1.2. Математические основы теории линейных систем автоматического регулирования

ющее уравнение (система уравнений) на основании физического закона, который определяет процесс, протекающий в данном звене. Стремление точнее описать процесс приводит к усложнению его уравнений. Поэтому необходим разумный компромисс между точ­ ностью описания процесса и возможностью исследования полу­ ченного уравнения.

Если для элемента справедлив принцип суперпозиции (влияния начальных условий и каждого из внешних воздействий независимы друг от друга), то дифференциальное уравнение элемента оказыва­ ется линейным. Однако многие элементы описываются нелиней­ ными уравнениями, которые часто не удается проинтегрировать; определение даже приближенного численного решения становится трудоемким. В этом случае в инженерных расчетах широко ис­ пользуют линеаризацию - замену нелинейных уравнений прибли­ женными линейными с известными методами интегрирования.

В линейном дифференциальном уравнении выходную величи­ ну элемента (искомую функцию времени) и ее производные приня­ то записывать в левой части, а входные величины (известные функции времени) и их производные - в правой части. Коэффици­ ент при выходной величине удобно иметь равным единице. Если уравнение не содержит выходной величины, то коэффициент при ее младшей производной равен единице.

Математическое описание системы представляет собой сово­ купность составленных независимо друг от друга уравнений эле­ ментов САР. Исключая промежуточные переменные в уравнениях, можно получить общее дифференциальное уравнение системы.

Дифференциальное уравнение линейной САР может быть за­ писано в следующем виде:

Левая часть уравнения описывает собственное движение си­ стемы; правая - приложенные к ней воздействия: задающие воз­ действия XnY(r) и внешние возмущения f ( t ) .

Нелинейные системы описываются нелинейными дифферен­ циальными уравнениями или кусочно-линейными статическими характеристиками (релейная характеристика, зона нечувствитель­ ности, ограничение координат, люфт и т. д.). Примером нелинейно­ го уравнения может служить уравнение второго порядка вида:

К нелинейным системам принцип суперпозиции неприменим. Если возмущение воздействия отсутствует, то уравнение (1.1)

можно записать в виде:

а,Двых(?) + ап- \ +••• + «! X “Ь1Х(?) + а0Х ВЬ|Х(?) =

= bmX ^ ( t ) + bm_lX ^ l\ t ) +... +bi Хвх(?) + &0Хвх(?). (1.3)

Уравнение (1.3) и его решение характеризуют процесс воспро­ изведения системой (элементом) задающего воздействия X BX(t) в

случае, когда не действуют возмущения / ( г ) .

Если отсутствует задающее воздействие, то уравнение (1.1) за­

Уравнение (1.4) характеризует процесс изменения выходной величины в случае, когда на систему действует только возмущение /(? ). При анализе САР часто представляет интерес определение

установившегося значения выходной величины Хвых^ при посто­

янных значениях входного воздействия Хвх = const и возмущаю­

щего воздействия f = const •

Приравняв нулю в уравнении (1.1) все производные, получим:

Видно, что установившееся значение выходной величины при одновременном действии на систему (элемент) задающего Хвх и возмущающего / воздействий представляет собой алгебраическую сумму установившихся значений только при задающем воздей­ ствии и только при возмущающем. Это положение остается спра­ ведливым и в динамике. Таким образом, принцип суперпозиции за­ ключается в том, что если к системе приложено одновременно не­ сколько внешних воздействий, то их совместный эффект равен сумме эффектов, вызванных каждым воздействием в отдельности.

Из принципа суперпозиции вытекают следствия:

1) Если входному сигналу Х пх соответствует выходной сигнал Хвых, то при увеличении входного сигнала в К раз ему будет соот­ ветствовать выходной сигнал, также увеличенный в К раз.

2) Если входному сигналу Хвх соответствует Хвых, то произ-

•

водной от входного сигнала Х ъх соответствует выходной сигнал

•

X вых . то есть если известна реакция на входной сигнал, то реакция на производную входного сигнала находится простым дифферен­ цированием выходного сигнала.

3) Свойства линейных САР не зависят от начальных условий, а полностью определяются внутренними свойствами системы, то есть левой частью уравнения (1.1).

Принцип суперпозиции является основным свойством линей­ ных систем, он облегчает анализ систем, так как позволяет раз­ дельно изучать действие на систему задающих (режим управления) и возмущающих воздействий (режим стабилизации), отыскивать реакцию системы на производную от воздействия путем диффе­ ренцирования реакции системы на само воздействие. Принцип су­ перпозиции позволяет входной сигнал любой сложности предста­ вить в виде суммы типовых и определить реакцию системы как сумму реакций на типовые воздействия.

