Соответственно получим:
|, = *|/л/2ЯЛ0 ; Ь = x 2N 2 R h 0 |
(IX. 14) |
Далее разложим стоящий в правой части выражения (IX. II) корень квадратный в биномиальный ряд и ограничимся первыми двумя членами ряда:
Л = Л о (1 + |2) |
(IX. 15) |
dP |
Заменим |
градиент |
давлений |
dP/dx в уравнении |
(IX. 12) |
на |
di |
dP |
1 |
подставляя п из |
. |
(IX. 15), |
/Tvr |
. . . |
|
------- = |
-------и, |
выражения |
по- |
|
|
d\ |
dx |
dt |
^ 2 R h 0 |
|
|
н |
|
v |
|
|
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP |
3iiU |
j 2 R |
Г | 2 - |
| 2 "1 |
|
|
|
|
(IX. 16) |
d% |
h0 |
v |
h0 |
L (i + |
i 2)8 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Входящий |
в |
уравнение |
(IX. 16) параметр |
| 2 определяется |
из |
условия dPjdx = |
0 при х = |
х2: |
|
|
|
|
|
С другой стороны, величина | 2 определена выражением (IX. 14). Следовательно, между объемным расходом и координатой точ ки отрыва вальцуемого материала от поверхности валка суще
ствует однозначная связь:
(IX. 18)
Для вальцов с фрикцией величина продольного градиента дав лений определится выражением, аналогичным (IX. 16):
dP _ |
з,Ш0 |
/2 R Г |
| 2- ^ 1 |
|
di |
h0 |
v h0 |
1(1 + 12)3 J |
< , x - , 6 a > |
Соответственно изменится и соотношение для определения
<1Х17а)
Интегрируя уравнение (IX. 16а), получим выражение, описы вающее распределение давлений в зазоре:
p® - i n r V w ls(bE,+C| |
(,х-'9) |
Функция g ( |2, |) определяется уравнением:
8 |
6) = [ * |
] I + (1 - З ф arctg 6 |
(IX. 20) |
Постоянная интегрирования |
С опре |
деляется |
из граничного |
условия |
Р ( - Ь ) = |
0: |
|
|
с = |
( |
т |
пh ~ |
|( !) “ |
3 $ |
arctg 12 (1Х - 21) |
|
Приравнивая |
производную |
dP/dl• |
|
нулю, получим, что при £ = |
— |
функ |
|
ция |
Р(1) |
проходит |
через |
макси |
|
мум. |
|
|
обратимся |
к |
уравнению |
|
Далее |
|
(IX .19). |
|
Поскольку |
по |
условию |
|
P(h) = |
P(h) = |
0, выражение |
(IX.20) |
|
должно иметь два корня, при которых |
|
оно обращается в нуль. При этом по |
|
скольку один из них определяется вы |
|
ражением |
(IX. 17), второй определяет |
Рнс. IX. 7. Зависимость между |
ся условием: |
|
|
|
|
g(h, |
Ы = - с ( Ы |
|
|
|
(IX.22) |
*2 и S,. |
|
|
|
|
где С(§2) находится по формуле |
(IX. 21). |
Следовательно, между g2 и gi существует однозначная функ |
циональная зависимость, |
график |
которой приведен |
на |
рис. IX. 7. |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
Чтобы получить выражение, описывающее распределение скоро стей в зазоре между валками, воспользуемся соотношением (IX.9а), подставив в него значение dP/dx из уравнения (IX. 16а):
Ох = - [ у tl20 2 - ё ) + 2 ~ 1 2+312 + цЯ (1 + 6*)] (IX.23)
В случае вальцевания без фрикции (X = 0) уравнение (IX. 23)
|
переходит в известное уравнение [17, с. 227]: |
|
|
„ |
3t,20 2- $ + 3 S i- |2+ 2 |
(IX. 23a) |
|
Vx~ U |
2(1 + 12) |
|
|
Типичная картина распределения скоростей, рассчитанная из уравнения (IX. 23), приведена на рис. IX. 4. Заметим, что при I = = ± ^ 2 правая часть уравнения (IX. 23а) не зависит от тр Это означает, что при отсутствии фрикции вальцуемый материал в этих сечениях движется с постоянной скоростью. Если же ско рость вращения неодинакова, то в этих сечениях эпюра скоростей имеет форму трапеции, поскольку по мере удаления от оси сим метрии скорость линейно увеличивается (или уменьшается — в за висимости от знака т]) в соответствии с последним членом выра жения (IX. 23).
