ЧАСТЬ 2

Композиты являются неоднородны­ ми материалами, причем степень их неоднородности характеризуется дву­ мя уровнями (рис. 1.1). Первый уро­ вень (микронеоднородность) связан с наличием в материале двух фаз — матрицы или связующего и армирую­ щих элементов (волокон) или наполни­ телей (частиц) различной природы. Микронеоднородность, как правило, принимается во внимание лишь в спе­ циальных задачах, связанных с опреде­ лением свойств композиции по свой­ ствам и объемному содержанию ее компонентов, анализом взаимодействия волокон и матрицы и других, которые относятся к исследованию структурных характеристик композитов как кон­ струкционных материалов. Эти вопро­ сы рассматривались в первой части справочного пособия. В настоящей части обсуждаются композитные де­ тали и элементы конструкций.

Поскольку даже в простой детали (например, профиле, трубке, панели) число волокон или других элементов, характеризующих микронеоднород­ ность материала, чрезвычайно велико, анализ явлений, порождаемых отдель­ ными микроструктурными элементами, представляется не только исключи­ тельно сложным, но и не вполне реа­ листическим. При расчете композит­ ных элементов, как правило, исполь­ зуется феноменологический подход, предполагающий, что материал яв­ ляется условно однородным и обла­ дает некоторыми осредненными свой­ ствами, которые могут быть определены экспериментально на образцах конеч­ ных размеров. Соответствующие экс­ периментальные методы были описаны в первой части справочного пособия (см. гл. 7 ).

Таким образом, в дальнейшем микро­ структура композита будет игнори­ роваться, а сам материал будет счи­ таться условно однородным и облада­ ющим некоторым набором эксперимен­ тально найденных констант, в сово­ купности определяющих его жесткость и прочность при всех возможных условиях нагружения. Однако ком­ позитные элементы часто обладают неоднородностью второго уровня — макронеоднородностью, порождаемой наличием слоев с различной природой материала, толщинами, углами арми­ рования и т. д. (см. рис. 1.1). В прин­ ципе и здесь может быть использован феноменологический подход, однако он явно нерационален, так как тре­ бует, как правило, большого объема экспериментальных исследований и не позволяет описать взаимодействие ме­ жду элементами макроструктуры.

Принимая во внимание большое раз­ нообразие слоистых структур, кото­ рые могут быть образованы даже из одного вида композиционного мате­ риала, и связанную с этим трудоем­ кость экспериментальных исследова­ ний, которые необходимо осуществить для того, чтобы обеспечить расчет в рамках феноменологического подхода, необходимо отдать предпочтение струк­ турному подходу, непосредственно учи­ тывающему макроструктурную неод­ нородность материала.

Будем считать, что композит, обра­ зующий некоторый конструктивный

Рис. 1.1. Уровни неоднородности компо­ зиционного материал!

элемент, является в общем случае макронеоднородным и состоит из от­ дельных слоев. Каждый слой считается микрооднородным и наделяется меха­ ническими характеристиками, опре­ деляемыми экспериментально. Харак­ теристики системы слоев устанавли­ ваются расчетным путем на основе анализа взаимодействия слоев и в яв­ ном виде зависят от макроструктурных параметров материала.

1.1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

1.1.1. Статические соотношения. Вы­ делим из некоторого условно однород­

криволинейных координат а, Р, у (рис. 1.2). Система координат обычно выбирается в соответствии с формой тела таким образом, чтобы поверх­ ности, ограничивающие тело, явля­ лись координатными поверхностями. Большинство встречающихся в рас­ четной практике конструктивных форм позволяет добиться этого, используя ортогональные системы координат. В случаях, когда сделать это не удает­ ся, можно ввести более общую не­ ортогональную систему координат или, сохраняя ортогональную систему, до­ пустить возможность несовпадения од­ ной или нескольких граничных по­ верхностей с координатными поверх­ ностями. На практике обычно реали­ зуется второй путь, поскольку упро­ щение записи граничных условий, свя­ занное с введением неортогональных координат, редко компенсирует зна­ чительное усложнение записи исход-

Рис. 1.2. Напряжение состояние элемен­ та материала *'

ных уравнений. Таким образом, в даль­ нейшем будем использовать ортого­ нальные системы координат.