1.2.2. Преобразования Лапласа и их свойства

При исследовании замкнутой системы неизбежно приходят к уравнениям вида (1.3) или (1.4). Для получения информации о па­ раметрах системы необходимо производить сложные операции ин­ тегрирования и дифференцирования. Задача исследования упроща­ ется, если использовать аппарат операционного исчисления при переходе от линейных уравнений к передаточным функциям - опе­ раторным выражениям дифференциальных уравнений. Передаточ­ ные функции позволяют представить математическую модель си­ стемы в виде структурной схемы, состоящей из типовых динамиче­ ских звеньев.

Суть операторного метода и его использование при исследова­ нии САР заключается в том, что вместо функции времени X (t) исследуется функция комплексного переменного р - Х(р), причем между функциями X(t) и Х(р) устанавливается взаимно одно­ значное соответствие. Это соответствие устанавливается преобра­ зованием Лапласа, которое записывается выражением:

ражением функции X( t ), а X (г) - оригиналом. Ниже приведены

примеры применения преобразования Лапласа к наиболее часто встречающимся функциям.

Пример 1. Дана единичная ступенчатая функция X(f) = l(f),

входит сомножителем в подинтегральное выражение, то интеграл равен значению подинтегральной функции при t = 0.

Пример 3. Пусть X (г) = е~х' . Изображение по Лапласу:

Следует заметить, что применение преобразования Лапласа здесь рассматривается при нулевых начальных условиях. Учет начальных условий накладывает определенные трудности и здесь не рассматривается.

Перечислим без выводов свойства преобразования Лапласа.

Линейность оператора.

Свойство линейности позволяет просто находить изображение сложной функции, если удается представить ее в виде суммы эле­ ментарных составляющих.

Изображение производной.

Пусть X (г)—'r~>X ( р ) . Тогда изображения производных равны:

dr"

Таким образом, при операторном изображении процессов опе­ рация дифференцирования (в области времени) заменяется опера­ цией умножения (в области комплексного переменного р).

Изображение интеграла.

Пусть X (г)—\—> X ( р ) . Тогда изображение интеграла

нахождения передаточной функции необходимо: записать уравне­ ние системы (элемента) в форме Лапласа при нулевых начальных условиях и найти отношение изображения выходной величины к изображению входной.

Так, в форме Лапласа дифференциальное уравнение (1.2) САР можно записать в виде:

(а„Р" + +... +a,p +a0JXBuf(p) =

=(Ь. Р ' +Ь.-Р '~ ‘ Р + & .)*.,(/>)• О Н )

а передаточную функцию, согласно определению, в виде дробно­ рациональной функции от переменной р :

_ ^ вых( р ) = К р т+К-\Рт~х+ - + Ь р +ь0 _ в ( р )

Х М апр" +an_lPn-' +... + alP + a0 А (р )’

где А(р) и В(р) - полиномы от р.

Любая САР состоит из отдельных элементов: объекта регули­ рования, датчиков информации, усилительных и исполнительных устройств и т. д., отдельное описание которых не представляет особых трудностей. По этой причине всю систему разбивают на элементарные звенья таким образом, чтобы выходной сигнал одно­ го звена являлся входным сигналом другого, последовательно со­ единенного с ним.

Характерными для элементарного звена считаются следующие признаки:

- связь между выходным и входным сигналами описывается

-звено - элемент системы управления;

-однонаправленность действия сигнала в звене.

Типовые звенья САР подразделяются на усилительные, инте­ грирующие, инерционные (апериодические и колебательные), дифференцирующие и форсирующие.

Втабл. 1.2 даны основные элементарные звенья, их уравнения

ипередаточные функции.

Ниже приведены примеры по составлению математического описания и определению передаточной функции типовых звеньев САР.

следовательно, делитель напряжения является усилительным зве­ ном со всеми его свойствами.

редаточное число редуктора.

Передаточная функция редуктора определяется из операторно­

F- эффективная площадь гидроцилиндра;

Т= / Fn - постоянная времени гидроцилиндра;

Ар = р, - р2 - перепад давлений в полостях гидроцилиндра.

Передаточная функция гидроцилиндра определяется из опера­ торного уравнения;

где T=RC - постоянная времени контура.