Объемный расход через единицу ширины зазора определится интегрированием выражения для vx в пределах от —h до -fft. Наи более рационально выполнить это интегрирование в сечении, в ко тором | = + £ 2- Тогда в случае вальцевания без фрикции
I
Q = 2 h ^ o x dr\ = 2Uho |
(IX. 24) |
о |
|
а в случае вальцевания с фрикцией |
|
Q = 2U0h0 |
(IX. 24а) |
Как уже отмечалось выше, на входе в зазор существует об ласть, в которой в центральной части потока скорость направлена в сторону, противоположную направлению движения поверхности валков. Границу этой области можно определить, положив vx = О при т] = 0. Граничное значение gs определится как корень квадрат ного уравнения:
- ^ + 3 6 2 + |
2 = 0 |
(IX. 25) |
или |
|
|
£, = У 3Й + |
2 |
(IX. 25а) |
Поскольку вся зона противотока расположена в области поло жительных значений отрицательный корень отбрасываем.
Скорость сдвига в зазоре можно определить, дифференцируя уравнение (IX.23):
*>х _ |
д°х *1 |
_ "о |
Г 3tl ( | 2 - |§) + |
Л (I + |
I 2) ] |
|
|
ду ~ |
дт\ |
ду |
Л0 |
L |
|
( I + S 2)2 |
J |
|
|
При изменении |
т) в |
пределах от |
—1 до |
+1 скорость сдвига |
в зазоре при вальцевании без фрикции изменяется в пределах |
з и |
|
|
|
|
( i 2 — i i ) |
|
|
|
(IX. 26a) |
ho 0 |
+ S2)2 ^ |
ду ^ |
h0 |
( l + £ 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
а при вальцевании с фрикцией — в пределах |
|
|
[Л (1 + |
g2) — 3 (g2 — I |) ] |
_ |
dvx |
^ |
С/0[Я(1 + | 2) + |
3(g2 - | 2)] |
(IX.266) |
|
Ао (1 + |
S2)2 |
|
^ |
ду |
^ |
|
Ао (1 + |
I 2)2 |
|
|
|
|
Средняя по длине зазора скорость сдвига может быть в первом приближении определена как среднее из значений скорости сдвига в начале и в конце зазора; при вальцевании без фрикции
__ |
W Г |
в ? - ё |
1 |
Ц_ |
|
(IX. 27) |
|
Щ L(l+6?)2 |
(l+6l)2J |
*0 |
|
д у \ и |
|
|
при вальцевании с фрикцией |
|
|
|
ддх |
"о |
Г 3 (Si — Sj>) + А 0 + |
6?) |
Д |
Уо1__ |
ду |+А " |
2Аа |
L |
(1 + |?)2 |
+ (1 + |
g2) J “ |
(IX. 27а) |
А0 |
Полученные приближенные выражения для пристенного гра диента скорости позволяют, как будет показано ниже, интегрально учитывать аномалию вязкости, вводя среднюю эффективную вяз кость как функцию среднего градиента скорости.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ В ЗАЗОРЕ
Распределение давлений в зазоре описывается выражением (IX. 19). Для приближенного учета аномалии вязкости подставим в это выражение вместо постоянной вязкости эффективную вяз кость [7], выразив ее из уравнения (II. 66):
(IX. 28)
Существование аномалии вязкости приводит к ослаблению за висимости давления от частоты вращения валков и величины за зора с увеличением индекса течения.
