1.6.3. Критерий Рауса

меняются нулями. Всего таблица содержит п +1 строку. Согласно критерию Рауса, для устойчивости системы необходимо и доста­ точно, чтобы при а( >0 все коэффициенты правого столбца табли­ цы были положительны:

ап > 0; ап_х> 0; Ъх>0; сх>0; dx> 0...

Пример 1. Исследовать на устойчивость систему автоматическо­ го управления и построить области устойчивости по двум парамет­ рам, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

где К - коэффициент передачи системы, К > 0; Т\ и Т2- постоянные времени, причем Тх= 0,05 с ; Т2 = 0,5 с .

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение системы по из­ вестной передаточной функции разомкнутой системы определится

где аъ - ТХ2; а2 = Тх+ Т2; ах= 1; а0 = К

Видно, что все коэффициенты характеристического уравнения ах> 0, то есть необходимое условие выполняется. Достаточное ус­ ловие по Гурвицу определяется выполнением неравенства для сис­ темы третьего порядка

С помощью последнего неравенства можно построить границу устойчивости системы по двум параметрам К и Т\ при Т2 = 0,5 с (рис. 1.49, а) и К и Т2 при Т\ = 0,5 с (рис. 1.49, б). На этих рисунках области устойчивой работы системы заштрихованы.

эффициента усиления первого каскада усиления К у и коэффици­ ента гибкой обратной связи Кос.

Функциональная схема следящей системы представлена на рис. 1.50. Сельсинная пара (СП) формирует сигнал главной жест­ кой отрицательной обратной связи (ГЖООС) U ^ it) путем элек­

трического соединения двух сельсинов, работающих в трансфор­ маторном режиме, из которых: сельсин-датчик размещен в пульте управления, а его ротор оператором разворачивается на требуемый азимут Увых(0 ; сельсин-приемник размещен на установке (объек­

те), а его ротор поворачивается только вместе с объектом на теку­

Тахогснсритор

ГЖООС

Рис. 1.50. Функциональная схема системы

Если YBX(0 = v|' вых(0 , то 8(') = Ч'ВХ( 0 - '|'ВЬ1Х(0 = 0, а, следова­ тельно, и электрический сигнал сельсинной пары Ucn(t) = 0, то

есть система наведения отработала требуемый азимут и находится в состоянии покоя; если хр вх (?)*У вых (0 . то 6 (0 * 0 , а, следова-

тельно, и Ucu(t)&0, и система наведения разворачивает установку в сторону уменьшения угла рассогласования, то есть отрабатывает требуемый азимут. Сигнал Ucu(t) усиливается на первом каскаде (усилитель) t/ (г), далее алгебраически суммируется с сигналом

Uoc(t) гибкой (демпфирующей) отрицательной обратной связи и поступает на управляемый генератор электрической энергии U0(t)

(второй каскад усиления). После генератора Ur(t) поступает на якорную обмотку исполнительного электродвигателя, скорость ко­ торого С0д(г) пропорциональна Ur(t) и углу рассогласования 8(0-

Редуктор понижает скорость двигателя, а с его выходным валом жестко связана установка. Гибкая отрицательная связь формирует­ ся с помощью тахогенератора.

Передаточную функцию замкнутой системы для выходной ве­ личины можно определить из выражения

l +Wp(p) [(Г[ТдР3 + (Гг + Гд )р2+ (1+ * г-*ос )p]ip + D

Таким образом, характеристическое уравнение системы при­ мет вид:

Видно, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (так как К у >0; К ^ > 0), необходимое условие ус­

тойчивости выполняется. Достаточным условием по Гурвицу для

Если неравенство обращается в равенство, то система находит­ ся на границе устойчивости:

1,5 • 102 + 7,5 • 104 /TQP = 1,25Ку (граница устойчивости).

Последнее равенство является уравнением прямой, разделяю­ щей область работы системы на две: устойчивую и неустойчивую (рис. 1.52). Прямая проходит через точки с координатами (К у = 0;

Кос = -0,002) и ( АГу =120; /Гос=0).

Такое построение области устойчивости может быть практиче­ ски использовано, например, в том случае, когда требуется снизить

нию устойчивости. Построение области устойчивости наглядно по­ казывает, какое необходимо иметь значение коэффициента обрат­ ной связи Кос, чтобы обеспечить устойчивость следящей системы при заданном из условия статической точности значении коэффи­ циента усиления Ку.

