Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)
..pdfДля |
решения задачи восполь |
|||||
зуемся |
|
следующим |
приемом. |
|||
Пусть |
ft2 — высота |
на |
выходе и |
|||
hi — высота на |
входе. |
Допустим, |
||||
что |
отношение |
h\fh2 |
достаточно |
|||
велико. Тогда |
можно |
предпола |
||||
гать, что внутри канала суще |
||||||
ствует три участка. |
|
|
||||
|
В |
пределах |
первого участка |
|||
О^ |
т|о ^ |
т)ошах |
(лотах |
предель |
||
ное значение безразмерной коор |
||||||
динаты |
с нулевым |
напряжением |
||||
сдвига). Обозначим через h\ высо ту канала в конце этого участка и через ft*— высоту сечения, в котором т|о = 0; таким образом, на
первом участке fti ^ ft ^ ft*. Из уравнения (III. 140) следует, что для точек, находящихся на движущейся плоскости, выполняется условие:
l d p / d x ) n h * + l \ { i - t ) nY>+1 |
• n?+l] |
|
(III. 142) |
||||
|
|
( п + |
1)ц5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ввиду |
малости |
г|о |
положим |
т|о+1 = 0. Тогда |
из выражения |
||
(III. 142) имеем: |
|
|
|
|
|
||
|
L (dP/dx)n hn+l J |
|
|
|
(III. 143) |
||
|
|
|
|
|
|||
Воспользуемся условием dQ/dx = 0. Дифференцируя левую и |
|||||||
правую части выражения |
(III. 141а) с учетом (III. 143), получим: |
||||||
d Гг |
dP \ |
—гг |
|
|
|
|
|
иn+l-И 1 |
|
|
|
|
(III. 144) |
||
d x W |
ddx )) |
J - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
в |
пределах |
первого участка |
dP/dx « const. |
|||
Воспользуемся тем, что т|о = 0 в сечении А = |
Л*, и определим зна |
|||
чение dP/dx: |
|
|
|
|
dP |
U 11п ( п + I)1"' 1*о |
|
(III. 145) |
|
dx |
h' +lln |
|
|
|
|
* |
(III. 145) |
и определяя постоянную интегрирования |
|
|
Интегрируя |
|||
из условия х = |
0; Р(х) = |
0, получим распределение давлений для |
||
первого участка: |
|
|
||
|
U iln ( п + |
1)|/п Ц0 ( А ,- А ) |
(Щ .146) |
|
'hl+lln т
Рассмотрим теперь второй участок — от А* до Ао. Через Ао обо значим сечение, в котором dP/dx = 0 и Q = С/Ао/2. В пределах этого участка - о о < т ю < 0 , a dP/dx ^ 0. Для определения ло
5* |
1 3 1 |
В пределах третьего участка dP/dx < 0 и оо ^ |
г|0 ^ |
0,5. Здесь |
следует рассмотреть два варианта. |
1. Это |
означает, |
Первый вариант соответствует условию r\o ^ |
||
что между ho и h2 соблюдается соотношение |
|
|
п + 2 |
|
|
/*2 ^ ^0 2 (/i + 1) |
|
(III. 154) |
Используя разложение, аналогичное применяющемуся выше, получим:
Л |
1 \ |
\ |
|
|
|
У ' п |
(III. 155) |
|
110 V |
|
2по / |
I |
( - dP/dx)n hn+l |
J |
|||
|
|
|||||||
|
Преобразуя |
уравнения |
(III. 1416) и разлагая выражение |
|||||
(г|о— 1)п+2 в степенной ряд, имеем: |
|
|||||||
|
|
|
|
Чо |
Л |
п \ |
|
(III. 156) |
( - |
dPldx)n hn+2 |
|
2 |
Ч |
3rio/ |
|
||
|
|
|
||||||
Поскольку Q = Uh0/2, то учитывая соотношение (III. 154) и пренебрегая величиной 1/2т)о по сравнению с единицей, получим, что градиент давлений в пределах этого участка равен:
dP |
UUn\io |
(п + 2)(п+1),/я( ^ |
__Ао_\ |
(III. 157) |
dx |
п |
h2+Un) |
||
|
|
|
Распределение давлений на этом участке определится инте грированием выражения (III. 157). При этом постоянная интегри рования определится из условия P(h2) — 0:
Р(х) = |
(я+ 2) (л+ l) 'ln U iln\i0 |
J___ W _J____ !_Л1 |
||
|
т |
Л'/" я +1 \ |
Л|+|/п |
h\+ "n ) \ |
|
|
|
|
(III 158) |
Второй вариант соответствует условию 0,5 ^ |
т]о ^ |
1. Это озна |
||
чает, что |
|
|
|
|
Aj < Ло |
(я+ 2) |
|
|
|
|
2 (я + 1) |
|
|
|
В этом случае внутри клина существует область, в пределах ко торой /г» > /г > Л2. Полагая, что (1 — ло)71+1 » 0, получим из уравнения (III. 141):
t/(” +l)Po |
п |
(III. 159) |
(— dP/dx)n hn+l |
1,0 |