Если, например, подобрать Т U ВЬ1Х» £/вых, то справедливо со-

1 V

отношение TUBUX =Uax, или t/Bblx = - Jt/BXdr •

* о

В операторном виде последнее выражение запишется

^вых(р)- rj, UBX(p) ,

Тр

Пример 7. Гидравлический цилиндр с позиционной нагрузкой (рис. 1.13).

Пренебрегая силой инерции, со-

”" ставляем уравнение движения выход­

коэффициент передачи гидроцилиндра.

Записав уравнение движения в операторной форме, получим

Ар(р) Тр +1

Как видно, гидроцилиндр, нагруженный позиционной нагруз­ кой, является инерционным звеном I порядка (апериодическим звеном) со всеми его свойствами.

Пример 8. Генератор постоянного тока с независимым возбуж­ дением (рис. 1.14.)

Входной сигнал генератора - напряжение на обмотке возбуждения (уп-равления) Uy\ выходной - напря­ жение, снимаемое с якорной обмотки

и Г.

Уравнение электрической цепи воз-буждения генератора запишется в виде формулы

d Уу

ГДе Ly И Ry ~ индуктивность и омическое сопротивление цепи возбуждения, Учитывая, что ток возбуждения / у

и выходное напряжение Ur связаны на линейном участке характе­ ристики генератора соотношением Uv = сг / у, получим

u’= 7;it+^ u- ил"

где сг- угловой коэффициент характеристики генератора.

В операторном виде уравнение цепи возбуждения генератора запишется

W „pCnp

мент затухания); К =— - коэффициент передачи гидроцилиндра.

пр

Записав уравнение движения в операторной форме, получается

Таким образом, с учетом позиционной, скоростной и инер­ ционной нагрузки гидроцилиндр является инерционным звеном II порядка (колебательным звеном). Скоростной нагрузкой в данном

случае считается трение (Кw X вых).

Пример 10. Датчик давления (рис. 1.16).

Входным сигналом является давление Р;

^выходным - перемещение штока (прогиб мем­ браны) Хвых.

Уравнение движения подвижных частей датчика запишется формулой:

•••

т пр ^ВЫХ * т р X вых + СПр^ВЫ Х “ И Л И

Т 2 X вых + 2^Т X ВЪ]Х+ X ВЬ1Х= Кр,

пр пр

давления

- относительный коэффициент затухания;

5

К =— - коэффициент передачи датчика; S - эффективная пло-

Спр

щадь мембраны; т пр - приведенная масса подвижных частей дат­ чика; спр - приведенная жесткость упругих частей датчика (пру­ жина, мембрана); Kw - приведенный коэффициент вязкого трения.

Операторное уравнение и передаточная функция датчика име­ ют следующий вид:

Т 2Р2Х вых (Р) + 2ф р Х шх (р ) + Хвых (р) = Кр(р) ;

Как видно, в данном случае датчик является инерционным зве­ ном II порядка (колебательным звеном).

Вводя соответствующие допущения, например, вначале прене­ бречь инерционной составляющей т пп = 0, а затем и трением Ктп = О, можно представить датчик соответственно апериодическим и усилительным звеньями.

Пример 11. Двигатель постоянного тока с независимым воз­ буждением (рис. 1.17).

Входной сигнал - напряжение на якорной обмотке и я; выход­ ной - скорость вращения вала (якоря) двигателя со„.

Основное уравнение и передаточная функция двигателя опре­ деляются из системы уравнений: электрической цепи якоря двига­ теля ((/я) и моментов нагрузки (Мдв):

- электрическая цепь якоря нагрузки

U, =Lk— + RtI ,+ E t ,

двигателя; Яя и Ья - омическое сопротивление и индуктивность якорной цепи; Ея = сесод - э.д.с. якоря двигателя; се - конструк­ тивный коэффициент (при по­ стоянном возбуждении);

- моменты нагрузки Мдв = Мсопр, Мдв = см/„, где Мдв и М сот) - момент двигателя и момент сопротивления

нагрузки; См - конструктивный коэффициент по моменту, а

= =м + м пнн.

согш ст дин

Для примера можно считать, что двигатель нагружен только ди­ намическим моментом

где /с - приведенный к валу двигателя момент инерции всех вра­ щающихся звеньев.

После подстановки и решения системы можно записать:

где Тэ = —— электромагнитная постоянная времени двигателя;

R„

т =■R I - электромеханическая постоянная времени двигателя.

Операторное уравнение и передаточная функция двигателя имеют следующий вид:

и А р ) =т3тлр2сод(р)+ тяр®Ар)+ид(р ) ;