

ж ения

(4.72);

структура

матрицы

приводится

(4.45),

коэффициенты

матрицы

вычисляются

согласно

за

висимостям

(1.22). П осле

выполнения

интегрирования

учетом

(4. 100)

в а

риационная

формулировка

задачи

(4.99)

позволяет

получить

следующую

обобщенную

задачу

на

собственные

значения:

( X m n - A

m n ) Х

т п

0 ,

(4.101)

где

X mn =

L l n2>Lmn;

Sm n= K l nJ f 0Rmn.

М атрица

Х тп характеризует

при

веденную

ж есткость

оболочки;

по

мощью

матрицы

S m n

учитывается

на

чальное

напряж енное

состояние

обо

лочки.

Н агруж ение

считается

про

порциональным . Значения

параметров

нагруж ения

Л =

Л ш л,

при котором

система

(4.101)

имеет

нетривиальные

реш ения,

называю тся

собственными

значениями. Собственные значения Л т л

определяю тся	корнямн		уравнения
det ( Х тп -	A m n S m n ) = 0 . (4.102)
Н аименьш ее	из	всех	собственных
значений Л* = m in		Amn	определяет
	(т . п )
критическую	комбинацию		нагрузки
Т'нр =	Л *Т ;	</Кр =	A+q.

Параметры волнообразования т и п ,


соответствующие		критической комби
нации н агрузки,		характеризую т фор
му потери	устойчивости.
У равнения (4.101), (4.102) позволяют
определять	критические комбинации

осевых и боковых нагрузок, а также формы потери устойчивости для слоис

тых	цилиндрических					оболочек			общего
вида.
Рассмотрим случай						одноосного осе
вого		сж атия.		Д л я		осесимметричной
формы		потери		устойчивости					(п = О,
0 = 0 ,		яру = 0)		получим				[4 [
				II .Р X.-ь
		— min /			№		х +
		~	(т )	\
		tiL г
		+ - f f c “ ( 2					R K „ )+
		.	BDX			1	В - Л
		1	RBnX;.			1	В - Л
		1	RBnX;.			1	R 'B n J
		•2, ( и			D *		»2 ^
		•2, ( и			К х		К	)
					К х		К	)
									(4.103)
где	Кт =		пт /U		В =		ВцВ^ъ — В\ч,

К ритическое усилие определяется в результате минимизации выражения (4.103) по числу полуволн в осевом направлении (т ) .

П ри расчете тонкой оболочки можно

пренебречь	деформацией поперечного
сдвига, полож ив		Кх -*■ °°.		Тогда
1 кр =	m ln W	,	2С1а
			R	^
	(т )
		В	} (4.104)
	R2Bn

П ри большом числе т выражение (4.104) допускает приближ енную ми нимизацию . И спользуя условие ми нимума функции о непрерывным аргу ментом, получим

"	R V Bn Dx *

При исследовании неосесимметричнрй формы потери устойчивости необ


ходимо	воспользоваться						уравнением
(4.102).	Д л я		случая			осевого		сж атия
решением		(4.102)			будет вы раж ение
Ткр =		min		/ -Y" Г^ц +			-г— X
'	(т,		п)	(Д т		I-
X		(---kl2&12 +				^18^18---
- й		и Ди		+	йи Д16) ] \| ,			(4.106)
где ktj — элементы					матрицы Ж тп \|см .
(4.101)];	А ц — миноры матрицы Ж тп*
представляющие				определители				четвер
того порядка,				соответствующ ие					тем
матрицам,			которые			получаю тся			из

матрицы Ж тп в результате вы черкива

ния	*-й строки и /-го столбца.
Д	ля тонких слоистых оболочек, при

анализе которых можно не учитывать изменение радиуса кривизны по тол щине и деформации поперечного сдви га, вы раж ение (4.106) упрощ ается:

^кр — т *п		U2	dB9 —
(т, п) \|Лт
^ 11^23 +		**22^?3
________ —	2^ 12^ 13^23
^ 11^22 — ^12			(4.107)

где коэффициенты		йц	определяю тся
выражениями	(4.80).