|
Аналогичным образом из выражения |
(III. 141а) следует, что |
|
А0 (я + 2) |
|
(III. 160) |
|
|
|
2Л |
{-dP ldx)nl(n+l) h |
к
Рис. III. 29. Изменение расположения сече ния Р т ах в зависимости от отношения
k =» h^jh^ для псевдопластичных (2 < л < 1 |
0 ) |
|
и ньютоновских (л = 1 |
> жидкостей (цифры |
|
на кривых — значения |
индекса течения |
п, |
г/мин). |
|
|
Следовательно, для очень больших k и больших п (для п > 4) сечение экстремального давления располагается в непо средственной близости к выходу из канала. Значение Л0 опреде ляется при этом из уравнения:
(я + 21 2|+|/"
+ 2т п |
И * - П |
+ |
|
я + 2 |
|||
,1/п |
[(„+1)1/»_1]_ |
|
|
я + 2 |
|
||
|
|
|
|
ol + 1/n [(я+ 1)|+|/п- |
1] |
|
|
(И+ 1)(п + 2)1+1/я |
= 0 |
(III. 165) |
|
Результаты численного решения, проведенного для каждого из участков при 2 ^ / г 10, представлены на рис. III. 29. Несколько неожиданной оказывается практическая независимость отношения
fti/fto от |
индекса течения. Так, при |
изменении /г в диапазоне 2 ^ |
||||
^ п ^ |
10 расчетные кривые сливаются в одну общую кривую. |
|||||
Сопоставление |
кривой h\/ho = f(k) |
при 2 ^ п ^ |
10 с |
прямой |
||
hjho = |
(k + 1)/2, |
характеризующей |
местоположение |
hQ в |
сходя |
|
щемся |
потоке ньютоновской жидкости, |
показывает, что для k > 5 |
||||
существование аномалии вязкости приводит к смещению сечения
нулевого градиента |
давлений (h = ft0) в сторону входа |
(а умень |
||
шается). Так, при |
k = |
10 в случае ньютоновской жидкости а = |
||
= 5,5, в то время как для псевдопластичных систем а = |
5,05. Ана |
|||
логичным |
образом |
при |
k = 20 для п = 1 а =10,5, а |
для 2 ^ |
^А 1 < 1 0 |
а = 9,001. |
|
|
|
Объемный расход в сходящемся течении равен: |
|
|||
Q = UhJ 2а |
|
|
|
(III. 166) |
Полученное решение показывает, что увеличение индекса те чения во всех случаях приводит к уменьшению максимального давления, возникающего в сходящемся потоке. Место расположе ния сечения экстремального давления, как правило, смещается в сторону входа. Исключения составляют только те случаи течения, в которых h2/h0<:(n + 2)l[2(n+I)] и сечение максимального давления расположено поблизости к выходу из канала.
III.9. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
Рассмотрим установившееся круговое течение расплава, находя щегося в кольцевом зазоре между двумя коаксиальными беско нечными цилиндрами (рис. III. 30), один из которых неподвижен, а второй вращается с постоянной угловой скоростью со. По-прежнему
исходим из уравнения количества дви |
||||
жения |
(III. 3) и уравнения несжимае |
|||
мости |
(III. 111). |
Учитывая |
круговой |
|
характер течения, |
представим |
уравне |
||
ние (III. 3) |
в цилиндрических |
коорди |
||
натах: |
|
|
|
|
- |г (/-2Рго) = |
0 |
|
(III. 167) |
|
Компонента |
напряжения |
рге в этом |
случае равна: |
|
|
РгО = Т10г - ^ - ( - ^ - ) |
(III. 168) |
|
Уравнение |
состояния |
принимает |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
т,а = |Аог1М["^г ('г)]'" |
(П1169) |
||
|
|
|
|
|
Интегрируя уравнение |
(III. 167) |
по |
|
|
|
|
|
|
г и подставляя в получившуюся в ре |
|||
|
|
|
|
|
зультате |
формулу выражение (III. 168) |
||
|
|
|
|
|
с учетом |
соотношения (III. 169), |
по |
|
|
|
|
|
|
лучим: |
|
|
|
Рис. 111.30. Схема кругового тече |
|
|
(III. |
170) |
||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование (III. 170) дает выражение для VQ: |
|
|
||||||
ve = C:rn{l/n- 2) + C3r |
|
|
|
(III. |
171) |
|||
|
Константы интегрирования Сг и Сз определяются из граничных |
|||||||
условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
