Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)
..pdfНАГРЕВАНИЕ И ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕЛ ПРОСТОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Плоская неограниченная пластина. Под неограниченной обычно по* нимают такую пластину, ширина и длина которой во много раз превышают толщину. Таким образом, неограниченная пластина (рис. IV. 6) представляет собой тело, ограниченное двумя парал лельными плоскостями. Изменение температуры происходит толь ко в одном направлении (х), в двух других направлениях (у и z) температура неизменна. Следовательно, задача является одномер ной. Для одномерного теплового потока без внутреннего источника тепла уравнение теплопроводности сводится к виду:
дТ
(IV. 56)
дТ ~
Обычно используют граничные условия третьего рода:
« [ Т (0, 0 — Г*1 = Я ( - g - ) o t |
(IV.. 56a) |
Рассмотрим случай, когда в начальный момент температура пластины во всех точках была одинакова и равна Г0. Это началь ное условие записывается в виде:
Т (х, 0) = Т 0 |
(IV . 566) |
Решение, полученное методом преобразования Лапласа, имеет вид:
0 = ф ( 2 у — ) + |
exp (х + |
X2 Fo) Ф* (•/» V F o + x VFo) |
|
|
(IV. 57) |
|||
Здесь 9 = Тр — Т (х, t) |
■безразмерная |
температура; |
Fo = |
— |
критерий |
|||
Тр — Тр |
|
|
чистой |
теплопроводности); |
||||
Фурье (критерий |
гомохронности для процессов |
|||||||
|
|
%= ах/к — безразмерная |
координата; |
|||||
|
|
Ф ( — |
|
= |
Ф (х) = |
erf х |
— функ- |
|
|
|
\2 VFo / |
|
|
- |
2х |
||
|
|
ция |
ошибок, |
где |
||||
|
|
erf х = —j=- X |
||||||
|
|
х(. |
1!3 |
215 |
317 + |
V я |
||
|
|
|
х~ |
|
|
|
|
. ) ; Ф’= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= erf сх = |
1 — erf х. |
|
|
|
||
Если коэффициент теплоотдачи очень велик (это эквивалентно заданию постоянной температуры на стенке), уравнение (IV.57) упрощается:
х = -га |
х=0 |
Х - + Ш |
0 = ф (1 /2 VFo) = Ф(х/2 Vof) (IV. 58) |
|||
|
|
|
|
Для |
прикидочных |
расчетов |
Рис. IV. в. Положение |
координат |
при ис |
удобно |
пользоваться |
номограм |
|
следовании теплового |
процесса в неогра |
мой зависимости 0 от х/2 V а^> |
||||
ниченной пластине. |
|
|
|
|||
Рис. IV. 7. Номограмма для определения безразмеоной температуры в сечении неог раниченной пластины при Bi -> °о.
представленной |
на рис. |
IV. 7. |
Если значение |
критерия |
Фурье |
велико, но не равно бесконечно сти, решение имеет вид:
6 = 1~ Y j An cos v-n |
«Р ( - Pn F°) |
||
Здесь |
|
(IV. 59) |
|
|
|
||
Ап = |
2Bi д /B i2 + |
ц.2 |
|
(—1)я+| |
Bi + |
n2„) |
|
|
H„(Bi2 + |
||
|
|
|
(IV. 60) |
где |
jxn — корни характеристического |
||
уравнения |
|
|
|
Bi = |
ц tg р, |
|
(IV/61) |
Bi = |
a wJX — критерий Био. |
|
|
Рис. IV. 8. Номограмма для определения безразмерной температуры поверхности неограниченной пластины.
at/w2
Рис. IV. 9. Номограмма для |
определения |
|
безразмерной |
температуры |
в середине |
неограниченной |
пластины. |
|
Уравнение (IV. 61) имеет бес численное множество действи тельных положительных корней. Первые пять корней для различ ных значений критеря Био были вычислены Карслоу и Егером [14]. Обычно на практике поль зуются номограммами. Номо грамма, позволяющая определить безразмерную температуру по верхности пластины в зависи мости от критерия Фурье при различных значениях критерия Био, приведена на рис. IV. 8. Ана логичная номограмма, предназ наченная для определения тем пературы в центре пластины, при ведена на рис. IV. 9.