Рассмотрим случай действия боково


го внешнего давления	q	( 7 = 0 ) .
Будем считать, что потеря		устойчи
вости сопровож дается появлением			си
стемы волн т — 1, п »	1. Тогда		угол

поворота нормали <оу можно прибли

женно	определить как (оу =		— dw/dy.
Д ля	толстых	слоистых	оболочек,
расчет	которых	проводится	с учетом

изменения метрических характеристик по толщине пакета и с учетом деформа ций поперечного сдвига, получим ана

логично	(4.106)
	<7крЯ =
=	m in	f •	f * u +
	<m=l); л		L

			+	Т~~ (---^12^12 +
				Ац
	+	^18^18 — ^14^14 + ^16^16) ]}•
							(4.108)
Д л я тонких слоистых оболочек									(ан а
логично (4.114)]
				w	? =
		=		m in		dss —
			(m=l; п)			%
						%
			dll^ls +		^22^13
		______ — ^dl2dl3d2S
				d\ 1^22		^12
								(4.109)
В		случае		пропорционального				н агр у
ж ения осевой силой						и боковым		внеш
ним		давлением для				определения			кри
тического параметра нагруж ения									мож
но	воспользоваться					вы раж ениям и
		Л кр = m in / — ^ т п —
где	дл я		расчета		толстых		оболочек
Fтп = &11 +				"Г---	(---^12^12 + ^18^18
			— ^14^14 +			^16^15) *
для		расчета		тонких		оболочек
				F тп =		^88
	_	^11^23 "f~ ^22^13 — 2d12d 13d 23 .
				d\id22		d\2
7 ,	q — силовые				факторы ,		определен
ные		при	параметре			нагруж ения			Л =

=1. К ритические нагрузки будут вы

числяться как 7 Кр = 7 Л кр; 7 Кр =

==<7Лкр.

При выполнении проектировочных

расчетов удовлетворительны е оценки критического парам етра н агруж ения можно получить, используя резуль-

тэты обобщенной полубезмоментной теорни [4]:

Лцр — m in

	(m,	п )	T\2m + q R ^ 2n -				± )
	п > 2		T\2m + q R ^ 2n -				± )
где							(4.110)
					D
	К		* 4		У
	Вх		Вя		У
	Dn
			1 +		К Р Х
					к х
	D y (п2 — 1) .					^33 —
i s 71 — -----:-------* о гч—г «						^33 —
	R3
	D	-	7(2)		m v ] \ .
	u	x	111		ДО) *
	J W		8 >		/ й ’
					/ й ’
П ри	Вю		oo;		K y - + oo;		T = 0;
Am =	я //,	используя				приближенную
минимизацию			по	п,		получим
		„	яК	у	ЗВХЯ* .
			г У -щ -'

П риведенные ж есткости В х , D x , D y приближ енно учитываю т несим

метричность в располож ении слоев по
толщ ине.	Ж есткостями	стенки при
кручении,	растяж ением	контура, а

такж е эффектами	П уассона пренебре
гают.
4 .4 . К О Н Е Ч Н Ы Й	ЭЛЕМ ЕНТ
МНОГОСЛОЙНОЙ	композитной

ОБО Л О Ч К И

На основании принципа возможных перемещений вариационную ф ормули ровку задачи статики для тонкой мно-

гослойной композитной оболочки мож-

но	записать	в	следую щ ем		виде:
				6uTf d S	= 0 ,
					(4.111)-
где		е =		Lu\	(4.112)
		е =		Lu\	(4.112)
dS =	A iA 2 da d$;		U	— обобщенные пе
ремещения;		/ — вектор распределен

ных сил. В такой формулировке за


дачи	подразум евается,		что обобщен
ные деформации в определены					через
обобщенные перемещения				и	[см.
(4.112)].		L — матрица	связи		дефор
маций	с	перемещ ениями.		Если	урав

нение (4.112) использовать в качестве


дополнительного			условия	связи:
La— е = 0 ,		то, потребовав равенства
нулю	интегральной		невязки
	6er S>(La — B)dS =			Q
для	любых	допустимых деформаций

бе, получим вариационную формули

ровку		смешанного	типа:
f f	( I	б а )т 3>в dS -	[	f 8ttTf d S = 0;
s			s	(4.113)
				(4.113)
f	f to ? 2 ) (L a — e )d S			= 0. (4.114)

Т аким образом, задачу о деформиро вании многослойной композитной обо лочки удалось свести к следующей. Требуется определить такую пару век тор-функций я и 8 из соответствующих множеств допустимых функций, для которых уравнения (4.113), (4.114) выполняю тся при любых би и бе, при надлеж ащ их тем ж е множествам.