Сопоставление теоретической и экспериментальной кривых дав ления (рис. IX. 8) показывает, что фактическое распределение давлений на участке £i ^ ^ 1,3£2 довольно сильно отличается от теоретического. Более пологий ход экспериментальной кривой дав ления, по-видимому, объясняется тем, что фактическое значение эффективной вязкости на участке входа ниже, чем это следует из использованного приближенного выражения, поскольку действи тельное значение пристенного градиента скорости выше его сред него значения у = U0/h0.
В области —£2 < £ < £2 наблюдается вполне удовлетворитель ное согласие между теорией и экспериментом. Можно полагать, что в этой области пристенное значение скорости сдвига уже зна чительно меньше зависит от продольной координаты. Поэтому и ошибка, связанная с введением постоянной по всему зазору вяз кости, не так велика.
Максимальное давление можно определить, полагая в выра жении (IX. 28) I == + £2:
(IX. 29)
Интересно, что наибольшее влияние на максимальное давление оказывает значение £2, которое входит в уравнение (IX. 29) в третьей степени.
Распорные усилия, приходящиеся на единицу ширины валка, можно определить, интегрируя уравнение (IX. 28):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
** d=) = |
[6, - h + ei2 (i + 1?)] + |
|
|
+ 0 |
— 3|г) (l2 arctgg2 - g, arctg g,) |
(IX.31) |
|
|
h |
Номограмма зависимости g‘2 (E2) от |
|
|
представлена |
на рис. IX. 9. |
С |
уве |
|
|
личением £2 значение функции £2(Ы |
|
|
довольно быстро растет. Так, при из |
|
|
менении |
£2 от |
0,2 до |
0,3 |
значение |
|
|
<?2 (Ы возрастает почти |
в |
пять |
раз. |
|
|
Это указывает на существенную связь |
|
|
между объемом загрузки и распорным |
|
|
усилием. Поэтому во избежание по |
|
|
ломки вальцов никогда не следует |
|
|
сразу загружать на валки всю порцию |
Рис. IX .8. Распределение |
давления |
вальцуемого материала. Напротив, не |
в зазоре между валками: |
|
обходимо |
загружать материал |
посте |
/ —теоретическая кривая; |
2—экспе |
риментальные данные [8]. |
|
пенно, чтобы величина £2 росла |
вме |
|
|
сте |
с повышением температуры |
валь |
цуемого материала. Тогда увеличение распорного усилия, вызван ное ростом значения функции £г(Ы» будет одновременно компен сироваться уменьшением эффективной вязкости вследствие разо грева материала.
Существование аномалии вязкости приводит, как видно из
уравнения (IX. 30), |
к весьма значительному уменьшению распор |
ных усилий. |
|
Для иллюстрации |
определим отношение распорного усилия, рассчитанного |
по формулам ньютоновского течения, к распорному усилию, рассчитанному с при
ближенным учетом аномалии вязкости в |
____ ________________________ случае вальцевания |
расплава, |
для |
которого |
JJ,0 = |
10—3 |
МПа-с‘/2, а п — 2 |
(при расчете |
в ньютоновском приближении |
принимаем, |
что |
Но = |
10~3 |
МПа • Л |
U/h0 « 250 с-1) |
|
|
Ulho |
—-I |
__ |
|
|
= (U/h0)n = V250 = 15,4 |
|
(Ulho) I In |
|
Иначе говоря, распорное усилие, рас |
|
считанное без учета аномалии вязкости, |
|
оказывается примерно в 15 раз больше, чем |
|
распорное усилие, рассчитанное с учетом |
|
аномалии вязкости. |
|
|
Из |
уравнения (IX. 30) |
видно, |
|
что распорное усилие очень сильно |
|
зависит от расстояния между вал |
|
ками, возрастая с его сокращением. |
Рис. IX. 9. Номограмма зависимости |
Это связано с тем, что при умень |
*2 (*2)« |
шении |
Ло одновременно |
увеличи |
вается | 2 и, следовательно g ( |2), и возрастает множитель MU/ho)lln, поскольку h0 входит в знаменатель. Экспериментально показано, что при уменьшении в 4 раза толщины (калибра) каландруемой пленки (от 0,1 до 0,025 мм) распорное усилие увели чилось в 4,8 раза (материал — наполненная композиция на основе поливинилхлорида) [15]. Казалось бы, аналогичное влияние на величину распорного усилия должна была бы оказывать и часто та вращения валков. В действительности этого никогда не проис ходит, потому что одновременно с увеличением частоты вращения валков возрастает интенсивность тепловыделения, а это приводит к снижению вязкости.