По граням выделенного элемента действуют нормальные ога , ар, оу и касательные т<хр, тра , xaY, xYa, xpY, xYp напряжения, которые должны удо­ влетворять уравнениям равновесия:

- ^ ( H i H 3c a) + ~ ( H 1H sT{ia) +

+ - K < » A t < .

+ %ytH1 ^ + F yH 1H tH t = 0.

Внгаод этих уравнений в простой коор­ динатной форме представлен в работе

[21.

Уравнения (1.1) соответствуют сум­ мам проекций сил, действующих на показанный на рис. 1 . 2 элемент, на оси a, Р, у. Соответствующие уравне­ ния моментов относительно этих осей позволяют установить свойство пар­ ности касательных напряжений

тар = тра ; %а у == Tva» г0т =

С учетом (1.2 ) уравнения (1.1) могут быть записаны в более компактной форме

■|г < « А ° . > + - ^ ( я ? я Л * ) +

Fp, FY обозначены компоненты объем­ ных (инерционных, гравитационных и др.) нагрузок, а через Hlt Н2, Я8 — коэффициенты Ламе основной метри­ ческой формы пространства, опреде­ ляющей дифференциал дуги произволь­ ной кривой в этом пространстве:

ds2 = Н\ da2 + Н\ dp2 + Н\ dy2. (1.4)

Коэффициенты Ламе, зависящие в об­ щем случае от переменных а, Р, у, являются, как следует из (1.4), мас­ штабными коэффициентами, опреде­ ляющими количество единиц длины, содержащееся в единице соответству­ ющей координаты. Коэффициенты #*, Н2, # 3 , соответствующие сплошному евклидову пространству, должны удо­ влетворять уравнениям Ламе:

да VНх да ) ар V#а д$ )

^ Hi ду ду - и’

1 дЯаая, п. Я, ар ду

1 дНгая,

даду Ях ду да

1 ая, ая. —и, Я, ду да

Я, да ар

1.1.2. Физические соотношения.Та­ кие соотношения, называемые иногда уравнениями среды или определяю­ щими соотношениями, связывают на­ пряжения с относительными дефор­ мациями. Известно большое количество мер (определений) деформаций. Наи­ более распространенной среди них является мера Коши, согласно которой линейная относительная деформация (еа> ер, еу) представляет собой отно­ шение абсолютного приращения длины элемента к его первоначальной длине,

а деформация сдвига (еар, еау* epv) отождествляется с изменением угла между линиями, которые до дефор­ мации были взаимно ортогональными. При расчете композитных элементов конструкций, как правило, предпола­ гается, что материал является линей­ но упругим и описывается обобщенным законом Гука для анизотропного тела.

В общем случае анизотропии (рис. 1 .3 ) все компоненты напряжений и деформаций являются взаимосвязан-

риала

ными и обобщенный закон Гука имеет вид

циент влияния первого рода, характе­ ризующий сдвиг в плоскости ij, вы­ званный растяжением или сжатием в направлении k; л/, jk — коэффици­ ент влияния второго рода, характери­ зующий удлинение в направлении i, вызванное сдвигом в плоскости /7е; kij, hi — коэффициент Ченцова, харак­ теризующий сдвиг в плоскости ij, вызванный касательными напряже­ ниями, действующими в плоскости kl.

В соотношения (1.6) входят 36 ко­ эффициентов, которые связаны сле­ дующими условиями симметрии упру­ гих постоянных:

Эти условия имеют простой физиче­ ский смысл, который может быть выявлен, если рассмотреть, например,

дует, что если материал обладает вы­

он будет соответственно меньше со­ кращаться в этом направлении при растяжении в направлении 0 .

Пятнадцать условий (1.7) сокращают число независимых упругих постоян­ ных в соотношениях (1 .6) до 2 1.

