Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)

где Ux = nDN sin q>; с — отношение расхода про­ тивотока к расходу вынужденного потока в цир­ куляционном течении, равное

f* = t / * [ 3 ( f - ) 2 - 2 | - ] (VIII. 25)

Из уравнения (VIII. 25) видно, что эпюра скоростей циркуляци­ онного течения (рис. VIII. 10) не зависит от давления в головке,

а полностью определяется размерами канала и скоростью враще­ ния червяка.

Результирующее распределение скоростей. Вектор истинной скорости в трехмерном потоке определится как векторная сумма

Значения поступательной (параллельной оси z ) и циркуляцион­ ной (параллельной оси х) компонент вектора скорости рассчитаны для различных значений отношения yjh при режиме свободного

что профиль скоростей в плоскости хоу не зависит от противодав­ ления, оставаясь неизменным при всех значениях а. Изменение а влияет только на профиль скоростей поступательного потока, по­ скольку при а > 7з на эпюре скоростей появляется область отри­ цательных значений vz.

Отметим, что расположенная в плоскости 1оу компонента ско­ рости Vi всегда положительна при любых значениях а. Следова­ тельно, весь находящийся в червяке материал всегда движется вдоль его оси в направлении к головке. Исключением является режим нулевого расхода, при котором элементы находящейся в канале среды будут совершать круговое движение в плоскости, перпендикулярной оси /, совершенно не перемещаясь. При этом слой материала, расположенный на расстоянии 2/з высоты канала от его дна, остается неподвижным.

С дру(юй стороны, из уравнений (VIII. 3) и (VIII. 4) по опреде­ лению следует:

1 л

Заменяя в выражении (VIII. 26) отношение скоростей дефор­ мации отношением напряжений сдвига, получим две новые формы записи квадратичного инварианта:

где X и v — отношения градиентов давлений, действующих в циркуляционном и продольном течениях, соответственно;

Выше было показано, что градиенты давлений постоянны, а скорости vz и vx могут считаться функциями только одной пере­ менной у. Поэтому решение задачи приводится к квадратурам.

Подставляя в уравнение (VIII. 16а) значения напряжений из соотношения ( (VIII. 3) и учитывая, что V2I2 в уравнении (VIII. 4) вьфажается из равенства (VIII. 30), получим после интегрирова­ ния два уравнения, описывающих распределение скоростей в по­ ступательном vz (т]) и циркуляционном их(т|) течениях:

Сопоставление результ ат ов точного и приближенного расчет а

мерном течении эффективная вяз­ кость меньше, чем в аналогичных условиях в одномерном течении. В результате расчета необходимо определить такие характеристики двумерного течения, которые представляют интерес для анали­ за процесса экструзии. К их чис­ лу относятся: объемный расход поступательного течения, опреде­ ляющий производительность про­ цесса; напряжения сдвига в по­ ступательном и циркуляционном течениях, действующие на внут­ ренней поверхности корпуса и оп­ ределяющие величину диссипируемой в расплаве энергии; гра­ диенты давлений в поступатель­

ном и циркуляционном течениях, определяющие давление и осевое усилие, развивающиеся в пределах зоны дозирования.

Рассмотрим все эти задачи последовательно. В качестве основ­ ного параметра расчета воспользуемся величиной т]0. Теоретиче­ ски значение т]о может лежать внутри одной из двух областей:

При этом условие (VIII. 37) соответствует положительному гра­ диенту давлений, а условие (VIII. 37а) —отрицательному.

Безразмерный градиент давлений в поступательном течении можно было бы определить из выражения (VIII. 34):

и ^оц по формулам одномерного течения (III. 130) и (III. 131). Значение %в первом приближении определяется выражением:

в соотношение (VIII. 34), которое интегрируется для вычисления

У\штеНН0Г0 значения Х> которое затем подставляют в выражение (VIII. 38) для определения из последнего В2. Величина Вх рассчи­

тывается из очевидного соотношения

Напряжение сдвига на стенке корпуса экструдера определяется из выражения (VIII. 16) с уч _ом соотношений (VIII.ЗЗв) и (VIII. ЗЗг):

Полученные зависимости показывают, что градиенты давлений и напряжений сдвига в двумерном течении меньше, чем соответ­ ствующие параметры в одномерном течении.

Циркуляционное течение. Основным критерием, используемым для определения параметров циркуляционного течения, является условие нулевого расхода (VIII. 35).

Выше отмечалось, что используя это условие можно определить численным методом значения х\0ц и % как функцию т)0. Пример расчетов такого рода приведен в таблице VIII. 1.

Более простой способ — это определение величины г]0ц как функции индекса течения из уравнения (III. 133). Результирующее выражение имеет вид:

Покажем, что использование модельного течения не может при­ водить к существенному изменению в величине параметра т]оц. Для

п—1

этого разложим величину [1 + (Л — По)2 v /(л — Лоц)2] 2 в ряд Тэйлора относительно т) = 1:

F'(l) = (« —1)(1 —Лои)п 3 [l + (1—Ло)°v?/(l—Лоц)2] 2 i(l + v?)ri + т1„ц-т|о]<

258

Пренебрегая членами порядка (т) — I)2, преобразуем выражение (VIII. 31а) к виду.:

Первый и второй члены уравнения (VIII. 46) совпадают с выра­ жением (VIII.42), полученным в результате интегрирования урав­ нения, описывающего поле скоростей одномерного моделирующего течения. Следовательно, если T]O4 определяется из уравнения (VIII. 43), эти члены обращаются в нуль. Третий член уравнения (VIII. 46) представляет собой, по существу, выражение (VIII. 42), вычисленное при значении индекса течения, увеличенного на еди­ ницу. Следовательно, если пренебречь разницей между соседними значениями г)оц, которая с увеличением п стремится к нулю (см. рис. VIII. 12), то можно принять, что и этот последний член равен нулю. Поэтому для определения координаты т]оц реального течения будут использованы результаты, полученные при замене циркуля­ ционной составляющей двумерного течения одномерным течением с одинаковыми кинематическими характеристиками (h и U sin ф) и нулевым значением расхода. Величина градиента давлений модели­ рующего циркуляционного течения при этом равна:

[ ( I - V T ' - C ' r

Для удобства расчетов результаты численного решения уравне­ ний (VIII. 43) и (VIII. 48) представлены в виде графиков (рис. VIII. 12).

Полученное приближенное решение позволяет рассчитать объемный расход и градиенты давлений в продольном и поперечном направ­ лениях для рассматриваемого случая плоского моделирующего те­ чения. Объемный расход определится выражением:

О

где ф(т]0) находится из соотношений (III.'133) —(III. 134).

Если объемный расход известен и необходимо рассчитать все остальные параметры процесса, то выражение (VIII. 38) рассматри­ вается как трансцендентное уравнение, решая которое находят соответствующее значение rjo. Коэффициент Fd вводится для учета тормозящего влияния стенок. Принимаем, что численное значение для аномально-вязких жидкостей не отличается от значения, полу­ ченного при интегрировании уравнений ньютоновских жидкостей Г66].

Прежде чем перейти к определению параметров процесса экс­ трузии, выразим скорости Ux и Uz через характеристики червяка и частотой его вращения:

Уравнение производительности при экструзии псевдопластичной жидкости приобретает вид:

Первый член выражения (VIII. 55) принято называть вынуж­ денным потоком, второй член — противотоком. Такое четкое деле­ ние существует только при экструзии ньютоновских жидкостей.

2G0