VQ (Ri) = шД<= Ur, |
vg (До) = |
0 |
|
|
|
|||
|
После |
подстановки |
констант |
интегрирования |
уравнение |
|||
(III. 171) |
приобретает вид: |
|
|
|
|
|||
|
' |
n |
- ( W |
n l |
|
|
(III. |
172) |
U, |
Rt |
L |
1 - Р 2л |
J |
|
|
|
|
где
Р= Ro/Ri
Втом случае, если неподвижен внутренний цилиндр, а вра щается наружный, граничные условия изменяются:
°в № )= °> ve (R0) = ®RQ= ио
136
Распределение скоростей в зазоре описывается при этом вы ражением:
°в г Г р" - ( R J r ) n "I |
(IIIl73) |
«TL~V - 1 J |
Вращающий момент Мр0, приходящийся на единицу длины не подвижного цилиндра, определяется суммированием элементарных моментов, действующих на его поверхности, и оказывается равным:
M Ro = 2 n R ]Pr0 |
(III. 174) |
Скорость сдвига у поверхности внешнего цилиндра можно определить, дифференцируя выражение (III. 172):
|
|
|
(III. 175) |
Полагая г = |
R0, получим: |
|
|
Y(tfo) = |
Ui |
2п.2п |
(III. 176) |
|
Rt l- f J ! |
|
|
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ВЫНУЖДЕННОЕ ТЕЧЕНИЕ
Рассмотрим случай, когда один из цилиндров (например, внешний) неподвижен, а внутренний перемещается вдоль своей оси с посто янной скоростью vx, В этом случае уравнение (III. 167) примет вид:
-^(гргх) = 0 |
(III. 177) |
Компонента напряжения с учетом уравнения состояния равна:
ргх = |
Ро (dvx/dr)' |
|
(III. 178) |
|
|
Подстановка |
выражения |
(III. 178) в уравнение (III. 177) дает: |
|
_д_ |
[ г |
( ^ ) ' /П] = |
° |
(III. 179) |
дг |
||||
Дважды интегрируя уравнение (III. 179) и определяя постоян ные интегрирования из граничных условий
vx ( R i) 2=5 Vхvx ( R o ) ==:^
получим следующее выражение для распределения скоростей:
°Х — (r!Ri)'~n (III. 180)
Vx P1_" - 1
Легко заметить, что уравнение (III.180) справедливо для всех
значений |
п, кроме п = 1. В последнем случае решение уравнения |
(III. 179) |
принимает вид [20, с. 130]: |
ух __ In (Rp/r) |
(III 181) |
Vx |
In P |
|
|
|
|
сти |
Скорость сдвига |
на |
поверхно |
||
|
|
|
|
движущегося |
цилиндра мо |
||||
|
|
|
|
жет быть |
определена |
дифферен |
|||
|
|
|
|
цированием |
уравнения |
(III. 180) |
|||
|
|
|
|
и подстановкой г = |
Ri\ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( п ~ |
] ) (IIL182) |
|
|
|
|
В |
случае |
течения |
ньютоновской |
||
|
|
|
|
жидкости |
|
|
|
|
|
|
|
* - * |
, / * i |
V ( R i ) = - |
V JCK R I In р) |
|
( in . 182а) |
||
|
|
|
|
|
|||||
Рис. III. 31. |
Номограмма |
зависимости |
П Я т-р м н ы й |
n a p v n n |
л п п а п о п и т |
||||
g (р, п) |
от |
р=/?о/Ri |
(цифры у кри- |
и о ъ е м н ы и |
р а с х о д |
о п р е д е л и т - |
|||
вых — значения я, кг/мин). |
СЯ |
и н т е г р и р о в а н и е м |
ВЫрВЖСНИЯ |
||||||
для распределения скоростей по всему сечению щели (от Ri до Ro) ; в случае псевдопластичной жид кости в результате интегрирования получаем:
я.
Q = 2* $ r v x (г) d r = 2 ^ - ( R l - Я?) g (Р, п) |
(III. 183) |
Функция £(р, п) |
определяется выражением |
|
|
S(P, п )= 2 (" ~ „ 1)-~ -----+ |
п - 3 - 1 |
(III. 184) |
|
ft —3 1- |
р1 |
|
|
При течении ньютоновской жидкости величина объемного рас |
|||
хода равна: |
|
|
|
<3 = Н Г (*§- *D Стгг " |
(IIL 185) |
Заметим, что значения пределов g(p, п) |
и g(P, 1) при р -И |
равны единице. Следовательно, в частном случае, когда радиусы внешнего и внутреннего цилиндров равны, формула для расхода переходит в известное выражение, описывающее течение между двумя параллельными пластинами. Поэтому значение функции g(P, п) можно рассматривать как величину поправки, позволяю щей учесть ошибку, возникающую при замене течения через коль цевой зазор течением между параллельными плоскостями.