Общий случай анизотропии в реаль­ ных материалах практически не встре­ чается. Как правило, элементарные армированные слои укладываются па­ раллельно некоторой плоскости, ко­ торая является плоскостью упругой симметрии (рис. 1.4). Нагружение та­ кого материала в плоскости оф не

(1 .6) упрощаются следующим образом:

е У ------Vv a ^ — VVB W2L7 +

'В»

Рис. 1.4. Элемент слоистого анизотропно­ го материала

_ Gav ' ^aV' ВТ ^Bv" ’

в # » - Ы в т ^ + о ^ .

Наибольшее распространение в ре­ альных конструкциях получил ортотропный (ортогонально анизотропный) материал (рис. 1 .5 ), обладающий тремя взаимно ортогональными направления­ ми (осями ортотропии), в которых растяжение или сжатие не вызывает изменения углов между ними, т. е. деформаций сдвига. В соотношениях (1 .8 ) при этом исчезает связь между линейными деформациями и каеитель-

Рис. 1.6. Элемент орготропиого материала

Рис. 1.6. Элемент трансверсально изотроп­ ного материала

ными напряжениями и они принимают

ВИД

Имеют место также первые три условия симметрии, с учетом которых равенства (1.9) можно записать в более распро­ страненной форме:

1 ,

еа = £ - (<*a — Vpa^3 *“ vYaOv);

Ta 0

= G,'ap1

*3 = "gj (a3 — va3 aa — vv3av);

Соотношения (1.9) или (1.10) включают

и три коэффициента Пуассона, на­

зита, показанная на рис. 1.5. Ее част­ ным и достаточно широко распростра­ ненным случаем является система изо­ тропных слоев (рис. 1.6). При на­ гружении в плоскости аР материал ведет себя как изотропный, т. е. его свойства не зависят от направления нагружения. При нагружении в транс­ версальных плоскостях ay и Ру фи­

Причем G = El2 ( 1 + v) и имеет место следующее условие симметрии: vxE — = v2Ег. Такой материал называется трансверсально изотропным.

Инаконец, при полной изотропии,

т.е. для материала, свойства кото­ рого не зависят от направления на­ гружения, справедлив традиционный закон Гука:

Соотношения связывают относитель­ ные деформации с перемещениями иа , ир, иу произвольной точки тела в на­ правлениях координатных осей. Эти

)шения имеют ВИД

и три перемещения. Решение этой

и нагружения тела. Если на границе

приравниваются к заданным. Если на граничной поверхности задаются рас­ пределенные по этой поверхности на­ грузки, то ставятся статические гра­ ничные условия

ta — T0a ^0 “Ь lyalyt

^ = ар/э + xYp/Y + xap/a ; (1 .1 2 )

Для того чтобы координатные линии а и Р были линиями кривизны поверх­ ности, необходимо и достаточно вы­ полнение следующих условий:

параллели г = const и меридианы Р = = const. Тогда для произвольной точ­

ки 0 имеем

х = г sin Р; у = г cos р; г = г (г), где г (г) — уравнение меридиана в ко­ ординатах г, г (рис. 1.10). Согласно

Рис. 1.0. Поверхность вращения

получим

л, = У П - (г')а;

=1 + ( * Т 13/2;

R ^ — ^ - y r + W f -

Рнс. 1.10. Меридиан поверхности вращения

б )

Рис. 1.11. Приведение напряжений (а) к усилиям и моментам (<Г)

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что условия (1.15) удовлетворяются, т. е. меридианы и параллели являются линиями кри­ визны поверхности вращения. Рас­ смотрим далее меридиан, показанный на рис. 1.10. Из полученного выраже­

Рассмотрим теперь стенку композит­

Здесь у — расстояние произвольной точки стенки от базовой поверхности по нормали к ней. Из равенств (1.16) следует, что геометрия элемента опре­ деляется коэффициентами первой ква­ дратичной формы и главными радиуса­ ми кривизны базовой поверхности, а также параметрами е и s (см. рис. 1.7), ограничивающими координату у.

