Механика сплошной среды

з

р2= ^ ' = 1 > г& ,

(4.57).

3

р2- | 2= 2 е г/^ = 2 £ е,&. i=1

Величины gu егсвязанные соотношениями (4.54)

называются главными компонентами тензоров ^ и <§ и они для: точки х = const в момент t =const не зависят от выбора системы координат, т. е. инвариантны относительно преобразований бази­ са ег. Из (4.54), (4.56) следует, что

Л1=е*/6'7= е 11+ 622+ 633= 6! + е2+ е3,

1е2=■— (ill~ tifiii) = + е2е3 + e3ex, (4.59)

/ез== |^ij I ==

также являются инвариантами ортогональных преобразований ба­ зиса ег*. В любой фиксированный момент t в точке х = const во всех системах координат инварианты имеют одинаковые числовые значения *.

Итак, в любой точке х тела в любой заданный момент времени t= tx существует главный физический репер-тройка ортогональных

Этому факту соответствует полярное представление аффинора де­ формации А через тензор чистой деформации Е и ортогональный

Существованиепреобразования (4.60), ортогональностьодного и того же физического репера в два фиксированных момента време­ ни t\, t0 нередко ошибочно трактуются как существование непре­ рывного процесса вращения физического ортогонального репера

во времени. Физические волокна, образующие ортогональный ре­ пер в моменты t0 и fi, не ортогональны на интервале t0< t< tu Скорости вращения главных осей деформаций относительно этих

* Явные выражения главных компонент симметричного тензора через его инварианты даны в § 6.

осей не совпадают со -скоростями вращения физических волокон, направленных по этим осям.

Исключение из отмеченного правила непосредственно вытекает из (4.52), (4.55). Главные векторы X и главные оси деформаций не будут вращаться относительно вещества, т. е. физический глав­

ХУ^'(х). Условие (4.61) обеспечивает совпадение с направления­ ми главных физических волокон не только главных осей дефор­ маций, но и главных осей любого линейного (см. § 9) оператора по времени над тензором деформации.

§ 5. КОНЕЧНЫЕ, МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Уравнения совместности деформаций. Шесть компонент тензо­ ра деформаций ец или метрического тензора gij = 6,j + 2cij в ок­ рестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. е. зада­ ние шести произвольных функций времени ец(х, t) возможно, и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь мо­

ческие объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Та­ кая возможность исключена благодаря свойству закона движения х= х (х, t) = х + u (х, t), а именно непрерывной взаимно однознач­ ной зависимости между х и х для любого t и существованию про­ изводных. Компоненты тензора ец (или ga) получаются путем дифференцирования вектора х(х, t), т. е. шесть скалярных функ­ ций ец выражены через три и -. Значит, между ег;- должны суще­ ствовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу они должны быть следствием независимости порядка дифференцирования век­

* Для краткости дифференцирование любой функции ф(х, t) по х' обозна­ чаем ф,( = <?ф/<?Х‘.

От (5.14) отличается случай малой деформации, когда eij со­ храняет полное выражение (4.49), но удовлетворяет условию

отличие в том, что при малых деформациях система координат может быть не привязана к физическим волокну и плоскости.

Мы рассмотрим случай малых порядков б перемещений, затем автоматически распространим все результаты на бесконечно ма­ лые деформации. Неточность всех формул теории малых дефор­ маций будет порядка б сравнительно с единицей. Соответствую­ щие формулы в случае бесконечно малых деформаций будут точ­ ными. Вектор относительного перемещения 8 точки N относитель­ но М в момент t, очевидно, равен

(4.49) получим для компонент метрического тензора ^ и тензора деформаций 6 выражения компонент

Соотношения (5.17) представляют формулы Коши, выражаю­ щие тензор малой деформации через вектор перемещения и. Со­ ответствующие выражения компонент тензора скоростей дефор­ мации Vij в эйлеровом пространстве, как видим, получаются из (5.17) простой заменой и на v и х на х и приводят к формулам Стокса:

Малые и бесконечно малые деформации аддитивны в том смысле, что если даны поля перемещения u1(х, t) и u2(x, t) с со­ ответствующими деформациями е{., г\}, вычисляемыми по фор­

мулам Коши (5.17), то полю перемещения u = u1-fu2 соответ­ ствуют деформации Sij, равные сумме соответствующих деформа­ ций:

Как уже отмечалось в § 4, можно установить кинематический смысл компонент тензора малых деформаций. Из формулы (4.38) находим с рассматриваемой точностью

(!+ е а)2= 1 +2еаа; еа= еаа.

Косинус угла 0ар между координатными волокнами а и р , равный нулю до деформации, после деформации согласно формуле (4.44) равен

cos 0ар=2еор (1—еаа—ерр)=2бар,

т. е.

— 0<xp=sin ^ — 0ар) = 2 еар-

Следовательно, компоненты тензора малой деформации с одина­ ковыми индексами суть относительные удлинения координатных