Неограниченный цилиндр. Рас смотрим неограниченный цилиндр радиуса /?, температура поверх ности которого остается неизмен ной на протяжении всего процес са теплообмена. Радиальное рас пределение температур в началь ный момент задано в виде неко торой функции Т (г). Необходимо найти распределение температур в цилиндре в любой момент вре мени. Задачи такого типа ветре-
Тогда безразмерная средняя температура определится соотноше
нием:
_ о°
V 0°-~r!~= Z B" exp |
^ Fo) |
(IV-66) |
|
|
п |
|
|
где В п = 4/|х^; |
р „ — корни |
функции Бесселя |
первого рода нулевого порядка*, |
определяемые выражением: |
|
|
|
л/RS /a = рь |
р2 . . . Цп |
|
(IV 67) |
Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10 приведена номограмма зависимости между
б и Fo.
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПРОЦЕССАХ, СОПРОВОЖДАЮЩИХСЯ ИЗМЕНЕНИЕМ ФИЗИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится встречаться с задачей о нагреве или охлаждении полимера, со провождающемся изменением физического состояния (плавлением или затвердением). Теоретическое рассмотрение задач такого типа впервые выполнено Нейманном [14, с. 277].
Мы остановимся только на одном, наиболее простом случае, в котором для упрощения теплофизические характеристики рас плава и твердого полимера будем считать одинаковыми. Пусть скрытая теплота плавления равна X, а температура плавления Тп. Обозначим координату поверхности раздела между твердой и жид кой фазами через X(t). Тогда одно из граничных условий, которое
должно |
удовлетворяться на |
этой поверхности, запишется в виде: |
|
T s — T m = |
T n при |
x = x ( t ) |
(IV .68) |
Индекс s указывает, что соответствующая величина относится |
|||
к твердой фазе |
(например, |
ps — плотность твердой фазы). Соот |
|
ветственно индекс m указывает, что величина относится к жид кой фазе.
Второе граничное условие касается поглощения (или выделе ния) скрытой теплоты на поверхности раздела. Предположим, что
* Функция Бесселя первого рода нулевого порядка может быть представ лена в виде ряда:
‘ « |
■ |
|
ш |
т г Й Г |
|
|
т —0 |
|
|
|
|
|
|
оо |
где |
Г (ш + |
1) = |
^ e ~ xx m d x — гамма-функция; г можеТ быть комплексной вели- |
|
|
|
|
|
о |
чиной.
в |
области х > х ( 1 ) |
находится жидкость при температуре Tm(xJ), |
|
а |
в области x < x ( t ) — твердая фаза при температуре Ts(x,t). |
||
|
Если поверхность раздела |
перемещается на расстояние dx, то |
|
в элементе объема |
вещества |
выделяется и должно быть отведено |
|
в результате теплопроводности количество тепла, в пересчете на единицу поверхности равное Ярdx. Математически это условие за пишется в виде:
дТ. |
k |
дТт |
|
|
|
|
|
(IV. 69) |
||
дх |
|
дх |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим три случая: плавление, затвердевание и плавление |
||||||||||
с удалением расплава. |
|
0. Если в начальный момент область |
||||||||
Плавление в области х > |
||||||||||
х > |
0 занята твердым телом с постоянной температурой Ts0 и при |
|||||||||
t > |
0 |
плоскость |
х = 0 поддерживается |
при постоянной |
темпера |
|||||
туре Г2 > |
Г„, то положение плоскости плавления определится вы |
|||||||||
ражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х = 2%(ат()'1> |
|
|
|
|
|
|
(IV 70) |
|||
Здесь | — корень уравнения |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
£Я.я'а |
|
(IV. 71) |
|
|
|
|
|
|
|
|
‘Ж |
- г , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тг* * тъ - тшй |
Ti = Tn ~ T sо |
|
|
|
|
(IV 72) |
||||
|
При этом распределение температур в твердой и жидкой фазах |
|||||||||
описывается выражением: |
|
|
|
|
|
|||||
г”*=Гг- |
\ |
г |
ф № ^ |
) |
|
|
|
(IV. 73) |
||
|
|
|
|
|||||||
—TSB |
|
|
Ф* (х/2 Vast) |
|
|
(IV. 74) |
||||
|
|
|
ф* (1 Vom/e.) |
|
|
|
|
|
||
л: > |
Затвердевание. Пусть |
в |
начальный |
момент |
времени |
область |
||||
0 |
представляет собой |
|
жидкость, а |
область |
х < 0 |
твердое |
||||
тело. Иначе говоря, в начальный момент поверхность раздела сов
падает с началом координат.
Допустим, что значения термических коэффициентов только что Затвердевшего расплава отличаются от значений термических коэффициентов твердой фазы в области х < 0. Присвоим термиче ским коэффициентам этой области индекс So.