П ри решении задачи статики много слойных оболочек общего вида мето дом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационны х формулировок смешанного вида (4.113) и (4.114) требования к выбору функций формы остаются такими ж е, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто использую тся алгебраические по-

линомы, порядок которых долж ен обе спечивать требуемую гладкость ф унк ций и их производных. В М КЭ в аж ным требованием к функциям формы является требование воспроизводить в элементе однородное напряж еннодеформированное состояние и, в част ности, описывать смещение элемента

как ж есткого	целого.	Н аиболее рас
пространенный	способ	удовлетворения

указанным требованиям состоит в по вышении порядка аппроксимирую щ их

полиномов. П ри		этом	использую тся
полиномы	значительно		более высокого
порядка,	чем это	требуется, исходя

из структуры вариационны х уравне ний, что приводит к уменьшению эко номичности использования ЭВМ и к необходимости использования мощ ных ЭВМ. П рименение смешанных вариационных формулировок позво ляет с помощью независимой аппрокси мации деформаций и перемещений улучшить свойства конечных элемен тов и тем самым повысить эффектив ность ЭВМ при расчете многослойных оболочечных конструкций [3].

В общем виде дл я конечного эле мента аппроксимация перемещений вы

бирается в виде
я = Фд;	(4.115)
аппроксимация обобщенных	деформа

ций записы вается следующим образом:

е = юа,	(4.116)
где Ф , (о— матрицы форм;	q — век

тор-столбец обобщенных узловы х пе ремещений элемента; а — вектор-стол бец коэффициентов аппроксимации обобщенных деформаций. У словия (4.113), (4.114) с учетом (4.115), (4.116)

позволяют	получить			уравнения
6 q T (<?т « -		Р ) =		0;
8а т ( Oq — Н а) =				0.
Отсюда,	учитввая	произвольность
коэффициентов бq,		ба,	еледует, что
	0 та — Р =		0;	(4.117)

Рис. 4.6. Треугольный конечный элемент для расчета оболочек

где	J о>Т2>Я d S ;
G =	J о>Т2>Я d S ;
	s
Н = 1i		dS"'	(4.119)
	s
p = [ [ 4 > T/ d S ;		Я = Ь Ф .
"s

После исклю чения из уравнения (4.118) коэффициентов а уравнение (4.117) примет вид

Ж q = P ,
ГДе	-г	1	(4.120)
ж	= а тн ~ 1а
определяет матрицу ж есткости			конеч
ного элемента.	Ч исло	независимых

смещений конечного элемента как твер дого тела равно шести, и ранг матрицы

ж есткости	Ж долж ен равняться	nq—6 ,
где nq —	размерность вектора	обоб

щ енных узловы х перемещений эле мента. Это условие будет вы полняться при выборе аппроксимации е (4.116), такой, что Па, — nq — 6 , где па — размерность вектор-столбца коэффи

циентов	аппроксимации сс.
Д л я	согласованной аппроксимации

перемещений и деформаций подхо дит треугольны й элемент с шестью узлам и (1—6) (рис. 4.6). Суммарное число обобщенных узловы х перемеще

ний nq =	30. М атрица ж есткости	ко
нечного элемента Ж (4.120) имеет		р аз
мерность	(30X 30).

Вектор-столбец обобщенных узло вых перемещений элемента [см. (4.115)] представим в виде

Qq — Н а = 0,

(4.118)

Я = \ я [*!]» 0[2]» •••* ^[6]1 »

где	q [n - [ « М	,	0^	] т
—	вектор-столбец		обобщенных
перемещений		f-го узла	(индексом,	за

ключенным в квадратны е скобки, обо

значается	номер узла).	Ф [см.
М атрица	функций формы	Ф [см.
(4.115)] имеет размерность		(5X 30) и

вблочном матричном виде записы

вается следующим образом:

Ф =	[Ф Ш> ф [2].		•••. * [6 ]], (4.121)
где	Ф [П = ф 1Е (БхВ)\ Е (5х Б)—единич-
ная	матрица	размерности (5X 5); ф*
(ф* = 1 , 2 ,		...,	6) — квадратичные

функции формы. Д л я представления ф*

удобно		воспользоваться			естественны
ми	безразмерными			(барицентрически
ми)	координатами			[6 ]
		Й	(2 L *		- 1);
		Фг ==	(2^а		0»
		ф з = ^ ( 2 1 3 -			1);
		ф4 =	4ЬгЬ2‘у
	ф в =	4LaLa; фв =		4/,8£*.		(4.122)

Н ум ерация функций формы соот ветствует нумерации узлов элемента (см. рис. 4.6). Естественные координа ты Lt определяю тся через координа ты а , Р следующим образом:

Li =	-^£-(ai + b t a +				ciP)	(i =	1 ,2 ,3 ) ,
где
		a i =	а [2]Р[3] ~		а [3]Р[2];
ь \	=	Р[2] ~~ Р[3]5		с \ =		а [3] ”” а [2]
(1,		2,	3); А =	(^jCj —			)/2.