НАПРЯЖЕНИЯ СДВИГА В ЗАЗОРЕ И КРУТЯЩИЕ МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ВАЛКИ
Чтобы найти распределение напряжений сдвига в зазоре, восполь зуемся уравнением (IX. 25). В случае вальцевания среды, обла дающей ньютоновской вязкостью, имеем:
|
dvx |
nt/0 |
3T,02 - $ ) + a.(i + !2) |
(IX. 32) |
|
Рху-» ду ~ |
ho |
(1 + I 2)2 |
|
|
Приближенный учет аномалии вязкости через средний градиент скорости дает выражение:
Зл (6 * -$ ) + *(!+6*)
(IX. 32а)
(1 + I2)2
На рис. IX. 6 приведены значения напряжений сдвига в зазоре между валками вальцов, рассчитанные для случая вальцевания резиновой смеси на основе малонаполненного бутадиен-стироль- ного каучука СКМС-ЗОАРКМ [20]. Из рисунка видно, что с уда лением от поверхности валков напряжения сдвига довольно бы стро уменьшаются. На кривых зависимости pxy = f(Q имеются два четких экстремума: один в области положительных напряже ний сдвига, второй — в области отрицательных.
Создаваемый напряжениями сдвига крутящий момент, прихо дящийся на 1 см длины, может быть определен интегрированием
уравнения |
(IX. 32а) |
при г\ = ±1 |
в пределах от —х\ до х2 и умно |
жением полученного результата на радиус валка: |
|
М = 3£/J/"*'*5|i0/(2Ao),A - |
Rf (l2) h \ r m |
«= 2,13H U'0lnR 4 0fn- 2)l2nl ( |2) |
(IX. 33) |
где |
|
|
i + I|S2 + 12+ iiS2 |
|
f ( h ) = [ - у |
± 0 - l 2) ] |
|
(IX. 34) |
(arc,g h + arc,s 5 |): |
l + i ?
Здесь знак плюс относится к валку, для которого т) = +1, а знак минус — к валку, для которого т) = —1.
Из уравнения (IX. 33) видно, что крутящий момент должен за висеть от /to, R, Цо, U0. Экспериментальные исследования показы
|
вают, что подобно распорному уси |
|
лию крутящий момент почти не за |
|
висит от окружной скорости [8]. По- |
|
видимому, |
это |
обстоятельство |
яв |
|
ляется |
следствием постоянства |
про |
|
изведения |
|
|
|
|
|
|
Мощность, рассеиваемая в валь |
|
цуемом |
материале, |
определяется |
|
выражением: |
|
|
|
|
|
зи\+1/п |
|
|
Ло |
'" W i fe) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IX. ЗБ) |
|
где и» — длина |
валка |
вальцов; |
|
|
/. (Ы = |
|
|
|
|
|
|
|
= [-J- - С1- |
I2)] |
(arctgS| + arctg i2) + |
Рис. IX. 10. Номограмма зависимости |
|
|
|
|
|
|
/I 02)* |
2 (ii + £iE| + 62 + ifk) |
(IX. 36) |
|
(1 + 61) 0 + А Г 1 |
|
|
|
Номограмма для |
определения значения |
М Ы |
приведена |
на |
рис. IX. 1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Мощность, необходимая для привода вальцов, оказывается су
щественно большей, чем мощность, |
определенная выражением |
(IX. 36), так как значительная часть |
мощности привода расхо |
дуется на преодоление трения в подшипниках валков [21]. Эту мощность можно определить, зная распорное усилие Т, коэффи циент трения подшипника и диаметр шейки валка d:
Wf = nd (Mi + N2) fsT |
(IX. 37) |
где lf| и f t — частоты вращения переднего и заднего валков; fa — коэффициент трения подшипника, приведенный к диаметру шейки валка.