При исследовании САР на устойчивость часто приходится оп­ ределять влияние на устойчивость не одного (двух) параметров, а целого их комплекса. В последнем случае при достаточно высо­ кой степени характеристического уравнения (/? > 4) может быть несколько границ устойчивости.

Пример 3. Определить с помощью критерия Гурвица области устойчивости следящей системы в функции параметра G, если изве­ стны характеристическое уравнение системы и ряд ее параметров:

а5р 5+ а4р 4 + агр ъ+ а2р 2+ ахр + а0 = 0, где а5 = ТГТДТУ;

а4 =ТГТ^ +Гу(Гг + ГД) ; я3 = ТГ+ГД +ГУ+ ТУТЭ(КГ+ 1)G;

а2=1 + (Тэ + Ту)G ; a,=(l +Ty)G\ a0= G , где G = Кси* ^ , Ч'р

Данная следящая система является системой пятого порядка. Ее можно получить, если в предыдущем примере вместо генерато­ ра взять электромашинный усилитель ЭМУ (двухкаскадный гене­ ратор электрической энергии) с постоянными времени его обмоток управления Ту и якорной Тг , а исполнительный электродвигатель считать инерционным звеном второго порядка (п. 1.2.3) с постоян­ ными времени Тэ и Гд. Электромашинный усилитель можно рас­ сматривать как два последовательно включенных генератора со своими постоянными времени Ту и Тг .

Р е ш е н и е . Пусть Тг = 0,12с; Гд = 0,25с; Ту = 0,01с; Кг = 20;

Т3 = 0,01с, тогда а5=0,0003; а4 =0,0337; а3=0,38 + 0,0021G;

а2 = 1 + 0,02G; а, = 1,010; a0 =G . При этом G > 0.

Для системы пятого порядка условие устойчивости по Гурвицу сводится к требованию положительности всех коэффициентов ха­ рактеристического уравнения и выполнения неравенств:

[0,0337(0,38 + 0,0021G) - 0,0003(1 + 0,02G)] • [(1+ 0,02G) • 1,01G -

-(0,38 + 0,0021G0G] - (0,0377 • 1,01G - 0,0003G)2 > 0

При равенстве нулю есть границы.

После преобразований получается уравнение третьей степени:

G(l,175-10"6 -G2 -8,73-10‘4G + 78,8-10“4) = 0,

которое и определяет границы устойчивости по назначению пара­ метра G.

В решении последнего уравнения есть три корня: G, = 0; G, =6,93; G3 = 7,35.

Полученные значения G определяют границы устойчивости следящей системы. Чтобы выяснить, какая область значений G яв­ ляется областью устойчивости, необходимо проверить устойчи­ вость системы при любом значении G. Например, при G = 100 ле­ вая часть уравнения отрицательна, следовательно, система неус­ тойчива. Значит, области неустойчивой работы находятся в пределах 6,93<G<7,35 и при G < 0, а области устойчивости соот­

Пример 4. Проверить по критерию Рауса устойчивость следя­ щей системы с интегрирующим и дифференцирующим звеньями и гибкой обратной связью (связь по скорости).

Рис. 1.54. Структурная схема

На рис. 1.54 представлена структурная схема системы. Пара­ метры системы имеют следующие значения:

К г = 100; К0 = 0,2; Т0 = 0,05с; Ки = 1 с ' ; Ад = 0,1с

Р е ш е н и е . Передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с правилами преобразования структурных схем опре­ деляется выражением

О(1 + Т0р )(1 + Ка р + ^ )

Wp(p) = _________________________ р______

(1+ 7 » (1 + Тгр)(1+ та р)р + KrK J Qp 2

~ АГПАГ где D = сп г-.

Се г'р

Передаточная функция замкнутой системы после преобразова­ ния и обозначений имеет вид:

где b, = DKaT0 ■b2 =D(Ka +T0) -, bt = D{1 + K J 0); b0 = DKU.

a5= ТГТДТ0;a4 = TrTa +T0(Tr +Ta ); a3 = Tr +Ta + T0 +T0(KvKn + KaD);

a2= 1 + D{K^ +TQ)\ ax—D(1 + KnTQ) ; a0 = DKn.