Номограмма зависимости g(p, п) представлена на рис. III. 31 в виде g(P)n, где п выступает в роли параметра.
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ОСЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕМ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЙ
Рассмотрим течение, возникающее в кольцевом канале, образо ванном двумя неподвижными концентрическими цилиндрами, на концах которого существует перепад давлений. По-прежнему бу
дем предполагать, что движение установившееся, прямолинейное и осесимметричное. При этом уравне ние (III. 3) сводится к виду:
дР |
1 |
д |
(III. 186) |
|
дх |
г |
дг ^ГРгх^ |
||
|
Интегрирование |
уравнения |
|
(III. 186) |
дает: |
|
л |
2 дх ^ г |
(III 187) |
Ргх |
|
|
Поскольку течение считается установившимся, можно заменить продольный градиент давлений от ношением перепада давлений ДР к длине трубы, записав постоянную интегрирования в иной форме и обозначив ее К:
|
р" “ 1 г [ г “ |
‘Ут Ч |
(IIL188) |
где |
X— постоянная интегрирования, определенная |
из условия |
рГх(г) = 0 при |
г = |
XRo- |
|
|
Подстановка в |
уравнение |
(III. 188) |
степенного реологического |
|||||
уравнения дает: |
|
|
|
|
|
|
||
dvx __ |
ДРп |
г |
( Ш П п |
|
|
|
(III 189) |
|
dr |
ДРп |
Г |
(A.tfo)2T |
|
|
|
||
(2Z.p0)n |
L |
Г |
J |
|
|
|
|
|
В случае ньютоновской жидкости уравнение (III. 189) |
интегри |
|||||||
руется в квадратурах [20, с 130]: |
|
|
|
|||||
р* (г) - |
/ЙДЯ ' |
-2 |
°2 |
|
) |
|
(III. 190) |
|
~ - Р |
( l - -^ -+ |
^ — -In — |
|
|||||
|
4pL |
\ |
Rl |
р2 In Р |
R0 J |
|
|
|
Объемный расход через кольцевой зазор определится, если |
||||||||
проинтегрировать |
выражение для |
yx(r) |
по всему сечению зазора: |
|||||
Q = 2я j о, (г) г dr = |
^ |
|
|
- ^ г П Т у - ] |
(IIL 19П |
|||
Если Ri стремится к нулю (|3—юо), уравнение (III. 191) сво дится к известному уравнению Пуазейля.
Решение уравнения (III. 189) для жидкостей, подчиняющихся степенному закону течения, содержится в работе Фредриксона и Бёрда [210]. Полученный ими результат можно представить в форме:
« - "4+1 |
(вдт)"(-тг)""а<”■<“«” + 2» |
(III 192) |
|
Функция Q(n, ft) зависит только от п и ft. Значения Й, опреде ленные численным методом для широкого диапазона изменений п и р, приведены на рис. III. 32.
ШЛО. КРУГОВОЕ ТЕЧЕНИЕ УПРУГОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ КОНУСОМ И ПЛОСКОСТЬЮ
Рассмотрим круговое течение, возникающее при вращении ко нуса в вязкой жидкости, заполняющей пространство между кону сом и плоскостью (рис. III. 33). Если угол а мал, находящаяся в зазоре жидкость будет деформироваться с постоянной скоростью сдвига:
у = со/a |
(III. 193) |
где со — угловая скорость вращения конуса.
Существование высокоэластической деформации в текущей среде приводит к возникновению нормальных напряжений ртт, значение которых зависит от напряжения сдвига и деформации сдвига.
Исходные уравнения равновесия можно записать в виде:
d p „ /d ln r = peo- p rr
d p r6fd In г — — 2pr() |
(III. 194) |
dprz/d In r = — prz
Главные напряжения могут быть определены через упругий потенциал W [214, с. 115]:
Pl = Л/Лй Ж 7 |
(III. 195) |
В случае течения несжимаемых жидкостей
W = |
C\Ii + |
C2 I 2 + С3 |
(III. 196) |
где |
Сь С2 |
и С3— некоторые константы, |
характеризующие упругие свойства |
среды; |
|
|
|
3
(III. 197)
/2= Z Ф / - з
В первом приближении упругие характеристики среды можно охарактеризовать значением модуля сдвига. Главные деформации в случае простого сдвига определяются соотношениями: Я1 = Я; Я2 = 1/Я; Я3 = 1.