Если учитывать упругость опоры гидроцилиндра, то в уравне ние (5.49) должен быть добавлен член, учитывающий действие до полнительной обратной связи по перепаду давления в гидроцилиндре.
5.3.2. Структурная схема гидропривода
Полученные выше уравнения составляют математическую мо дель рассматриваемого гидропривода. Для получения линейной математической модели необходимо прежде всего линеаризовать функцию (5.38). С этой целью рассматриваются малые отклонения переменных относительно тех значений, которые соответствуют смещенному от нейтрали на некоторую величину золотнику. При этом в окрестностях точки линеаризации принимается линейный закон изменения этих малых отклонений [13]. После проведения линеаризации необходимо преобразовать уравнения (5.36, 5.38, 5.48, 5.49) по Лапласу с учетом начальных условий. Исключая за тем изображения всех отклонений, кроме изображения входной h(p) и выходной Ут(р) величин, получается общее уравнение в
операторной форме:
|
V0m |
1 + -2 ^ Х |
|
|
к Рт , |
|
Kv y0 |
| к ч |
1 K 'K 'jn' |
|||||
Т :р |
2F; |
|
j |
Р' + |
д ц |
2 F lE |
ц |
F С |
р + |
|||||
|
|
v0c„ |
V |
|
ц |
|
гц^св |
У |
||||||
|
С |
|
VC |
к |
к |
¥ Л |
|
+1 |
|
|
|
|
||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2F 2E |
|
F 2 |
^„Ссв |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ц Ц |
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
к ОС |
Г |
с |
1 |
+ |
|
К„С„1 |
у , Л р ). |
(5-5°) |
|
|
•у Л р ) = к М |
р ) |
< |
с св, |
|
Р " |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Л _ |
|
|
|||
где р - ------оператор дифференцирования. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
At |
|
|
|
|
|
|
|
h(p) |
|
и Ут(р) следует по |
|||
В этом уравнении под символами |
|
|||||||||||||
нимать достаточно малые отклонения входной и выходной вели чин. В большинстве случаев значения членов, которые заключены без множителя р в квадратных скобках в левой части уравнения, малы по сравнению с единицей. С учетом этого и введенных ниже обозначений уравнение (5.50) можно записать в виде:
Т гр(Та2р 2 + 2еиТир + 1)Ут{р) = К1,1г{р)-{К0С+ Ки)Ут{р). (5.51)
Коэффициентами этого уравнения являются:
1) гидравлическая постоянная времени привода:
Т = — . |
(5.52) |
Kh |
|
Эта постоянная определяет время заполнения жидкостью объ ема, освобождаемого в гидроцилиндре при перемещении поршня на величину, равную смещению золотника от нейтрали. Чем боль ше пропускная способность Кх золотника и меньше рабочая пло щадь Fn гидроцилиндра, тем меньше Тг и выше быстродействие привода;
2) механическая постоянная времени гидроцилиндра с приве денной к его штоку массой т , создающей инерционную нагрузку:
|
|
(5.53) |
где С = - |
2F 2E |
^ - приведенная жесткость нагруженного |
ц— Ц----- |
||
vn |
2F~E„ ' |
|
1+ - |
у |
|
|
V0Ca |
|
гидроцилиндра. При Ссв = оо Сц = -----------
Величина Тп является периодом недемпфированных колебаний
массы т , имеющей упругую связь с поршнем гидроцилиндра, в ко тором жидкость сжимаема и опора крепления упругая. Чем меньше
Гц, тем больше собственная частота этих колебаний соц = — ; Гц
3) коэффициент относительного демпфирования гидроцилиндра:
£ |
= —— |
(5.54) |
ц |
2Т |
|
где Гд - постоянная времени демпфирования гидроцилиндра
'Т» _ |
K jn |
| |
KmVn0 |
| |
К^ К Х „ т |
||
Р |
|
тр 0 |
|
тр |_ |
|||
Д |
¥-1 |
2 |
|
2F~E |
ц |
|
с ” + F С |
|
К |
|
|
ц |
|
ц^св |
|
Коэффициент ец |
учитывает демпфирование за счет трения в |
||||||
нагрузке и гидравлического сопротивления на золотнике. Кроме того, £ц учитывает падение притока энергии в гидропривод, вы
званное уменьшением расхода жидкости через золотник при уве личении перепада давления в гидроцилиндре. Обычно гц = 0,1-0,2;
4) коэффициент внутренней обратной связи, вызванной дей ствием позиционной нагрузки:
^ |
(5.55) |
« Л
Величина Кн устанавливает пропорциональное соотношение между смещениями поршня и золотника, к которым приводится изменение расхода жидкости при изменении перепада давления в гидроцилиндре от действия позиционной нагрузки. От величины Кн зависит статическая ошибка, с которой поддерживается задан ное положение штока гидроцилиндра. При малых утечках жидко сти через золотник (и малых смещениях золотника от нейтрали) обычно Кн « Кос. В дальнейшем в основном будут рассмотрены именно такие случаи.