Полная мощность, необходимая для привода вальцов, опреде ляется суммированием выражений (IX. 35) и (IX. 37).
В уравнениях (IX. 28), (IX. 30), (IX. 32а), (IX. 33) и (IX. 35) аномалия вязкости учитывалась на основе степенного закона тече ния и среднего градиента скорости, определенного выражением
(IX. 27).
Можно видоизменить эти уравнения, положив в них п = 1 и определяя эффективную вязкость непосредственно по кривой те
чения.
Значение среднего градиента скорости определяется при этом выражением:
IX. 4. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВАЛЬЦЕВАНИЯ МАТЕРИАЛА, ОБЛАДАЮЩЕГО СВОЙСТВАМИ ПСЕВДОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ
Гидродинамическая теория изотермического вальцевания материа лов, обладающих свойствами псевдопластичных жидкостей, рас сматривалась в работах [10, 16, 17, 21, 32—34]. Основные положе ния этой теории будут приведены ниже.
Схема |
движения |
материала |
та же, что представленная на |
рис. IX. 3. |
Основные |
уравнения |
выводятся при следующих допу |
щениях: 1) течение двумерное; 2) среда несжимаема; 3) течение ламинарное, установившееся; 4) инерционные и массовые силы по сравнению с вязкими пренебрежимо малы; 5) составляющие скорости v x вдоль оси х пропорциональны [/; составляющие ско
рости vx пропорциональны |
Uh/L, где L и h — характерные длины |
вдоль осей х и у, причем |
L » h\ 6) d v j d x ~ U/Ly 7) d v j d y ~ |
~U/h\ 8) dVy/dx ~ Uh/L2\ 9) вальцуемый материал обладает
свойствами «степенной жидкости»; эффективная вязкость описы вается выражением (III. 22).
Исходная система дифференциальных уравнений при указан ных допущениях принимает следующий вид:
уравнения движения в напряжениях:
дР дрхх дрху
дх дх "Г ду
дР друу друх
ду ду дх
составляющие тензора напряжений
РXX |
- р |
+ 2ц04 1/л- 1>/2 |
dvx |
|
|
дх |
|
|
Руу = |
- Р |
+ 2р 04 |
,/п- ,)/2 |
дуу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дух |
&vy \ |
Рху = р „ |
- н ' Г |
- т |
{.д у + |
дх |
) |
|
' дох \ 2 |
( |
dvy Y |
|
f d v x |
|
до |
/ , = ( С д Г ) |
+ \~ду~) |
■+ U |
+ |
д х . |
(IX. 39)
(IX. 39 а)
(IX. 40)
(IX. 40а)
(IX. 406)
(IX. 40в)
уравнение неразрывности [см. уравнение (IX. 2)]
d v x |
|
d v t, |
—- н--—-= о |
дх |
т |
ду |
|
Используя |
допущения 5 и 8 и производя оценки, проводимые |
|
в теории |
пограничного слоя, можно упростить уравнения (IX.39) |
|
и (IX.40в): |
|
|
|
Р*=Р(х) |
|
|
(IX. 41) |
|
dP _ |
dpxy |
|
(IX. 42) |
|
dx ~ |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
Рху — Но |
dvx п |
1 dvx |
(IX. 43) |
|
ду |
ду |
|
|
Интегрируя уравнение (IX. 42), представим его в виде:
|
dP |
‘ И * ) |
(IX. 44) |
|
Рху~ Т 7 |
|
|
Полученное решение показывает, что в рамках сделанных при ближений распределение напряжений сдвига в зазоре линейно. Константа у0 по своему физическому смыслу — это координата се чения, в котором напряжения сдвига равны нулю. Из условий сим метрии следует, что при отсутствии фрикции уо = 0. Поэтому все уравнения симметричного вальцевания существенно упрощаются. В случае несимметричного вальцевания сечение нулевых напряже ний сдвига сдвигается в сторону валка, вращающегося с большей
окружной скоростью.