С учетом (1.16) уравнения Ламе (1.5)

ментов конструкций заключается в том, что их толщина, как правило, значи­ тельно меньше других характерных размеров — радиусов кривизны базо­ вой поверхности, длины элемента, размеров в плане и т. п. Это обстоя­ тельство позволяет существенно упро­ стить общие уравнения, приведенные

вразд. 1.2. При этом в соответствии

страдиционными гипотезами приклад­ ных теорий балок» пластин и оболочек учитываются только основные состав­ ляющие напряженного состояния, со­ ответствующие усилиям и моментам,

приведенным к базовой поверхности (в связи с этим она иногда называется поверхностью приведения). Усилия и моменты, распределенные по сторонам элемента базовой поверхности и ста­

(1.18)

8

=$ x^ Hldr'

-е

м“р = -лГ I Xa^H^ dr'

-е

s

Мра = - д - j t apHtydy.

-е

Эти соотношения позволяют вы­ явить как преимущества, так и не­ достатки рассматриваемой прикладной теории. В отличие от напряжений (см. рис. 1 . 1 1 ), которые зависели от трех переменных а, р и у, усилия и

в разд. 1 .2 , заменяется принципиально более простой системой двухмерных уравнений, которая приводится ниже. В то же время замена (1.18) показы­ вает, что из рассмотрения заранее ис­ ключаются самоуравновешенные по толщине стенки напряжения, т. е. не учитываются составляющие напряже­ ний, которые не дают усилий и момен­ тов и для которых интегралы (1.18) обращаются в ноль.

В результате уравнения равновесия (1.3) заменяются следующими:

(W)+ kxAiAbQa + /а =

^(W )+ M iA Q p + /p = 0;

Lp (М) — А г А 2(}$ + /Яр = 0 ,

где £ а ( Ф ) = ^ М а Ф а ) - Ф 3- ^ - +

+ -^ -И .Ф Э а )+ Ф а Р- ^ - ;

^ ( Ф ) = ^ - М х Ф Р) - Ф а - ^ - +

+ - ^ ( A tФар) + Фра

Функция Ф заменяется соответственно

/р“ J W M ? + BAPp+ C C^p;

-в

8

fy = J Fytfxtf*dy + flxSop - СгСгЯ;

- e

(1.20)

s

ma = J FaHiH2y dy -f- sCiC2qa —

- e

— вВ^В^Рау

s

/Яр= | FptfitfaV dy + sCiC2qp“

-e

—еВгВ2рр.

Всоотношениях (1.20), определяю­ щих внешние нагрузки, приведенные

кбазовой поверхности, через F обо­ значены, как и ранее, объемные силы, а через ? и р - поверхностные на-

Рис. 1.12. Нагрузки, действующие на эле­ мент композитной стенки

грузки, показанные на рис. 1.12. Коэффициенты первой квадратичной формы внутренней (у = —е) и на­ ружной (у = s) поверхностей соответ­ ственно равны:

= А2 (1 + s&a).

Усилия и моменты связаны с обоб­ щенными деформациями физическими соотношениями, которые для ортотропного материала имеют следующий вид:

No. = # n ea + # i2ep + Сц%а + Ci2Kp;

Np = ^2iea “f* ^22ер 4“ С2хИа 4“ Са2Хр*, Na& ~ ^з^еаЭ 4" £зз&0а 4"

4" ^ззнаЭ 4“ Q§Xpa;

N $a = -®ззеаЗ 4" £ззе0а4" 4“ ^ззхаЗ 4- Сззх3а»

М= Сиеа+ C12S3 4" £*иха4~ £*iaXp;

(1.21)

Л1р = Cai8a -f- С22&3 4” ^aixa 4“ ^2зх 3»

МаЗ == ^зз8аЗ 4" ^ззе3а 4“

4-£*ззхаЗ 4“ £*ззх3а» Мр а ~ ^ззеаЗ 4“ C§l«Jpa 4- 4" £*ззхаЗ 4~ £*ззх3а»

Qa = АСхфа! Q3 = ^аФз*

Здесь величины в характеризуют растяжение, сжатие и сдвиг базовой поверхности, величины х определяют ее изгиб и кручение, а величины ф