Учитывая допущения по уравнению (5.51), построена струк турная схема гидропривода (рис. 5.46). Из схемы видно, что в пря мой цепи последовательно включены интегрирующее и колеба тельное звенья, а отрицательная обратная связь представлена про порциональным звеном. В целом гидропривод является замкнутой системой регулирования, в которой могут возникнуть колебатель ные процессы со сдвигом по фазе между величинами лг3 и К0СУт, равным -180°, что указывает на возможную неустойчивость гидро привода.
Физическая причина неустойчивости гидропривода заключает ся в том, что, вследствие сжимаемости жидкости и упругости опо ры гидроцилиндра, шток с присоединенной к нему массой т по инерции проскакивает задаваемое положение равновесия. При этом механизм обратной связи смещает золотник от нейтрального по ложения и в гидроцилиндре создается перепад давления, вызыва ющий возвратное движение поршня вместе с массой /л, который снова проскакивает положение равновесия.
Рис. 5.46. Структурная схема гидропривода
Если поступающая в гидропривод с потоком жидкости энергия будет превосходить затраченную демпфирующую энергию, то ко лебания не прекратятся, а гидропривод теряет устойчивость.
Если гидропривод не нагружен ( т - 0 , К ^ = 0 , Сн = 0), то в
структурной схеме остается только интегрирующее звено (ненагруженный гидроцилиндр), охваченное отрицательной обратной связью. В этом случае весь замкнутый контур является одним апе риодическим звеном и, следовательно, гидропривод без нагрузки будет устойчив.
Величину D = K0C/ T r называют добротностью гидропривода. Чем больше добротность гидропривода, тем больше его быстро действие: быстродействие привода увеличивается с увеличением
коэффициента обратной связи |
и с уменьшением постоянной |
времени Тг. |
|
5.3.3.Устойчивость гидропривода
Всвязи с тем, что уравнению (5.51) гидропривода как замкну той системы соответствует характеристическое уравнение третьей степени, удобно для оценки устойчивости использовать критерий Гурвица.
При Кн = 0 характеристическое уравнение имеет вид: |
|
ТГТЦУ + 2 e J J rp 2 +Тгр + Кж=0. |
(5.56) |
В алгебраическом выражении (5.56) параметр р считается пе ременной, при отдельных значениях которой левая часть выраже ния обращается в ноль. Эти значения называются корнями харак теристического уравнения. Все коэффициенты этого уравнения, как следует из вывода, являются положительными величинами, по этому гидропривод будет устойчив при условии, если
2ецТг > К 0СТц. |
(5.57) |
Это условие с учетом (5.54) можно привести к виду |
|
т Л ^ У ц 2 |
(5-58> |
Если параметры гидропривода и нагрузки известны, то провер ка устойчивости не вызывает затруднений, так как входящие в не равенства величины достаточно просто вычислить. Влияние от дельных параметров на устойчивость гидропривода можно иссле довать, рассмотрев несколько частных случаев.
1) Нагрузка без трения, ЛГТр = 0; связь штока гидр0цилиндра с нагрузкой абсолютно жесткая, Сса = оо.
В этом случае, учитывая соотношения (5.52, 5.53, 5.54), нера венство (5.58) приводится к виду:
Кп> |
,Ур |
(5.59) |
|
2 F E |
|||
|
Можно заметить, что в условие устойчивости не входит масса т нагрузки; она одинаково входит в зависимость для постоянной времени Тц и коэффициента относительного демпфирования ец. Та ким образом, с одной стороны, масса т в сочетании с упругостью жидкости и опоры гидроцилиндра является причиной возникнове ния колебаний, а с другой стороны, вызывая сопровождающие эти колебания изменения перепада давления в гидроцилиндре, способ ствует уменьшению расхода жидкости, протекающей через золот ник, и, следовательно, уменьшению притока энергии, а также уве личению демпфирования в гидроцилиндре.
В окрестности нейтрального положения золотника коэффици ент Кр имеет наименьшее значение (рис. 5.45) (для идеального зо лотника Кр = 0). Отсюда из неравенства (5.59) следует, что гидро привод имеет наименьшую устойчивость в окрестности нейтраль
ного положения золотника. |
|
|
2) |
Нагрузка с трением, Kw Ф 0; связь штока гидроцилиндра с |
|
нагрузкой абсолютно жесткая, Ссв = °°. |
|
|
В этом случае неравенство приводится к виду: |
|
|
|
Кт > К*К«™. |
(5.60) |
Следовательно, при наличии трения (Kw Ф 0), |
в отличие от |
|
предыдущего случая, даже при нейтральном положении золотника (Кр ~ 1) гидропривод может быть устойчивым. Масса m входит в правую часть неравенства (5.60), то есть она отрицательно влияет на устойчивость гидропривода. Это объясняется (с учетом допуще ний) отсутствием зависимости постоянной времени демпфирова ния Гд от массы т. Приведенная жесткость гидроцилиндра не влия ет на условие устойчивости гидропривода, так как от этой жестко сти одинаково зависят постоянные времени Тпи Гд.
3) Нагрузка без трения, Kw = 0. Связь штока гидроцилиндра нагрузкой упругая, Ссв Ф°°.
В этом случае неравенство (5.58) имеет вид:2
(5.61)
2FцЕц
Так как все параметры, входящие в это неравенство, имеют конкретные положительные значения, то оно невыполнимо, а еле-