Введем безразмерные координаты г| и |, определяемые выра жением (IX. 13). Тогда с учетом приближения (IX. 15) соотноше ние (IX. 44) примет вид:
HP
P x y = ^ ( \ + V ) ( \ ± r\o)h0 |
(IX. 45) |
Математические модели симметричного и несимметричного вальцевания получают интегрированием уравнения (IX. 45) с уче том уравнения (IX. 2) и соответствующих граничных условий.
СИММЕТРИЧНОЕ ВАЛЬЦЕВАНИЕ
При симметричном вальцевании граничные условия, определенные гипотезой прилипания, имеют вид:
vx = — (о (Я + h0 — h) » — со/?; у = h
(IX. 46)
vy== — —со£ л/Wh
Принимая, что давление на входе в зазор и в сечении отрыва равно нулю, получим:
|
Р===0 |
при |
1 = |
(IX. 47) |
|
Р= 0 |
при |
£ = — *2 |
|
|
тельно дифференциала скорости dvx и проинтегрируем по г]. Для определения постоянной интегрирования используем граничное условие (IX. 46); получим выражение, описывающее поле ско ростей:
/>о"+ , ( 1 + | г) |
dP |
(IX. 48) |
|
(т)п+1 - 0 - <oR |
~di
Из приведенных в предыдущем разделе физических соображе ний очевидно, что градиент давлений dPld\ положителен на участ ке зазора h — и отрицателен на участке — £2. Поэтому, строго говоря, выражение (IX. 48) описывает поле скоростей только на участке gi — в пределах которого противоток и вынужденное течение направлены в разные стороны. Чтобы распространить по лученное решение на всю длину зазора, представим его в виде:
dP |
п |
dP . .. |
(IX. 49) |
----- |
sign -----(il + — 1) — <s>R |
dl |
|
d\ |
|
ПРОДОЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТ ДАВЛЕНИЙ И КООРДИНАТА СЕЧЕНИЯ |
МАКСИМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ |
|
Для определения координаты |
используем условие |
постоянства |
расхода в любом сечении зазора. В случае симметричного вальце вания через зазор единичной ширины расход равен:
п |
|
|
|
Q = - 2 ^ v x dy |
|
(IX. 50) |
о |
|
|
|
Учитывая |
выражение |
(IX. 49) и переходя |
к безразмерным ко |
ординатам, получим: |
|
|
Q = — 2со£Л + |
2А | dP sign |
Л"тзв |
(IX. 51) |
где
Л= 1/[(* + 2)ц0ч(2ЯЛ0У,/2]
Вточке отрыва градиент давлений равен нулю. Поэтому еди ничный расход определится соотношением:
|
Q = -2co/?A0(l + 62) |
(IX. 52) |
|
Приравнивая |
выражения |
(IX. 51) и (IX. 52) и учитывая урав |
|
нение |
(IX. 15), получим: |
|
|
dP |
(0Р |
16• - 12 |
(IX. 53) |
|
dl |
ЛА0"+1 (l + i ) 4+a |
|
|