Поступающий расплав имеет температуру Гг, Координата по верхности раздела фаз определится соотношением:
(IV. 75)
465
Здесь l — корень уравнения
|
p ( - ^ g - ) |
ЦХ.» |
(IV. 76) |
|
ksa'!> + ks, a f Ф (E) |
ksa ^ T n<b*( | д /Ч /а т ) |
‘A |
||
|
После определения g, которое может быть выполнено любым численным методом (например, методом итерации), можно опре делить температурные поля во всех трех областях (начальная твердая фаза, затвердевшее вещество и расплав):
Т 5о = |
_ |
_^ |
_ |
f _ |
I |
) |
+ Ф Г |
(IV. 77) |
|
|
+*,о«:Аф(6) I |
L2 (as jt)'h,/2J / |
|
|
|||
|
|
|
|
|
\ |
} |
|
|
Ts = |
|
|
*50^“ ksQas2® |
[-2 |
(ast)'/> ] |
} |
(IV. 78) |
|
|
ksa'f]+ks0a f O ( t ) { * Л о _ г |
' |
|
|||||
T m = |
T |
— T2~ .T.n— |
ф* Г— -— |
1 |
|
|
|
(IV. 79) |
|
|
Ф* [g (as/am)'/2] |
L 2{атф |
|
|
|
|
|
Плавление с непрерывным удалением расплава. Пусть твердое тело нагревается благодаря поступающему извне к его поверхно сти постоянному тепловому потоку q. При этом весь расплав не прерывно удаляется. Примем плоскость, на которой происходит плавление, за плоскость с координатой х = 0 и будем считать, что твердое тело в области х > 0 движется относительно этой плос кости со скоростью v. Следовательно, массовый расход расплава, Qm, отнесенный к единичной ширине, равен:
Qm — 0,5алгрт |
(IV. 80) |
В установившемся режиме температура в области х > 0 опи сывается выражением:
Т т = Т п exp (— vx/as) |
(IV. 81) |
Из дифференциального уравнения теплопроводности (IV. 51) следует, что тепловой поток в стационарном режиме равен нулю. Следовательно, количество тепла, подведенного извне в единицу времени, должно быть равно количеству тепла, отводимого в еди ницу времени с расплавом:
q = [x + cs (Тп - То)] vxpm/2 |
(IV. 82) |
Определив и из соотношения (IV. 82), можно рассчитать рас пределение температур в твердом теле по формуле (IV. 80).
Рассмотренные три случая наиболее типичны для процессов переработки полимеров, так как любой реальный процесс плавле ния можно свести к одному из них.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОТОКАХ РАСПЛАВА
Передача тепла в движущейся жидкости происходит по механизму конвективного теплообмена, который осуществляется как за счет переноса тепла током жидкости, так и за счет теплопроводности
самой жидкости. Аналитическое решение дифференциальных урав нений теплопроводности в случае конвективного теплообмена удается получить лишь при введении большого числа упрощений. Поэтому для практических целей используют результаты экспери ментальных исследований, представленные в виде зависимостей между соответствующими критериями подобия. Обычно при изу чении теплопередачи конвекцией принимаются следующие до пущения:
1) на границе с поверхностью нагрева (охлаждения) соблю даются условия прилипания; 2) физические параметры жидкости (теплоемкость, теплопроводность, плотность и вязкость) сохра няют неизменное значение для всего потока; 3) лучистый тепло обмен между поверхностью нагрева (охлаждения) и потоком жидкости происходит независимо от контактной теплоотдачи.
В настоящее время наибольшее распространение получили экс периментальные исследования процессов стационарного теплооб мена. Для описания процесса теплообмена обычно используется известное уравнение Ньютона:
д = а ( Т ю - Т ж) |
(IV. 83) |
где а — коэффициент теплоотдачи, определяющий количество тепла, подводимое (или отводимое) к жидкости в единицу времени через поверхность с единичной площадью; Тю— температура стенки канала; 7\,< — средняя температура жидко сти.
По своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи является условной величиной и характеризует отношение коэффи* циента теплопроводности жидкости к толщине б пристенного слоя, в котором происходит температурный скачок:
а = Л/й |
(IV. 84) |
Использование методов теории подобия позволяет свести решение проблемы теплообмена в потоке жидкости к экспериментальному определению вида функциональной зависимости [15]
Nu = / (l/d, Рг, |
Re, |
Gr) |
(IV. 85) |
Здесь Nu = |
л— критерий Нуссельта, характеризующий |
интенсивность |
|
теплообмена; Рг = |
cp\i/X— критерий Прандтля, характеризующий |
соотношение |
|
между количеством тепла, поглощаемого жидкостью за счет изменения энталь*
пии, |
и |
количеством тепла, отводимого |
за счет теплопроводности; Gr =* |
||
= ghP2l3&T/\i2— критерий Грасгофа, характеризующий |
интенсивность теплооб* |
||||
мена |
за |
счет |
свободной конвекции; Re = |
и/р/Ц — число |
Рейнольдса, характери |
зующее отношение сил инерции к силам вязкого трения; |
Ре = vd/a — критерий |
||||
Пекле; Gz = |
wcP/(Kl) — критерий Гретца. |
|
|
||
Известные в настоящее время результаты экспериментального исследования теплообмена в расплавах полимеров относятся преимущественно к течению в каналах круглого сечения. Общая фор мула имеет вид:
Nu = Л Re* Рг£ (Ргж/Ргст)2 (l/d)'2' |
(IV 86) |
1С7
где индексы «ж» н «ст» означают, что соответствующие значения критерия от* носятся к усредненным характеристикам жидкости или к характеристикам жид кости в пристенном слое.
Значения показателей степени при критериях в уравнении (IV. 86) приведены ниже:
АУ
Полиэтилен низкой
плотности |
[16] |
.2,73. ( |
^ |
) 0,33 0,33 |
0,33 |
0,15 |
0,33 |
Полиэтилен |
низкой |
2,25 |
0,18 |
0,20 |
0,25 |
0 |
|
плотности |
[17] |
|
|||||
ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Нагрев излучением применяется главным образом в операциях, предшествующих пневмо- и вакуум-формованию относительно тон ких листов термопластов.
Лучистая энергия передается в виде электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве до тех пор, пока на их пути не встретится какая-либо поглощающая среда: газ, жидкость или твердое тело. Излучаемая энергия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры изучающего тела. Так как обычно большая часть энергии излучения в применяемой на прак тике области температур приходится на инфракрасный спектр, нагрев излучением называют также инфракрасным нагревом.
Гипотетическое тело, поглощающее все падающие на него лучи, называется абсолютно черным телом. Интенсивность лучеиспуска
ния абсолютно черного тела Еъ определяется |
законом Стефана — |
|
Больцмана: |
|
|
Еь = сгГ4 |
(IV. 87) |
|
где |
а — постоянная Стефана — Больцмана, равная 1,36 |
10-12 кал/(см2 • с • /С4), |
или |
3,65 10~8 Вт/(м2 • с /С4). |
|
|
Реальные тела излучают меньше энергии. Их излучательная |
|
способность е оценивается по формуле: |
|
|
е = |
Е/Е[, |
(IV. 88) |
где Е — интенсивность лучеиспускания реального тела. |
|
|
Обычно е зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Металлоиды и окислы металлов обладают высокой излучательной
способностью |
(е ^ 0 ,8 ). |
У хорошо |
отполированных металлов |
из |
лучательная |
способность |
невысока |
(е ^ 0 ,1 ) . Реальные тела |
по |
глощают только часть попадающего на них излучения. Коэффи циент поглощения определяется как отношение поглощенного из лучения к падающему.
При расчете лучистого теплообмена между черными телами под излучение попадает только та часть тела, которая просмат ривается с излучающего тела. Далее, интенсивность излучаемой энергии максимальна вдоль нормали к поверхности и равна нулю в тангенциальном направлении. Можно учесть взаимное располо жение излучателя и облучаемого тела введением коэффициента видимости, учитывающего долю излучаемой энергии, которая по падает на облучаемое тело.
