+ Aifeje*] + 9 (Aj + А* — 2А1Аае)+

Для слоистой стенки (см. рис. 1.15), если можно не учитывать изменение метрических коэффициентов по тол­ щине слоя,

1=1

х (< ;+ , - < Я ) ,

Г л а в а 2

Для тонкой стенки можно прибли­ женно принять Hi — At, Н%= Ла, Я}‘>= 1 , Я<‘>= 1.

Список литературы

1. Васильев В. В. Меванека конструк­ ций из композиционные материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 о.

2. Власов В. 3. Избранные труды.

Т.I. М.: Изд. АН СССР, 1962. 628 с.

3.Лехннцкий С. Г. Теория упругости

анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 о.

Композитные балки, стержни и коль­ ца — элементы, имеющие одну об­ щую особенность: размеры их попе­ речного сечения, как правило, значи­ тельно меньше длины осевой линии. Эта особенность позволяет ввести при расчете этих элементов некоторые до­ полнительные (см. гипотезы в гл. 1 ) предположения, позволяющие свести задачу к одномерной, т. е. описать напряженно-деформированное состоя­ ние рассматриваемых элементов си­ стемой обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений, включающих только одну независимую переменную — осевую координату. В результате ре­ шения при этом часто удается полу­ чить аналитические выражения для напряжений и деформаций. Расчету металлических балок, стержней и колец посвящена обширная справоч­ ная литература [2 1, поэтому в на­ стоящей главе в основном обсужда­ ются особенности расчета соответст­ вующих композитных элементов. Вы­ вод приведенных ниже результатов представлен в работе [1 ].

2.1. КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ

Композиты широко применяются для изготовления балочных элементов кон­ струкций различного назначения, а высокомодульные композиты на основе углеродных и борных волокон ус­ пешно используются для усиления ме­ таллических балок. Конструктивно они представляют собой, как правило, слоистую систему (рис. 2 .1 ), включаю­ щую в общем случае слои композита, металла и податливого на сдвиг заполнителя из сот, пенопласта

Уравнения (1.19), (1.21), (1.26)— (1.28) (см. гл. 1 , ч. 2 ) принимают в рас­ сматриваемом случае следующий вид (см. pHG. 2.1):

уравнения равновесия

N' = 0; М' = Q; Q' + р = 0 , (2.1)

где р = pbf — qbk\ bf, bk — ширина соответственно нижней и верхней пол­ ки;

Ряс. 2.1. Слоистая балка

соотношения упругости для осевой силы N , изгибающего момента М и поперечной силы Q

N = Ви'; М = D0';

где и (х) и 0 (х) — осевое смещение и угол поворота сечения балки; v (х) — прогиб; штрих обозначает производ­ ную по х. Осевая В , изгибная D жесткости и координата нейтральной оси е балки определяются равенствами

В == Igj D == /д — в/д_;

где для слоистой балки (см. рис. 2 . 1 )

ь

/п = 1 ЬЕхуПdy =

о

Общее решение системы (2.1), (2.2) может быть записано в форме

N (х) = N0;

Q (*) = Qo — Qp — QR ;

Здесь величины с индексом «О» соот­ ветствуют начальному сечению х = О (рис. 2.2) Функции с нижним индек­ сом €ръ учитывают распределенную нагруэку р (х) и имеют вид

X X X

Ср = J pdx; Мр = J dx | pdx;

ствия (см. рис. 2 .2 ) и записываются следующим образом:

Q * = S Q£>; л*л = £

Здесь п —- число сосредоточенных сил

Rm и

при Хт < X

Qjr* = 0 ; М^т) = 0; 0<?т >= О;

= 0 ,

при х ^ хт

<&ж) = * т ;

= % - ( * - *т)2; 4 т , =

Начальные значения сил, переме­ щений, момента и угла поворота на­ ходятся из граничных условий для концов балки. Имеют место следующие варианты граничных условий:

жесткое _ закрепление (заделка, рис. 2.3, а)

и = 0 ; о = 0 ; 0 = 0 ,

свободный край

N = 0; Q = 0; М = 0,

нагруженный край (рис. 2.3, б)

N = Г; Q = R; М = Я,

неподвижная шарнирная опора (рис. 2.3, в)

и = 0; о = 0 ; Л1 = 0,

свободное опирание (рис. 2.3, г)

N = 0 ; о = 0 ; Л1 = 0 .

По найденным силовым W, Q, М и кинематическим и, о, 0 переменным может быть определено распределение напряжений и перемещений по высоте

Рис. 2.8. Граничные условия:

а — жесткое закрепление (заделка); б —

Разрушение слоистых балок при изгибе часто сопровождается их рас­ слоением. Поэтому межслоевые каса­ тельные напряжения, действующие по плоскости контакта слоев с номерами

На границе контакта слоев I и I + 1

( I

/ = 1

- о - . ) [ 4 - (< < + '/-.) - • ] -

/ = 1

Продольные перемещения распреде­ ляются по высоте сечения по линей­ ному закону

и* (*» 0 ) = и (х) + у8 (х).

Вариация полной энергии (функцио­ нала Лагранжа) имеет вид

бп = J [N 6 и ' + М 60' +

+ Q6 ( 0 + о*) — р би] dx.

Пример расчета. Рассмотрим дву­ тавровую балку из алюминиевого сплава, усиленную сверху накладкой из боралюминия (рис. 2.4). Геометри­

= —30 кН/м; характеристики материа­ лов: модули упругости и сдвига и пре­

и пределы прочности при сжатии и сдвиге (ГПа) однонаправленного бор­ алюминия — 255 и 63; 2 и 0,084.