О стальные коэффициенты получаю т ся круговой перестановкой индексов 1 ,

2, 3.	Д л я	обратных		соотношений
а =			+ a [2jL 2 +		0С[3] Ц ;
Р = Р[1]^1			"Ь Р [2]^2 +		Р[3]^3,
где	и	(5 ^	— координаты а и р
f-ro узла.
В	развернутом виде			аппроксимация

любой компоненты вектора обобщен ных перемещений и имеет следующий вид:

Ф (а , р) =	Z.x (2 Z.1 — 1 )	+
+ М 2 1 , - 1 ) ф 12) +
+ Lt (2L, -	1) ф '3] + 4L J L	^ 41 +
+ 4L , L	^ 6> + 41 ,1 1Ф '6>,

где

Ф = (и, о, ш, 0 О, 0 Р).

Размерность вектора а согласно сделанным выше замечаниям долж на

равняться па = Пп — 6 = 24.	Разм ер
ность вектор-столбца е (4.32)	равна 8-,

и на конечном элементе можно при нять аппроксимации всех компонен тов е в виде полных линейных поли номов, т. е.

Ф (a, Р) = + ФЫЬъ + 0<»>L8,

где

Ф = (еа , ер , Yap. * а . хр, Хар. Фа. Фр);

Ya0 = ®аР “Ь ®ра! ^сс0 — Ха р -(- Хра .

В качестве компонент вектора a выступают

4 М 3).

vO) «,<2) „(3) „(1) „(2) (3) (1)

Тар» Т а р > Тар» > х а > х а > >

4 й , 4 * . 4 Й . * 3 . * 3 . 4 ’. 4 ’.

4	’, 4 " . 4		м .	4 ’1т -
М атрица	ю	(8X 24)	[см. (4.116)] имеет
блочную	диагональную			структуру:
© = гF , F , F, F, F , F y Fy F ],
где				(4.123)
	F	[Liy	L 2t	Z»8].

Д л я вычисления			матрицы ж естко

сти Ж конечного элемента многослой ной оболочки (4.120) необходимо рас

полагать информацией		о	матрицах
Я , О [см.	(4.119)].
М атрицу	39 (8X 30)	с	учетом блоч

ной структуры матрицы функций фор мы Ф (4.121) можно представить в сле

дующем			виде:
^	=	[^[1]» ^[2]»				(4 -124)
где	матричные			блоки	39^	( i = 1,
2 ,	...,	6) определяю тся соотношением
				(*'=	2 »	•••» ®)
или		в	развернутом		виде
				*и	°(ЗХ2)
	Л т ~			®(ЗхЗ)	О» (О
	Л т ~			®(ЗхЗ)
			_	^31	^32	__

		Ь[1 =
	Фи 1		Ф101		^1 Ф\
	фаФг		Фи а		Ьг<р1
_(Фи а— фхФО (0*, 1“				Фа0\|)	0
		0i, 1		Ф10/
^22 —		фаФ*		0*, а
	_(0. а — ф10) (Фи 1 ~				Фа0<)
I	__ Г —^I0i		О	0 М 1 .
31	L	0	—M)i Фиг J ’
где	•и: :]■
Фи 1	1	дф1 .	т	1	дф1
Фи 1	Аг	------	01, а	“ А% др 1
	Аг	асе ’	™ 1	“ А% др 1
	1	дА1 .		1	дА2

Ф1 = АхА 2 ер ’ ф а ~ > М а а а •

При вычислении производных 0*, 1(

Фи 2 от квадратичны х функций аппрок симации (4.122) следует воспользо ваться правилом дифференцирования сложных функций.

Учитывая блочную структуру ма

триц	Я	(4.124), SD (4.38),		ю	(4.123),
матрицу		0 (24X 30)	удобно		предста
вить	в	следующем	виде:
	О = [ 01, 0а»		•••»	0в]»

где матрицы 0* (24Х 5) состоят из блоков

~ * п

*12 “

0« =	*21	*22	0* = 1 ,2	........ 6);
0« =	*21	*22
	_*31	*32 _

#и = j J*в*п dS*

9X3) J S J

#12 = [ J

9X2) V

		#21	= f		fcli°**
		9X3)		V
		#22	=	J J *D^22
		9X2)		V
		#31	e	f	f */C^31	d S \
	(6X3)
		*32	-	V	f
		(6X2)		V
		Ф11Р Т			Ф19Р Т	о
и	=	0 1SF T			Ф цР1	0
и	=