характеризуют деформации трансвер­ сального (называемого также попереч­ ным или межслоевым) сдвига стенки. Соответственно коэффициенты жест­ кости В, D, С и К называются мем­ бранными,. изгибными, смешанными и сдвиговыми и имеют вид

-в

8

Ща “ J* 5 Г2Л.Ла dy;

-e

s

C i = J •S12Лзgydy;

-в

8

£ * й = J ^оЛдзуМ у;

В3 3 — J ^21^83 ^Yi

-в

Здесь

(1 .2 2), являются коэффициентами жест­ кости материала, т. е. коэффициентами закона Гука, разрешенного относи­ тельно напряжений:

^а, 3 = Ва. 3/(1 — va3v3a)*

Обобщенные деформации связаны с перемещениями ц, v, w точки базовой поверхности по осям a, Р, у геометри­ ческими соотношениями, которые име­ ют следующий вид:

1 ди . . .

е“ = - 7 Г л Г + ф 1 0 + М : 1 ди - , ,

е р = л г ж + ф 1 “ + М :

1

кв = - д - - ^ р - + ф20 а;

— углы поворота нормали к базовой поверхности в плоскостях ау и Ру;

фа> Фз “ углы сдвига;

аа = Ацеа + А12е$;

(1.24)

<*3 = A2iCa ~\~ ^аае3 »

хаЭ = ^зз^аЗ*

Эти коэффициенты, являющиеся в об­ щем случае функциями координат, выражаются через модули упругости и коэффициенты Пуассона:

А ц = Еа \ А2г = £ 3 ;

^ia = ^ai = Vap£a = v3a^3*

=(1 28 )

—углы поворота касательных к коор­

динатным линиям а и Р;

Перемещения и, w и углы 0а , ©а» Фа показаны на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Перемещения и углы поворота элемента нормали к базовой поверхности

Система уравнений строительной ме­ ханики конструкций из композитов включает таким образом пять урав­ нений равновесия (1.19), десять фи­ зических соотношений ( 1 .2 1) и две­ надцать геометрических соотношений (1.26)—(1.28), т. е. всего содержит 27 уравнений, в которые входят 27 неизвестных — десять усилий и мо­ ментов N , Q, М у десять обобщенных деформаций е, ф, х, четыре угла пово­ рота 0 со и три перемещения и, о, w. Эта система имеет в совокупности десятый порядок по переменным а и р. Соответственно в каждой точке края элемента, описываемого приве­ денными выше уравнениями, необхо­ димо сформулировать пять граничных условий.

Геометрические граничные условия записываются относительно переме­ щений точки базовой поверхности и, v, w и углов поворота нормали н ней

Возможны также различные вари­ анта смешанных граничных условий. Наиболее распространено свободное опирание края, устраняющее возмож­ ные смещения в нормальной по отно­

шению к базовой поверхности плоско­ сти и не препятствующее смещению в касательной плоскости в направле­ нии, нормальном к краю. Эти условия имеют следующий вид:

для края- a = const

Na = 0; п = 0; w = 0 ; Ma = 0;

00 = 0,

для края р = const

# 3 = 0 ; и = 0 ; w = 0; М з = 0; 0a = 0.

Для получения приближенных реше­ ний на практике часто используется вариационный принцип Лагранжа. Согласно этому принципу истинное деформированное состояние отлича­ ется от всех геометрически возмож­ ных, т. е. соответствующих заданным условиям закрепления, тем, что для него реализуется минимальное значе­ ние полной энергии, т. е. выполня­ ется условие

6U — ЗА = 0 ,

где

61/ = J (Na 6еа + Na бер +

+ Wa0 6 еа з + N3 a беза + Qa бфге + + Q3 бфз -)- Ма 6 ха -f- М з 6 x3 -f-

+ Маз бхаз + Мза 6хра) АХА2 da dp

(1.29)

— вариация потенциальной энергии

деформации;

6А = J(/а 6и +/р6о+/,бW+

+та б0 а + «р 60p) da dp

—вариация работы внешних сил. Подставляя в (1.29) геометрические

соотношения (1.26)—(1.28) и выражая вариации обобщенных деформаций че­ рез би, бv, 6wt 60a , 6 6 3, можно полу­ чить уравнения равновесия (1.19) и следующие естественные граничные ус­ ловия:

при а = const

Na 6u = 0 ; # а з б 1/ = 0 ; Qa 6 w = 0 ;

Если в результате решения системы (1.19), ( 1 .2 1), (1.26)—(1.28) найдены усилия, моменты, деформации, пере­ мещения и углы поворота, удовлетво­ ряющие заданным граничным усло­ виям, то в произвольной точке Л, отстоящей от базовой поверхности на расстояние у (рис. 1.14), могут быть найдены перемещения

д

+(®ра + Y*pa);

напряжения в слоях, эквидистантных базовой поверхности,

пряжения, удовлетворяющие заданным

Рис. 1.14. Перемещения произвольной точки А стенки

+ F6H lm j d y + B,B lpfij;

1 f V

°v = _ и ж { J [ ж (^ Tov)+

+Ш г ъ ) — ^lAxH^Oa —

— dy +

Вывод и более подробный анализ приведенных в настоящем разделе со­ отношений содержится в работе [1 ].

Рассмотрим некоторые распростра­ ненные частные формы записи основ­ ных уравнений.

Для тонкостенных элементов, у которых h/Ri < 1 , h/R$ С 1 , можно не учитывать изменения радиусов кри­ визны слоев по толщине стенки и при­ ближенно считать, что параметры 51а и S2i [см. (1.23)] равны единице. Тогда коэффициенты жесткости (1 .2 2) упрощаются следующим образом:

s

(1.34)

с33= С'Ц = сщ = С1\ = с ц =

6

= J A33ydy;

—е

D33 = = DU = СЦ, - D?I =

S

= J A33y2dy;

В результате физические соотношения (1 .2 1) принимают вид

N a = ВцВа + В12е$ 4 СцКа -г- С1 2кр;

N з = В 2i&a “4- В 22ер 4 Сг1х а -j- С22^р;

метрические соотношения (1.26)—(1.28) и формулы для перемещений, дефор­ маций и напряжений (1.30)—(1.33) по существу не изменяются, однако их можно несколько упростить, пола­

держит податливых на сдвиг слоев (например, из пенопласта, сот, резины и т. п.), то можно дополнительно не учитывать * деформации поперечного сдвига, считая связь между слоями

Получаемая в результате система урав­ нений (1.19), (1.35) (без последних двух равенств) и (1.26), (1.36) имеет в совокупности восьмой порядок по переменным а и 0. В функционале (1.29) следует принять фа = 0, фз = = 0 , тогда естественные граничные

Q0 6o; == 0; M 3 6 6 3 = 0,

где

«* - ‘>•+77 т е *

—обобщенные поперечные силы, к которым при отсутствии деформаций

поперечного сдвига приводятся соб­ ственно поперечные силы Qa , Q3 и крутящий момент Ма 0 .

Распространенной расчетной моде­ лью является безмоментная оболочка, обладающая только мембранными жесткостями. Физические соотноше­ ния для безмоментной оболочки полу-

Введем координату t = е + У (см. рис. 1 . 1 2 ), отсчитываемую от внутрен­ ней поверхности стенки. Тогда мем­ бранные (В), смешанные (С), изгибные (D) и сдвиговые (К) жесткости

(1.40)

вй = /й>; Сй-Щ’-вЩ’;

£>й = Д Г - г е / й ’ + е 2^ ;

вй = / й*; си -Л Г -«Л 8’:

D% = J £ '- 2 e J № + e 4 № - ,

+ <Pl“ + /w

о и = Ц | , - 2 еЦЙ + **Ц 8>;

*■=“ (] 5“ <ё)

Однородная стенка иарактериауется коэффициентами A tj, которые не за­ висят от t и определяются формулами (1.25). Наиболее простые выражения для жесткостей получаются при сов­ мещении базовой поверхности о внут­ ренней поверхностью стенки, т. в. при в = 0 . Тогда согласно (1.40)

в и = /{ ? '; в 22 = /* $ ’; в п = ц г ;