По формулам (2.3)—(2.5) находим характеристики сечения, для которого

Я

b

Рис. Я.4. Свободно опертая двутавровая балка

И

/.n-f2

/„ - - J q r p [0,5-70-0,05n+ 1 +

+ 0,05-70 (0,9n + 1 — 0,05n+I) +

+- 0,5-70 (0,95n + 1 — 0,9n+1) +

+0,5-230(1 — 0,95n+1)].

Врезультате

/„ = 12,85fta; lt = 9,29ft*;

/„ = 8,41ft*; e = 0,72ft;

В = 12,85-10"* ГПа-ма;

D = 1,69-10"* ГПа-м*;

=l,6.10~a ГПа-ма.

Вкруглых скобках последней фор­ мулы существенным является только второе слагаемое, т. е. при вычислении сдвиговой податливоти сечения можно

от продольного смещения, т. е. пола­ гая щ = 0 , получим

N = 0; Q = Qo — Рх*

M = Q ex — p - £ - ; « = 0 ;

Начальные значения Q0 и 0О на­ ходятся из граничных условий на конце х = I — v (/) = О, М (0 = 0. Окон­ чательно получим

Q = P { ^ 2 — *); м = -£-(/ — *)х;

v = "2 Af"

+ W (/8- 2/xa + ^ -

Максимальный прогиб

с учетом поперечного сдвига, состав­ ляет около 10%. При р = —30 кН/м получим vm = —2,5-10" 3 м.

Найдем напряжения. Максимальные нормальные напряжения в соответ­ ствии о формулой (2 .8 ) в металличе­ ской части балки реализуются на ее нижней поверхности (у = 0 ), в сред­ нем сечении (х = 1/2)

Ех )м ( р - е ) = 0.22 ГПа.

—1,44)+ 70-0,85-0,05 (0,9— 1,44) +

+70-0,5-0,05 (0,95— 1,44)] =

= —0,0087 ГПа.

Соответствующий запас прочности со­ ставляет 9,65.

Для сравнения рассмотрим анало­ гичную двутавровую металлическую балку с высотой сечения Л. В этом случае D — 1,00Л4, е = Ы2 и макси­ мальные нормальные напряжения со­ ставляют 0,26 ГПа, т. е. балка на­ ходится в предельном состоянии. Ее максимальный прогиб vm = 4,14 X X 10“ 3 м, т. е. он в 1,63 раза превы­ шает прогиб балки о композитной накладкой.

Композиты на основе жестких воло­ кон иногда используются в виде жгу­ тов, усиливающих металлический про­ филь (рис. 2.5). В этом случае фор­ мула (2.4) обобщается следующим об­ разом:

/ = 1

8j — соответственно модуль упрзпгости, площадь поперечного сечения и коор­ дината /-го жгута (см. рис. 2.5).

Рассмотрим устойчивость слоистых стержней при осевом сжатии (рис. 2 .6). Линеаризованное уравнение устой­ чивости стержня имеет вид

где

Я» = D ( 1^ - ( е д е с ь X = ■ £ ) .

Решение уравнения (2.10), а также выражения для изгибающего момента, поперечной силы и угла поворота сечения записываются следующим образом:

v = Сгх + С2 +

+ Са sin kx + С4 cos kx\

M = Dk2 (\ — A,)(C8 sin kx +

Рис. 2.6. Слоистый стержень, сжатый в осевом направлении

с = 0,25 и для жестко закрепленного стержня (рис. 2.7, в) с = 4.

Рассмотрим колебания слоистых ба­ лок. Уравнения динамики имеют вид

2.6). В результате получается однород­ ная система четырех линейных ал­ гебраических уравнений, которая об­ ладает ненулевым решением (нулевое решение Сх = С2 = С3 = С4 = 0 со­ ответствует v — 0 , т. е. прямолинейной форме равновесия стержня), если ее

определитель равен нулю. Из этого

Эйлера и не учитывающая деформацию поперечного сдвига (Тк = Тэ при К-+аа). Для шарнирно опертого

Здесь В, D, К — жесткости, определя­ емые равенствами (2.3)—(2.5); Вр, Ср, Dp — аналогичные инерционные ха­ рактеристики, причем

Ю

Рис. 2.7. Формы потери устойчивости сво­ бодно опертого (л), консольного (б) и жестко закрепленного по концам (а) стержня

ных и изгибных колебаний. Эти формы колебаний разделяются, если Ср = 0 или е = ер. В общем случае е ф ер, так как координата нейтральной оси балки е зависит от распределения жесткости по сечению, а соответству­ ющая инерционная характеристика ер— от распределения плотности мате­ риала. В частности, для балки, сечение которой показано на рис. 2.4, при

родных балок, при этом

и для балок, структура которых сим­ метрична относительно средней ли­

Заметим, что аналогичную форму урав­ нение изгибных колебаний имеет для балки с нерастяжимой нейтральной осью, т. е. при В —*■оо.

Коэффициент Dp учитывает инерцию поворота сечения. Влияние этого эф­ фекта на частоту собственных колеба­ ний можно ориентировочно оценить, сравнивая параметр = яРтЮ^РВр с единицей. Для балки, показанной на

Если считать, что Ср = 0 и Dp = О, т. е. не учитывать влияние продольных колебаний на изгибные и инерцию поворота сечения, уравнение изгибных колебаний записывается в форме

истой балки при поперечном сдвиге. О том, насколько существенным яв­ ляется влияние этой податливости на частоты свободных колебаний, можно

Для балки, показанной на рис. 2.4, А* = 0,104ma.

Для длинных балок (llh > 50) при анализе первых форм колебаний при­ веденные выше эффекты можно не