(9X3)

ОО

(Ф = В, С,		D );
*к ~	K tF T	О
	О	К ,Р? т ] *
(6X2)
Д л я случая	постоянных жесткостей

в пределах конечного элемента матри

ца	Н обращ ается достаточно просто.
В	блочном виде матрицу 7У“Л (24X 24)

можно представить следующим обра зом:

	и 12		0		Н'с2		0	0	0
~ п	н	В		п
	1 / 2 2		0	Я'с2	« с		0	0	0
	"	в
		ж/33		0	0	7/33		0	0
		п	в			н	с
					7/ 12
				7712			0	0	0
я - 1 =				Н D	Н D

					х/ 2 2		0	0	0

					" D
						7733
								0	0
						" D

	7 7 1 1	0
	" К	0
	" К

СИМ.	7 7 2 2
	н К

где

Щ = * и ( \ \ r T F d s y '
	(Ф =	В,	С,	D, К);	(4.125)
/ / = 11,	12,	22,	33;	Фи — коэффи
циенты	матрицы		податливости		Я> =
= S r 1:

Здесь

D = (D — СВ~1С)-1\ С = — B~lCD;

в = в ~ х— В ~ 1ССТ)

Фц	Ф1а
ф =	Ф22
_сим.
(Ф = В , С, D)\	K =

К = 1

0 -

0 ^83 —

[ K lt К 2J .

(4.126)

Т аким образом	удается заменить
б ращ ение матрицы	Н (24X 24) опе

рациями (4.125), (4.126) с матрицами меньшей размерности, что приводит к существенному снижению вычисли тельны х затрат. Д л я интегрирования по треугольной области удобно исполь зовать известные квадратурны е фор мулы (6 ].

Список литературы

1.Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойный пластин

ноболочек из композиционный материа лов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

2.Бидерман В. Л. Меяаника тонко

стенный конструкций. Статика. М.: Ма-‘ шиностроение, 1977. 488 с.

3.Быков Б. В., Попов Б. Г. Конеч ный элемент многослойной оболочки// Известия ВУЗов. Машиностроение. 1984.

№10. С. 14—17.

4.Васильев В. В. Менаника конструк

ций из композиционный материалов. М.: Машиностроение» 1988. 272 о.

б. Григоренко Я. М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки враще ния переменной жесткости. Киев: Наукова

думка,	1973.	228	с.
6. Зенкевич О. Метод конечных эле
ментов	в теинике. М.: Мир, 1975.			541	с.
7. Мяченков		В.	И., Григорьев	И.	В.

Расчет составнын оболочечных конструк ций на ЭВМ: Справочник. М.: Машино строение, 1981. 216 с.

Г л а в а 5

КОМПОЗИТНЫЕ ПАНЕЛИ И ПЛАСТИНЫ

П анелями в строительной механике называю т тонкостенные конструкции, имеющие форму незамкнутых оболо чек с плавными, как правило, поло гими поверхностями, ограниченными контурами различных очертаний. Ком позитная многослойная панель изго тавливается прессованием, вакуумным или автоклавным формованием заго товки в виде пакета уложенных с определенной ориентацией слоев из препрегов, что позволяет получать материал с заданными свойствами, обеспечивающими высокую эффектив ность изделия по массе. Композитные панели — силовые элементы — широко использую тся в качестве несущих пло скостей различных конструкций, обте кателей, обш ивок летательны х аппа ратов и др.

6.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим панель, представляющую пологую слоистую оболочку (рис. 5.1). Допущ ение о пологости позволяет считать одинаковыми метрические свой ства элемента поверхности панели и его проекции на плоскость Оху.

Геометрические характеристики

Аг = А2 = # ! = # 2 = 1;

*1 =	1/Я ь	*2 =	1/Я з;
Ч>1 =	<р2 =	о,	(5.1)
где Rlt R2 — главные			радиусы кри

визны считаются постоянными в пре

делах панели. Д л я	плоских панелей
(пластин) кривизны	k ± = k t — 0. Рас

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202228.33 Mб511473.pdf
#
15.11.202228.38 Mб81474.pdf
#
15.11.202228.78 Mб131476.pdf
#
15.11.202228.84 Mб841477.pdf
#
15.11.202229.52 Mб41479.pdf
#
15.11.202229.77 Mб31480.pdf
#
15.11.202229.98 Mб191481.pdf
#
15.11.202230.47 Mб221483.pdf
#
15.11.202230.67 Mб51485.pdf
#
15.11.202231.03 Mб31486.pdf
#
15.11.202231.03 Mб31487.pdf