Допустим, что лучистая энергия, излучаемая от черной поверх
ности 1 на |
черную поверхность |
2, равна E\A\F\2 (Л1 — площадь |
|
излучателя, |
F\2— доля энергии, |
попадающая на поверхность 2). |
|
Очевидно, что |
|
|
|
А\F \2 = A2F 2I |
|
|
(IV. 88а) |
Поэтому количество тепла Q12, переданное при лучистом тепло |
|||
обмене от тела |
1 к телу 2, равно: |
|
|
Qi2 = A ]F l 2 ( E l - E |
2) |
(IV.89) |
|
Воспользуемся законом Стефана — Больцмана и получим:
Q12 = |
0 ^ 12F12r { [ l - ( ^ - ) 4] |
(IV.90) |
Наконец, если T2/Ti <С 1, то выражение |
(IV. 90) сводится к виду: |
|
Q,2 = |
O A XF X2T\ |
(IV.91) |
Для неабсолютно черных тел расчет осложняется наличием доли многократно отраженного излучения. В случае двух беско нечных параллельных пластин общее количество тепла, передан ного с единицы поверхности, выражается формулой:
Q12 = oFj\ (l - |
тЦт\) |
(IV. 92) |
где Fe— коэффициент излучения, равный: |
|
|
Fe = е ,е2/(1 /е, + |
1/е2 - 1) |
(IV . 93) |
Коэффициент теплопередачи А определится из выражения, анало гичного по форме уравнению Ньютона:
Q = h (Г, — Т 2) А х |
(IV 94) |
Реальные полимеры и их расплавы плохо пропускают инфра красное излучение. Поэтому падающая на них энергия превра щается в тепло непосредственно на их поверхности. Некоторое количество выделяющегося тепла сразу же теряется на потери в виде собственного излучения и путем конвекции.
Поглощаемое тепло распространяется внутрь за счет процес сов теплопроводности. Поэтому итоговое распределение температУр в теле, нагреваемом лучистой энергией, зависит не только от мощности потока лучистой энергии, но также и от теплопроводно сти и конвективных потерь.
выводы
Разработанные методы анализа термодинамики процессов пере работки полимеров позволяют устанавливать связь между основ ными технологическими параметрами (давление, плотность, тем пература) с достаточно высокой степенью точности. В настоящее время разработан весьма надежный математический аппарат, поз воливший обобщить огромный экспериментальный материал.
Математические модели процессов теплопередачи базируются на математическом аппарате, разработанном в классических ис следованиях теплопроводности в твердых телах. Общим недостат ком известных решений является допущение о независимости теп лофизических характеристик от температуры. Хорошо известно, что все термодинамические функции и теплофизические характерис тики полимеров существенно зависят от температуры и давления. Поэтому при построении моделей реальных процессов следует об ращать особое внлмание на правильный выбор средних значений соответствующих характеристик.
Литература
1. |
Tait Р. G., «Physics and |
Chemistry of the |
Voyage of HMS |
Challenger», 1888, |
||
2. |
v. II, pt. IV, p. 61—82. |
J. Am. Chem. Soc., |
1964, v. 86, № 1, |
p. 197—204. |
||
Simha |
/?., Havlik |
R. /., |
||||
3. |
Quach |
A., Simha |
J. |
Appl. Phys., 1971, |
v. 42, № 12, p. 4592—4606. |
|
4. |
Simha |
R., Wilson |
P. S., |
Koll.-Z. u. Z. Polymere, 1973, Bd. 251, № 6, S. 402— |
||
5. |
408. |
|
|
|
1969, v. 2, № 4, p. 342—350. |
|
Simha R.y Somcynsky 7\, «Macromolecules», |
||||||
6. |
Hellwegl K. //., Knappe W.y Lehnrann P., Koll.-Z. u. Z. Polymere, 1962, Bd. 183, |
|||||
|
No 2, S. 110—120. |
|
|
|
|
|
7.Frank H. 5., J. Chem. Phys., 1945, v. 13, № 11, p. 493—507.
8.Kaelble D. H. In: Rheology Theory and Applications. Ed. by R. Eirich. V. V.
N. Y. — L., Academic Press, 1969, p. 223—296. |
1950, v. 21, № 6, p. 523—526. |
9. Spencer R. S., Gilmore G. 5., J. Appl. Phys., |
|
10. George N. e. a., J. Appl. Polymer Sci., 1966, v. |
10, № 2, p. 201—208. |
11.Мак-Келви Д. M. Переработка полимеров. M., «Химия», 1965. 442 с.
12.Spencer R. 5., Boyer F., J. Appl. Phys., 1946, v. 17, № 5, p. 398—404.
13.Лыков А. В. Теория теплопроводности. M., ГИТТЛ, 1952. 391 с.
14. Карслоу Г Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., «Наука», 1964.
487с.
15.Кирпичев М. В.у Михеев М. А. Моделирование тепловых устройств. М., изд-во АН СССР, 1936. 255 с.
16.Тябин Н. В. и др. В ки.: Теплообмен. 1974. Советские исследования. М., «Нау ка», 1975, с. 195—198.
17.Чернобыльский И. И., Кочергин В. Л., «Химическое машиностроение», Киев, Киевский политехи, ин-т, 1965, № 1, с. 138—143.